ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG THỊ THU THỦY
TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU
CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG
THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2009
♥♦♥❡
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1
▼ô❝ ❧ô❝
▼ë ➤➬✉ ✹
❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣
❝❤Ø♥❤ ✽
✶✳✶✳ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❜æ trî ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽

∗
❧➭ t♦➳♥
tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ➤➡♥ trÞ ✈➭ K ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ X✳ ❱í✐ f ∈ X
∗
✱ ❤➲②
t×♠ x
0
∈ K s❛♦ ❝❤♦
A(x
0
) − f, x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ K, ✭✵✳✶✮
ë ➤➞② x
∗
, x ❦Ý ❤✐Ö✉ ❣✐➳ trÞ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ x
∗
∈ X
∗
t➵✐
x ∈ X✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧
✐♥❡q✉❛❧✐t②✮✳ ◆Õ✉ K ≡ X t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❝ã ❞➵♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö
A(x) = f. ✭✵✳✷✮
❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❧➭ ❧í♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➯② s✐♥❤ r❛ tõ ♥❤✐Ò✉
✈✃♥ ➤Ò ❝ñ❛ t♦➳♥ ❤ä❝ ø♥❣ ❞ô♥❣ ♥❤➢ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥✱ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈❐t ❧ý
t♦➳♥✱ tè✐ ➢✉ ❤♦➳✳ ◆❣♦➭✐ r❛ ♥❤✐Ò✉ ✈✃♥ ➤Ò t❤ù❝ tÕ ♥❤➢ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣
♠➵♥❣ ❣✐❛♦ t❤➠♥❣ ➤➠ t❤Þ✱ ❝➳❝ ♠➠ ❤×♥❤ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❦✐♥❤ tÕ✳✳✳✳ ➤Ò✉ ❝ã t❤Ó ♠➠ t➯
➤➢î❝ ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ❝ñ❛ ♠ét ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ❘✃t t✐Õ❝ ❧➭ ❜✃t
➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣✱ ❧➵✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳
❉♦ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ♥➟♥ ✈✐Ö❝ ❣✐➯✐ sè

ị ỷ rt t tì ớ ỉ tr sốt tờ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 5
tự ệ ó trự tế ớ t ó

ử ờ t tớ s tế sĩ ở ệ
ọ ệ ệ t t tộ ệ ọ ệ ệt
t tr rờ ọ ọ ó
ó r ết ò trề t ề
ế tứ ọ tr sốt tờ ọ t t rờ
ố ù t ử ờ tớ ữ ờ t ữ ờ
ủ t ộ ổ ũ t rt ề tr sốt tờ ừ q
ề ệ tờ trì ộ ó ó
tr ỏ ữ tế sót rt ợ ữ ý ế ó ó
qý ủ qý t t tể
t
ị ỷ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 6
▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉ ✈➭ ❝❤÷ ✈✐Õt t➽t
H ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝
X ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝
X
∗
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛ X
R
n
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ n ❝❤✐Ò✉
∅ t❐♣ rç♥❣
x := y x ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜➺♥❣ y

✶✳✶✳ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❜æ trî
❚r♦♥❣ ♠ô❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❣✐➯✐
tÝ❝❤ ❤➭♠ ✈➭ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❤➭♠ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ❝ã ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ♥é✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
❝ñ❛ ➤Ò t➭✐✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ♥➭② ➤➢î❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ ❬✶❪✱ ❬✷❪✱ ❬✸❪✱
❬✹❪✱ ❬✺❪ ✈➭ ❬✽❪✳
✶✳✶✳✶✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤Þ♥❤ ❝❤✉➮♥ ➤➬②
➤ñ✳
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✶✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ L
p
[a, b], 1 ≤ p < ∞ ✈í✐ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠
x(t) ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✈➭ p✲❦❤➯ tÝ❝❤ tr➟♥ ➤♦➵♥ [a, b] s❛♦ ❝❤♦
b

a
|x(t)|
p
dt < ∞✱ ❧➭ ♠ét
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈í✐ ❝❤✉➮♥
x =


b
a
|x(t)|
p
dt

1/p
.

ộ tụ ế
ột tử x
0
M;
t ế ế ọ {x
n
} M ề ứ ột x
n
k
ộ
tụ ế ế ột tử x
0
M;
ó ó ế ế {x
n
} M x
n
x (x
n
x) tì x M.
ị ĩ tử x
n
tr X ợ
ọ ộ tụ ế tử x
0
n ế x
n
x
0
0.

tì x
0
lim
n
x
n


S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 9
 ◆❤❐♥ ①Ðt✿ ▼ét sè tr➢ê♥❣ ❤î♣ tõ ❤é✐ tô ②Õ✉ ❝ã t❤Ó s✉② r❛ ❤é✐ tô ♠➵♥❤ ❧➭✿
✶✮ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉✳
✷✮ {x
n
} ⊂ M✱ ë ➤➞② M ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ X✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✳ ✭❇❛♥❛❝❤✲❙t❡✐♥❤❛✉s✮ ❈❤♦ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ f
n
∈ X
∗
✈➭ ❣✐➯ sö ❞➲② {f
n
, x} ❜Þ ❝❤➷♥ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X. ❑❤✐ ➤ã ❞➲② {f
n
} ❜Þ ❝❤➷♥
tr♦♥❣ X
∗
.
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✷✳ ●✐➯ sö {f
n
} ⊂ X
∗


x
n
 → x

❧✉➠♥ ❦Ð♦ t❤❡♦ sù ❤é✐ tô ♠➵♥❤

x
n
− x → 0

✳
✶✳✶✳✷✳ P❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧å✐ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐
❈❤♦ X✱ Y ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ t♦➳♥ tö A : X → Y ❧➭ ♠ét t♦➳♥
tö ➤➡♥ trÞ✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ ♠✐Ò♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ A ❧➭ D(A) ✈í✐
D(A) = domA = {x ∈ X|Ax = ∅}
✈➭ ♠✐Ò♥ ❣✐➳ trÞ ❧➭
R(A) = {f ∈ Y |f ∈ Ax, x ∈ D(A)}.
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✻✳ ❚♦➳♥ tö A ❣ä✐ ❧➭ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ♥Õ✉
✶✮ A(x
1
+ x
2
) = Ax
1
+ Ax
2
✈í✐ ♠ä✐ x
1
, x

y
i
=
k

j=1
a
ij
x
j
, i = 1, . . . , m ✭✶✳✶✮
tr♦♥❣ ➤ã a
ij
❧➭ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè✳ ▼❛ tr❐♥ (a
ij
)
k×m
❣ä✐ ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝ñ❛ t♦➳♥
tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ A ✈➭ ✭✶✳✶✮ ❧➭ ❞➵♥❣ tæ♥❣ q✉➳t ❝ñ❛ ♠ä✐ t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tõ
R
k
✈➭♦ R
m
✳ ▼ét t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tõ R
k
✈➭♦ R
m
❜❛♦ ❣✐ê ❝ò♥❣ ❧✐➟♥ tô❝✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✽✳ ❚♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ A : X → Y ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜Þ ❝❤➷♥
✭❣✐í✐ ♥é✐✮ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ sè K > 0 t❤á❛ ♠➲♥✿

r s ở K(x, s)
ị ĩ A : X Y ột t tử tế tí tụ
ó số
inf{K, K > 0 : Ax K.x, x X}
ợ ọ ủ t tử A í ệ A
ét
tờ ù tr R
n

x
1
=
n

i=1
|x
i
|, x
2
=

n

i=1
|x
i
|
2

1/2

i=1
|a
ij
|, A
2
= {max
1in

i
(A
T
A)}
1
2
, A

= max
1in
n

j=1
|a
ij
|,
tr ó
i
(A
T
A) trị r ủ tr ố ứ A
T

n→∞
f(x
n
) ≥ f(x), ∀x ∈ X.
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✸✳ ❍➭♠ f : X → R ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ②Õ✉ tr➟♥
X ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ ❞➲② {x
n
} : x
n
 x t❤×
lim inf
n→∞
f(x
n
) ≥ f(x), ∀x ∈ X.
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✹✳ ❍➭♠ f : X → R ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭
✶✮ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ♥Õ✉ domf = ∅ ✈➭ f(x) > −∞✱ ∀x ∈ X;
✷✮ ❤÷✉ ❤➵♥ ♥Õ✉ |f(x)| < ∞✱ ∀x ∈ X.
✶✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✺✳ ❍➭♠ f ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① t➵✐ ➤✐Ó♠ x ∈ X ♥Õ✉
tå♥ t➵✐ x
∗
∈ X
∗
s❛♦ ❝❤♦
lim
λ→+0
f(x + λy) − f(x)
λ

 ◆❤❐♥ ①Ðt✿ ◆Õ✉ A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X
t❤× tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ tÝ♥❤ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö✳
✶✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14
ị ĩ tử A ợ ọ ệ ề ế tồ t ột
(t) ớ t 0 (0) = 0
A(x) A(y), x y (x y), x, y D(A).
ế (t) = c
A
t
2
ớ c
A
ột số tì t tử A ợ ọ
ệ
ị ĩ tử A ợ ọ h tụ tr X ế A(x+ty)
Ax t 0 ớ x y X d tụ ế x
n
x tì s r Ax
n
Ax
ú ý r ế A t tử ệ h tụ tì A t tử d
tụ
ị ĩ tử A ợ ọ t tử ứ ế
lim
x+
A(x), x
x
= +.
ị ĩ U


S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 15
 ◆❤❐♥ ①Ðt✿
✶✮ ❚r♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H✱ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ❝❤Ý♥❤ ❧➭
t♦➳♥ tö ➤➡♥ ✈Þ I tr♦♥❣ H✳
✷✮ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈Ý ❞ô ✈Ò t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ♥ã
tå♥ t➵✐ tr♦♥❣ ♠ä✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳
❱í✐ X = L
p
(Ω)✱ 1 < p < ∞ ✈➭ Ω ❧➭ ♠ét t❐♣ ➤♦ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ R
n
t❤× ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ U ❝ã ❞➵♥❣
(Ux)(t) = x
2−p
|x(t)|
p−2
x(t), t ∈ Ω.
●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ U
s
t❤á❛ ♠➲♥
U
s
(x) − U
s
(y), x − y ≥ m
U
x − y
s
, m

, x − y, ∀y ∈ X}.
P❤➬♥ tö x
∗
∈ X
∗
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➢í✐ ●r❛❞✐❡♥t ❝ñ❛ ❤➭♠ f t➵✐ x ✈➭ ∂f(x) ➤➢î❝
❣ä✐ ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ f t➵✐ x✳
✶✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16