ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Phạm Thanh Tùng
TÌM NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LÀ
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VƠ HẠN ÁNH
XẠ KHƠNG GIÃN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Thái Ngun - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Phạm Thanh Tùng
TÌM NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LÀ
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VƠ HẠN ÁNH
XẠ KHƠNG GIÃN
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG
Thái Ngun - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị 2
1.1 Bất đẳng thức biến phân trong khơng gian Hilbert . . . 2
1.1.1 Bất đẳng thức biến phân cổ điển . . . . . . . . . 2
1.1.2 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ tìm nghiệm
bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động chung cho
một họ ánh xạ khơng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Phương pháp lặp Halpern . . . . . . . . . . . . . 9

Số hóa bởi trung tâm học liệu />iii
Bảng ký hiệu
R Tập hợp số thực
N Tập hợp số tự nhiên
H Khơng gian Hilbret H
E Khơng gian Banach E
x, y Tích vơ hướng của x và y
x
X
Chuẩn của x trong khơng gian X
φ Tập rỗng
∀x Với mọi x
∃x Tồn tại x
inf
x∈X
F (x) Cận dưới lớn nhất của tập {F (x) : x ∈ X}
sup
x∈X
F (x) Cận trên nhỏ nhất của tập {F (x) : x ∈ X}
I Ánh xạ đơn vị
J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của khơng gian Banach E
A
∗
Tốn tử liên hợp của tốn tử tuyến tính A
D(A) Miền xác định của tốn tử A
x
k
→ x Dãy {x
k
} hội tụ mạnh tới x

C là một tập con lồi đóng trong H. Ánh xạ F từ C vào H là một ánh
xạ liên tục. Bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị được
phát biểu như sau:
Tìm x
∗
∈ C sao cho:
F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C. (1.1)
Tập những điểm x
∗
thỏa mãn (1.1) được gọi là nghiệm của bài tốn
và ký hiệu là V I(F, C).
Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có mối quan hệ mật thiết với
nhiều bài tốn khác nhau trong đó có bài tốn điểm bất động.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />3
• Bài tốn điểm bất động
Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian Hilbert H và
T : C → C là một ánh xạ liên tục. Bài tốn điểm bất động của ánh xạ
đơn trị được phát biểu như sau:
Tìm x
∗
∈ C sao cho:
x
∗
= T (x
∗
). (1.2)

đó ta có:
x
1
∈ C : F (x
1
), x − x
1
 ≥ 0, ∀x ∈ C và
x
2
∈ C : F (x
2
), x − x
2
 ≥ 0, ∀x ∈ C.
Trong bất đẳng thức thứ nhất ta chọn x = x
2
và trong bất đẳng thức
thứ 2 ta chọn x = x
1
, sau đó cộng vế tương ứng của hai bất đẳng thức
ta được:
F (x
1
) − F(x
2
), x
1
− x
2

F (x) − F(y), x − y ≥ 0 ;
• Ánh xạ F được gọi là giả đơn điệu trên C nếu với ∀x, y ∈ C ta có:
F (y), x − y ≥ 0 suy ra F (x), x − y ≥ 0 ;
• Ánh xạ F được gọi là h-liên tục trên C nếu F(x + ty)  F (x) khi
t → 0
+
với ∀x, y ∈ C ;
• Ánh xạ F được gọi là L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại ,một
hằng số L > 0 sao cho với ∀x, y ∈ C ta có F (x) − F (y) ≤ Lx − y .
Số hóa bởi trung tâm học liệu />5
• Cho X là một tập con lồi đóng trong H. Một ánh xạ T của X vào
H được gọi là khơng giãn trên X, nếu ánh xạ T : X → X thỏa mãn
điều kiện sau: T (x) − T (y) ≤ x − y ∀x, y ∈ C.
• Ánh xạ F được gọi là a-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng
số a > 0 sao cho với ∀x, y ∈ C ta có: F (x) − F (y), x − y ≥ ax − y
2
.
• Ánh xạ F được gọi là a-ngược đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một
hằng số a > 0 sao cho với ∀x, y ∈ C ta có:
F (x) − F(y), x − y ≥ aF (x) − F (y)
2
.
Dễ dàng thấy rằng ánh xạ F là a-ngược đơn điệu mạnh thì ánh xạ F
là một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz. Sau đây là phương pháp
ngun lý bài tốn phụ để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ
điển trong khơng gian Hilbert.
Phương pháp ngun lý bài tốn phụ được G.Cohen [5] giới thiệu lần
đầu vào năm 1980 khi nghiên cứu bài tốn tối ưu. Năm 1988, Cohen [5]
vận dụng ngun lý bài tốn phụ để xác định nghiệm cho bất đẳng thức
biến phân cổ điển. Để trình bày kết quả đó trước hết chúng ta trình bày

Bổ đề 1.1. [5] Nếu phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết  thì bài tốn
(1.4) tồn tại ít nhất một nghiệm u
∗
. Hơn nữa nghiệm u
∗
là duy nhất nếu
J

đơn điệu mạnh.
Ta cho ϕ : H → R là một phiếm hàm lồi và khả vi Gâteaux. Với mỗi
v ∈ C và ε > 0 xác định một phiếm hàm sau:
G : u −→ ϕ(u) + εJ

(v) − ϕ

(v), u. (1.5)
Khi đó, G

(v) = εJ

(v). Do đó nếu v ∈ C là nghiệm bài tốn (1.4) thì
v là nghiệm của bài tốn:
min
u∈C
{ϕ(u) + εJ

(v) − ϕ

(v), u}. (1.6)
Từ đó dẫn đến thuật tốn sau: Cho {ε

là nghiệm bài tốn (1.7).
(iii) Dừng, nếu u
n+1
− u
n
 nhỏ hơn một ngưỡng nào đó. Ngược lại,
ta quay trở lại bước trước.
Sự tồn tại nghiệm của bài tốn (1.4) và (1.7) được trình bày trong
định lý sau:
Định lý 1.3. [5] Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết ;
(ii) J là một phiếm hàm lồi, với đạo hàm Gâteaux J

là một ánh xạ
L-liên tục Lipschitz trên C;
(iii) ϕ là một hàm lồi, với đạo hàm Gâteaux ϕ

là ánh xạ b-đơn điệu
mạnh và B-liên tục Lipschitz trên C.
Khi đó, bài tốn (1.4) tồn tại nghiệm u
∗
và bài tốn (1.7) có duy
nhất nghiệm u
n+1
, với mọi n ∈ N.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />7
Giả sử, nếu ε
n
thỏa mãn điều kiện:
α < ε

n+1
− u
∗
 ≤
1
a

B
ε
n
+ L

u
n+1
− u
n
 (1.9).
Để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1). Cohen [6]
đã tiến hành như sau. Lấy tùy ý u
0
∈ C và ε
0
> 0, xét bài tốn phụ:
min
u∈C
{ϕ(u) + ε
0
F (u
0
) − ϕ

n
) − ϕ

(u
n
), u}. (1.11)
Ký hiệu u
n+1
là nghiệm bài tốn (1.11).
(iii) Dừng, nếu u
n+1
− u
n
 nhỏ hơn một ngưỡng nào đó, nếu khơng,
ta quay trở về bước trước.
Chú ý 1.1 Tại mỗi bước lặp của thuật tốn trên, u
n
là nghiệm duy
nhất của bất đẳng thức biến phân:
F
n
(u
n
), u − u
n
 ≥ 0 ∀u ∈ C,
ở đây, F
n
là xấp xỉ của F, với
F

n
< 2abL
2
thì
dãy nghiệm {u
n
} của bài tốn phụ (1.11) hội tụ mạnh tới nghiệm u
∗
của
bài tốn (1.1).
1.2 Một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động
chung cho một họ ánh xạ khơng giãn
Trước khi trình bày một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động
của lớp ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert, chúng ta sẽ giới
thiệu ánh xạ khơng giãn và sự tồn tại điểm bất động của lớp ánh xạ này
trong khơng gian Hilbert.
• Cho X, Y là hai khơng gian Banach. Ánh xạ T : X → Y được
gọi là d-compact, nếu {x
n
} là một dãy bị chặn trong X sao cho dãy
{T (x
n
) − x
n
} hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con {x
n
k
} của dãy {x
n
}

)T x
n
, n = 0, 1, 2 (1.12)
Trong đó, u là một phần tử tùy ý thuộc C, {α
n
}
∞
n=0
là một dãy số thực
trong đoạn [0, 1] và T : C → C là một ánh xạ khơng giãn trên tập lồi
đóng bị chặn C của khơng gian Hilbert H. B.Halpern cho kết quả sau.
Định lý 1.7. [7] Cho C là một tập con lồi đóng bị chặn của khơng gian
Hilbert H và T : C → C là một ánh xạ khơng giãn trên C. Khi đó với
u ∈ C và dãy số thực {α
n
}
∞
n=0
⊂ [0, 1] sao cho α
n
= n
−θ
, θ ∈ (0, 1) ,
thì dãy lặp {x
n
}
∞
n=0
xác định bởi (1.12) hội tụ mạnh đến điểm bất động
của T.

|
α
2
n
= 0.
Năm 1992, Wittmann [12] cũng có kết quả cho sự hội tụ mạnh của
dãy lặp (1.12) đến một điểm bất động của ánh xạ khơng giãn T trong
khơng gian Hilbert. Khi dãy số {α
n
}
∞
n=0
thỏa mãn các điều kiện : (L
1
),
Số hóa bởi trung tâm học liệu />10
(L
3
), và (L
4
):
∞

n=o
|α
n+1
− α
n
| < ∞. Sau này, Bauschke [3] là người đầu
tiên vận dụng phương pháp lặp Halpern để tìm điểm bất động chung

T
1
)
= F ix(T
1
T
N
T
2
)
=
= F ix(T
N−1
T
N−2
T
1
T
N
)
Giả sử rằng {α
n
}
∞
n=0
là một dãy số thực thỏa mãn điều kiện (L
1
),(L
2
)

5
) bằng điều kiện (L
6
) : lim
n→∞
α
n
α
n+N
= 1 hoặc
lim
n→∞
α
n
− α
n+N
α
n+N
= 0 để có kết quả sau:
Định lý 1.9. [3] Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong khơng gian
Hilbert H và {T
i
}
N
i=1
: C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ khơng
giãn, sao cho F =
N
∩
i=1

∞
n=0
là một dãy số thực thỏa mãn điều kiện (L
1
),(L
2
)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />11
và (L
6
), Khi đó với u và x
0
tùy ý thuộc C thì dãy {x
n
}
∞
n=0
xác định bởi
x
n+1
= α
n+1
u+(1−α
n+1
)T
[n+1]
x
n
, n ≥ 0 (1.14)
trong đó T

∞
n=0
⊂ (0, 1).
Để ý rằng, khi α
n
= γ với mọi n thì dãy lặp Mann trở về dãy lặp
Krasnoselskij.
Mann đã chứng minh rằng, nếu dãy số {α
n
}
∞
n=0
⊂ (0, 1) thỏa mãn
điều kiện
∞

n=0
α
n
(1 − α
n
) = ∞ thì dãy lặp {x
n
}
∞
n=0
hội tụ yếu đến một
điểm bất động của ánh xạ T , với T là ánh xạ khơng giãn từ một tập lồi
đóng khác rỗng C của khơng gian Hilbert H vào chính nó.
Năm 1967, Browder và Petryshyn [4] là những người đầu tiên vận

dãy (1.16) hội tụ mạnh tới điểm bất động của T .
Năm 1974, Rhoades [11] đưa ra kết quả sau:
Số hóa bởi trung tâm học liệu />12
Định lý 1.11. [11] Cho H là một khơng gian Hilbert, C là một tập lồi,
compact của H và T : C → C là một ánh xạ λ−giả co chặt. Giả sử
rằng {α
n
}
∞
n=0
là một dãy các số thực thỏa mãn các điều kiện:
(i) α
0
= 1; (ii) 0 < α
n
< 1, n ≥ 1;
(iii)
∞

n=1
α
n
= ∞; (iv) lim
n→∞
α
n
= α < 1 − λ.
Khi đó dãy {x
n
}

một số kết quả cơ bản đạt được trong phạm vi đề tài.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />13
Chương 2
Phương pháp ngun lý bài tốn
phụ hiệu chỉnh tìm nghiệm của
bất đẳng thức biến phân là điểm
bất động chung cho một họ vơ hạn
các ánh xạ khơng giãn
2.1 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ hiệu
chỉnh bất đẳng thức biến phân
• Bài tốn
Cho H là một khơng gian Hilbert thực, tích vơ hướng và chuẩn được
ký hiệu tương ứng bởi ., . và .. Cho C là một tập con lồi đóng trong
H. Ký hiệu hình chiếu của một điểm x ∈ H lên tập C bởi P
C
(x). Một
ánh xạ A của C vào H được gọi là đơn điệu, nếu
A(u) − A(v), u − v ≥ 0,
với mỗi u, v ∈ C. Bài tốn bất đẳng thức biến phân là tìm u ∈ C sao
cho
A(u), u − v ≤ 0, ∀v ∈ C. (2.1)
Tập các nghiệm của (2.1) được ký hiệu bởi V I(C, A).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />14
Cho {T
i
}
∞
i=1
là một họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn trên C. Bài
tốn được nghiên cứu là tìm phần tử

{ε
n
}
n≥1
. Với mỗi x ∈ C, ta đưa vào bài tốn phụ
min
z∈C
ϕ(z) + ε
k
A(x) − ϕ

(x), z.
Cho z(x) là nghiệm của bài tốn phụ này. Khi đó nó được đặc trưng
bởi bất đẳng thức biến phân
ϕ

(z(x)) + ε
k
A(x) − ϕ

(x), z(x) − v ≤ 0 ∀v ∈ C. (2.4)
Nếu z(x) được thay bằng x, thì dễ dàng kiểm tra được z(x) là nghiệm
bài tốn (2.1).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />15
• Thuật tốn cơ bản
(i) Tại k = 1 xuất phát tại điểm z
1
và số ε
1
.

Dunn. Thuật tốn cũng hội tụ khi ánh xạ A là một gradient và đơn
điệu. Trong trường hợp này, (2.1) tương ứng với bài tốn tìm cực tiểu
hàm lồi. Thuật tốn được nghiên cứu giúp giải nhiều bài tốn liên quan,
xem ví dụ. Lưu ý rằng thuật tốn này khơng hội tụ khi ánh xạ A là đơn
điệu mạnh, nhưng khơng là một gradient. Để loại bỏ điều xấu này, trong
[10], Baasansuren và Khan đã sử dụng thuật tốn cơ bản cho (2.3), ở
đây A + αI là a-đơn điệu mạnh. Họ đã kết hợp thuật tốn hiệu chỉnh
với thuật tốn cơ bản trên. Tư tưởng này phát triển để tìm điểm bất
động chung của một họ vơ hạn các ánh xạ giả co chặt.
Mặt khác để tìm điểm bất động chung của một họ vơ hạn ánh xạ
khơng giãn T
i
trên một tập con lồi đóng C, Takahashi đưa ra một ánh
xạ W, sinh bởi T
n
, T
n−1
, · · ·, T
1
và γ
n
, γ
n−1
, · · ·, γ
1
, là những số thực,
như sau:
U
n,n+1
= I,

n,3
+ (1 − γ
2
)I,
W
n
= U
n,1
= γ
1
T
1
U
n,2
+ (1 − γ
1
)I.
(2.6)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />16
Dựa trên những kết quả nêu ở trên, ta sử dụng thuật tốn bài tốn phụ
hiệu chỉnh, để giải (2.2). Ta xét bài tốn phụ kết hợp với một phương
pháp hiệu chỉnh, để giải (2.2) dưới dạng sau.
Ta bắt đầu với một điểm cho trước z
1
∈ C và tham số ε
1
và α
1
, sau
đó giải bài tốn

tại nghiệm cực tiểu. Chúng ta ký hiệu nghiệm đó bằng z
2
tiếp tục thay
tương ứng ε
1
, α
1
và z
1
bởi ε
2
, α
2
và z
2
.
• Thuật tốn A.
(i) Tại k = 1 bắt đầu với z
1
, ε
1
và α
1
.
(ii) Tại bước k = n ta giải bài tốn: Tìm z ∈ C sao cho
min
z∈C
ϕ(z) + ε
n
(A

− z
n
 nhỏ hơn một ngưỡng nào đó. Nếu khơng,
quay về bước trước.
Đối với dãy {ε
n
}
∞
n=1
và {α
n
}
∞
n=1
, chúng ta đặt điều kiện sau.
• Giả thiết A.
Cho {α
n
} và {ε
n
} là hai dãy số thực , thỏa mãn các điều kiện:
(i) 0 < ε
n
≤ 1; 0 < α
n+1
≤ α
n
≤ 1 : α
n
→ 0 khi n → ∞ và

n
< ∞.
Sự hội tụ của thuật tốn (2.7) được chứng minh ở phần tiếp theo.
2.2 Phương pháp ngun lý bài tốn phụ hiệu
chỉnh giải bài tốn đặt ra
Đầu tiên, chúng ta xây dựng một nghiệm hiệu chỉnh u
n
, bằng cách
giải bài tốn bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh sau: Tìm u
n
∈ C sao
cho
A(u
n
) + α
µ
n
A
n
(u
n
) + α
n
u
n
, u
n
− v ≤ 0 ∀v ∈ C. (2.8)
Chúng ta liệt kê một số vấn đề cơ bản được sử dụng trong chứng
minh.

là tập nghiệm của F (u, v
∗
) ≤ 0 ∀u ∈ C,
và nó là tập lồi đóng.
(ii) Nếu F (., v) là h-liên tục với mỗi v ∈ C và F là đơn điệu mạnh,
có nghĩa là tồn tại một hằng số dương τ sao cho
F (u, v) + F (v, u) ≤ −τu − v
2
,
thì U
∗
là một điểm duy nhất.
Bổ đề 2.1. Cho {a
n
}, {b
n
} và {c
n
} là dãy các số dương, thỏa mãn các
điều kiện :
(i) a
n+1
≤ (1 − b
n
)a
n
+ c
n
, b
n

i
}
∞
i=1
là một họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn trong C sao
cho F :=
∞

i=1
F ix(T
i
) = ∅ và cho {γ
i
} là một dãy trong (0, γ] với mỗi
γ ∈ (0, 1). khi đó, với mỗi x ∈ C và i ≥ 1, lim
n→∞
U
n,i
x tồn tại.
Vì vậy, chúng ta có thể xác định các ánh xạ sau
U
∞,i
x := lim
n→∞
U
n,i
x, và W x := lim
n→∞
W
n

Bây giờ ta có thể chứng minh những kết quả sau
Định lý 2.1. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của khơng gian
Hilbert H, cho A là một ánh xạ đơn điệu h-liên tục từ C vào H, và
cho {T
i
}
∞
i=1
là một họ vơ hạn các ánh xạ khơng giãn trên C sao cho
S := V I(C, A) ∩ F = ∅, ở đây V I(C, A) ký hiệu là tập nghiệm của
(1.1) và F =
∞

i=1
F ix(T
i
). Khi đó, chúng ta có:
(i) Với mỗi α
n
> 0, bài tốn (2.8) có duy nhất nghiệm u
n
.
(ii) lim
n→∞
u
n
= u
∗
, u
∗

(u), v − u.
Khi đó, bài tốn (2.8) có dạng sau: tìm u
n
∈ C sao cho
˜
F
n
(u
n
, v) ≥ 0 ∀v ∈ C, (2.9)
ở đây
˜
F
n
(u, v) = F
n
(u, v) + α
n
u, v − u.
Khơng khó khăn có thể kiểm tra
˜
F
n
(u, v) là một song hàm,
˜
F
n
(u, v)
thỏa điều kiện 2.8, và đơn điệu mạnh với hằng số α
n

k
} là dãy con của {u
n
} sao cho u
k
hội tụ yếu tới u
∗
∈ H, khi k → +∞.
C là đóng theo chuẩn và lồi, C là đóng yếu. Do đó, u
∗
∈ C. Ta chứng
minh u
∗
∈ S. Với mục đích đó, trước hết, ta chứng minh u
∗
∈ V I(C, A).
Thật vậy, theo (2.8) và A, A
k
là đơn điệu, chúng ta có
A(v), u
k
− v ≤ A(u
k
), u
k
− v
≤ α
µ
n
A

1−µ
k
v)(v + y) ∀v ∈ C, y ∈ S.
(2.11)
vì lim
k→∞
A
k
(v) = lim
k→∞
v − W
k
(v) = v − W(v), từ (2.11) chúng ta
nhận được
A(v), u
∗
− v ≤ 0 ∀v ∈ C,
điều này tương đương với (2.2). Có nghĩa rằng u
∗
∈ V I(C, A). u
∗
∈ F,
ta lấy một phần tử bất kỳ y ∈ S. khi đó, bằng lập luận tương tự như
(2.11), tính đơn điệu của A và với A
k
là (1/2)-đơn điệu mạnh, chúng ta
có
u
k
− W

∗
và
tính duy nhất của thành phần có chuẩn nhỏ nhất trong S, tập con lồi
đóng trong C, chúng ta nhận được sự hội tụ mạnh của dãy {u
n
} hội tụ
tới u
∗
.
(iii) Từ (2.8), (2.10) và tính đơn điệu của A và A
n
, suy ra
α
n
u
n
, u
m
− u
n
 + α
m
u
m
, u
n
− u
m
 ≥ 0
Số hóa bởi trung tâm học liệu />