BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯƠNG MINH TUYÊN
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN
CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG
KHÔNG GIAN BANACH
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN-NĂM 2013
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm-Đại
học Thái Nguyên, Thái Nguyên, Việt Nam.
Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Nguyễn Bường
GS. TS. Jong Kyu Kim
Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:
Luận án sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận án cấp Đại học họp
tại: vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu về luận án tại:
- Thư viện Quốc gia
- Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên
Mở đầu
Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh
xạ không giãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach là
một trường hợp riêng của bài toán chấp nhận lồi: "Tìm một phần tử
thuộc giao khác rỗng của một họ hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi

i
= I − T
i
với i = 1, 2, , N.
Đối với bài toán xác định không điểm của toán tử j-đơn điệu, trong
phạm vi của luận án chúng tôi chỉ đề cập đến một số phương pháp
giải nổi tiếng cho lớp bài toán này như: phương pháp hiệu chỉnh
Tikhonov, phương pháp điểm gần kề, một số cải biên của phương
pháp điểm gần kề, bao gồm phương pháp điểm gần kề quán tính,
phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh, phương pháp điểm gần kề
quán tính hiệu chỉnh
Đối với bài toán tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn các phương
trình toán tử với các toán tử đơn điệu cực đại trong không gian
1
2
Hilbert, chúng tôi đặc biệt chú ý phương pháp hiệu chỉnh Browder-
Tikhonov của G.S. Nguyễn Bường (Buong N. (2006), "Regulariza-
tion for unconstrained vector optimization of convex functionals in
Banach spaces", Compt. Math. and Math. Phys., 46 (3), pp. 372-
378) khi ông đặt vấn đề giải bài toán tìm không điểm chung của một
họ hữu hạn các toán tử đơn trị đơn điệu, thế năng, h−liên tục từ
không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E
∗
. Ông đã quy bài
toán giải hệ phương trình với các toán tử đơn điệu cực đại về việc giải
một phương trình toán tử và thu được sự hội tụ mạnh của thuật toán
về một nghiệm của bài toán khi các tham số hiệu chỉnh được chọn
thích hợp. Tiếp đó, năm 2008 GS. Nguyễn Bường (Buong N. (2008),
"Regularization proximal point algorithm for unconstrained vector
convex optimization problems", Ukrainian Mathematical Journal,

3
các ánh xạ không giãn trong không gian Banach và các biến thể
khác nhau của nó, đồng thời nghiên cứu tính ổn định của các
phương pháp lặp thu được theo hướng nghiên cứu của Alber Y.
2. Nghiên cứu mở rộng kết quả của Xu H. K. cho bài toán xác định
không điểm của toán tử m-j-đơn điệu từ không gian Hilbert lên
không gian Banach trơn đều.
3. Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp
điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm một điểm bất
động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong
không gian Banach và các biến thể của nó, đồng thời nghiên cứu
tính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh thu được.
Nội dung của luận án được trình bày trong ba chương.
Chương 1 có tính chất bổ trợ, giới thiệu sơ lược về một số vấn đề
liên quan đến cấu trúc hình học của các không gian Banach, bài toán
đặt không chỉnh với các toán tử loại đơn điệu, bài toán tìm điểm bất
động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, tổng quan
về các phương pháp giải đã biết cho các lớp bài toán này và cuối
cùng là một số bổ đề cần sử dụng cho việc chứng minh các kết quả
nghiên cứu đạt được ở các chương sau của luận án.
Chương 2 trình bày các định lí về sự hội tụ mạnh của phương
pháp điểm gần kề theo hướng nghiên cứu của các tác giả Buong N.
và Xu H. K. cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu
hạn các ánh xạ không giãn và cho bài toán xác định không điểm của
toán tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach, ở đây tính ổn định
của các phương pháp lặp cũng được thiết lập và nghiên cứu. Một số
ứng dụng của các kết quả đạt được cho việc giải bài toán tìm điểm
bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong
không gian Hilbert, bài toán chấp nhận lồi trong không gian Banach
và một số ví dụ cùng với các tính toán cụ thể cũng được trình bày

loại đơn điệu.
Mục 1.5 dành cho việc phát biểu bài toán tìm một điểm bất động
chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn và đặc biệt trong
mục này chúng tôi trình bày một cách tổng quan về các phương pháp
"cổ điển" xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn nói chung và
các phương pháp tìm một điểm bất động chung của một họ hữu hạn
các ánh xạ không giãn nói riêng.
Mục 1.6 cũng là mục cuối cùng trong chương này, trình bày một
số bổ đề quan trọng, thường xuyên sử dụng đến trong việc chứng
minh các kết quả nghiên cứu đạt được ở các chương sau của luận án.
Trong các chương sau của luận án chúng tôi sẽ đề cập đến một số
phương pháp ổn định giải bài toán tìm một điểm bất động chung của
một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach.
5
Chương 2
Phương pháp điểm gần kề
Chương này, chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu đạt được
về sự hội tụ mạnh của phương pháp điểm gần kề cho bài toán tìm
điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn và
bài toán xác định không điểm của toán tử m − j−đơn điệu trong
không gian Banach, cùng với đó là một số ứng dụng của các kết quả
thu được cho việc giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họ
hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert và bài toán
chấp nhận lồi trong không gian Banach.
2.1. Phương pháp điểm gần kề cho bài toán tìm điểm
bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ
không giãn
Trước hết, ta xét bài toán sau:
Xác định một phần tử x
∗

= 0,

∞
n=1
t
n
= ∞, lim
n→∞
t
n
t
n+1
= 1 hoặc
ii) lim
n→∞
t
n
= 0,

∞
n=1
t
n
= ∞,

∞
n=1
|t
n
− t

i
, i = 1, 2, , N và
Q
S
: E −→ S là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Định lí 2.2 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc. Cho T
i
: E −→ E, i = 1, 2, , N là một họ hữu hạn các
ánh xạ không giãn với S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. Nếu các dãy số
{r
n
} ⊂ (0, +∞) và {t
n
} ⊂ (0, 1) thỏa mãn các điều kiện
i) lim
n→∞
t
n
= 0;

∞
n=0
t

hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó A
i
= I − T
i
, i = 1, 2, , N và
Q
S
: E −→ S là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Tiếp theo trong mục này, chúng tôi đưa ra các phương pháp lặp
tương tự để giải bài toán tổng quát hơn dưới đây:
Xác định một phần tử x
∗
∈ S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
), (2.4)
trong đó T
i
: C
i
−→ C
i
, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn,
C
i
là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của E.

n
u + (1 − t
n
)x
n
, u, x
0
∈ E, n ≥ 0,
(2.5)
trong đó B
i
= I − T
i
Q
C
i
, i = 1, 2, , N và Q
C
i
: E −→ C
i
là các
ánh xạ co rút không giãn từ E lên C
i
, i = 1, 2, , N. Nếu dãy số
{t
n
} ⊂ (0, 1) thỏa mãn một trong các điều kiện
8
i) lim

|t
n
− t
n+1
| < +∞,
thì dãy {x
n
} hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó Q
S
: E −→ S là ánh
xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Định lí 2.4 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
Cho C
i
là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của E và
cho T
i
: C
i
−→ C
i
, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn với
S = ∩
N
i=1
F ix(T
i

, i = 1, 2, , N và Q
C
i
: E −→ C
i
là các
ánh xạ co rút không giãn từ E lên C
i
, i = 1, 2, , N . Nếu các dãy
số {r
n
} ⊂ (0, +∞) và {t
n
} ⊂ (0, 1) thỏa mãn các điều kiện
i) lim
n→∞
t
n
= 0;

∞
n=0
t
n
= +∞;
ii) lim
n→∞
r
n
= +∞,

là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn theo tia của
E và cho T
i
: C
i
−→ E, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn
với S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. Cho {x
n
} là dãy được xác định bởi
N

i=1
f
i
(x
n+1
) + x
n+1
= t
n
u + (1 − t
n
)x
n
, u, x


∞
n=1
t
n
= ∞, lim
n→∞
t
n
t
n+1
= 1 hoặc
ii) lim
n→∞
t
n
= 0,

∞
n=1
t
n
= ∞,

∞
n=1
|t
n
− t
n+1


i=1
f
i
(x
n+1
)+x
n+1
= t
n
u +(1−t
n
)x
n
, u, x
0
∈ E, n ≥ 0, (2.9)
trong đó B
i
= I − Q
C
i
T
i
Q
C
i
, i = 1, 2, , N và Q
C
i

} hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó Q
S
: E −→ S là ánh
xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
2.2. Tính ổn định của phương pháp
Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày tính ổn định của các phương
pháp lặp (2.5) và (2.6) cho bài toán (2.4) khi tất cả các miền xác
định C
i
và các ánh xạ không giãn T
i
được cho bởi nhiễu. Cụ thể hơn,
các giả thiết nhiễu được đặt ra như sau:
10
(P1) Thay cho mỗi tập C
i
, tồn tại các tập con lồi, đóng và co rút
không giãn theo tia C
n
i
⊂ E, n = 1, 2, 3, thỏa mãn
H(C
n
i
, C
i
) ≤ δ
n

y ≤ g(max{x, y})ξ(δ). (2.10)
Chúng tôi thiết lập tính ổn định của phương pháp lặp (2.5) ở dạng
sau
N

i=1
B
n
i
(z
n+1
) + z
n+1
= t
n
u + (1 − t
n
)z
n
, u, z
0
∈ E, n ≥ 0, (2.11)
trong đó B
n
i
= I − T
n
i
Q
C

i
) = ∅. Nếu các điều kiện (P1) và (P2)
được thỏa mãn và các dãy số {δ
n
} và {t
n
} thỏa mãn điều kiện
ξ(a

h
E
(δ
n
))
t
n
−→ 0 với mỗi a > 0 và nếu một trong các điều kiện
sau được thỏa mãn
i) lim
n→∞
t
n
= 0,

∞
n=1
t
n
= ∞, lim
n→∞

S
: E −→ S là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
11
Tiếp theo, chúng tôi cũng thiết lập tính ổn định của phương pháp
lặp (2.6) ở dạng sau
r
n
N

i=1
B
n
i
(z
n+1
)+z
n+1
= t
n
u+(1−t
n
)z
n
, u, z
0
∈ E, n ≥ 0, (2.12)
trong đó B
n
i
= I − T

S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. Nếu các điều kiện (P1) và (P2) được thỏa
mãn và các dãy số {r
n
}, {δ
n
} và {t
n
} thỏa mãn các điều kiện
i) lim
n→∞
t
n
= 0;

∞
n=0
t
n
= +∞;
ii) lim
n→∞
r
n
= +∞;
iii)

} được xác định bởi:
u, x
0
∈ E,
r
n
A(x
n+1
) + x
n+1
 t
n
u + (1 − t
n
)x
n
, n ≥ 0, (2.13)
trong đó {t
n
} ⊂ (0, 1) và {r
n
} ⊂ (0, +∞).
Trước hết ta có định lí sau:
Định lí 2.9 Cho E là một không gian Banach trơn đều với tính
liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào
12
E
∗
. Cho A : D(A) ⊆ E −→ 2
E

Q
S
là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Với các giả thiết khác đặt lên các dãy số {r
n
} và {t
n
}, ta cũng
nhận được sự hội tụ mạnh của dãy {x
n
}. Điều này được khẳng định
trong định lí dưới đây:
Định lí 2.10 Cho E là một không gian Banach trơn đều với tính
liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào
E
∗
. Cho A : D(A) ⊆ E −→ 2
E
là một toán tử m−j−đơn điệu với
S = A
−1
(0) = ∅. Nếu các dãy số {r
n
} ⊂ (0, +∞) và {t
n
} ⊂ (0, 1)
thỏa mãn
i) lim
n→∞
t

n+1


< +∞,
thì dãy {x
n
} xác định bởi (2.13) hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó
Q
S
là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của phương pháp lặp
(2.13) ở dạng
r
n
A
n
(z
n+1
) + z
n+1
 t
n
u + (1 − t
n
)z
n
, u, z
0

n
: D(A
n
) ⊆ E −→ 2
E
là các
toán tử m − j−đơn điệu với S = A
−1
(0) = ∅ và D(A) = D(A
n
)
với mọi n. Nếu điều kiện (2.15) được thỏa mãn và các dãy số
{r
n
} ⊂ (0, +∞), {t
n
} ⊂ (0, 1) được chọn sao cho
i) lim
n→∞
t
n
= 0;

∞
n=0
t
n
= +∞;
ii) lim
n→∞

) ⊆ E −→ 2
E
là các
toán tử m − j−đơn điệu với S = A
−1
(0) = ∅ và D(A) = D(A
n
)
với mọi n. Nếu điều kiện (2.15) được thỏa mãn và các dãy số
{r
n
} ⊂ (0, +∞), {t
n
} ⊂ (0, 1) được chọn sao cho
i) lim
n→∞
t
n
= 0;

∞
n=0
t
n
= +∞,

∞
n=0
|t
n+1

thì dãy {z
n
} xác định bởi (2.14) hội tụ mạnh về Q
S
u, trong đó
Q
S
là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.
2.4. Ứng dụng
2.4.1. Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các
ánh xạ giả co chặt
Trước hết, trong mục này chúng tôi đề cập đến ứng dụng của các
phương pháp lặp được trình bày trong Mục 2.1 ở trên cho việc giải
14
bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ
giả co chặt trong không gian Hilbert. Xét bài toán sau:
Xác định một phần tử x
∗
∈ S = ∩
N
i=1
F ix(f
i
) = ∅, (2.16)
trong đó f
i
: C
i
−→ C
i

. Khi đó, T
i
là các ánh xạ không giãn từ C
i
vào chính nó và bài
toán (2.16) tương đương với bài toán sau:
Xác định một phần tử x
∗
∈ S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. (2.17)
Từ các Định lí 2.1 và Định lí 2.2, ta có các kết quả sau:
Định lí 2.13 Nếu dãy số {t
n
} ⊂ (0, 1) thỏa mãn các điều kiện
i) lim
n→∞
t
n
= 0,

∞
n=1
t
n
= ∞, lim
n→∞

F
i
(x
n+1
) + x
n+1
= t
n
u + (1 − t
n
)x
n
, u, x
0
∈ H, n ≥ 0 (2.18)
hội tụ mạnh về P
S
u, trong đó P
S
là phép chiếu mêtric từ H lên
S.
Định lí 2.14 Nếu các dãy số {r
n
} ⊂ (0, +∞) và {t
n
} ⊂ (0, 1)
thỏa mãn các điều kiện
i) lim
n→∞
t

n
)x
n
, u, x
0
∈ H, n ≥ 0 (2.19)
hội tụ mạnh về P
S
u, trong đó P
S
là phép chiếu mêtric từ H lên
S.
15
2.4.2. Bài toán chấp nhận lồi
Xét bài toán chấp nhận lồi sau:
Xác định một phần tử x
∗
∈ S = ∩
N
i=1
S
i
= ∅, (2.20)
trong đó S
i
, i = 1, 2, , N là các tập lồi, đóng và co rút không giãn
của không gian Banach lồi đều và trơn đều E và S là một tập con
co rút không giãn theo tia của E.
Gọi Q
S

n
= ∞, lim
n→∞
t
n
t
n+1
= 1 hoặc
ii) lim
n→∞
t
n
= 0,

∞
n=1
t
n
= ∞,

∞
n=1
|t
n
− t
n+1
| < +∞,
thì dãy {x
n
} xác định bởi

n
} ⊂ (0, +∞) và {t
n
} ⊂ (0, 1)
thỏa mãn các điều kiện
i) lim
n→∞
t
n
= 0;

∞
n=0
t
n
= +∞;
ii) lim
n→∞
r
n
= +∞,
thì dãy {x
n
} xác định bởi
r
n
N

i=1
A

sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương
pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán xác định một
điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn,
cùng với một số ứng dụng của các phương pháp hiệu chỉnh cho việc
giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh
xạ giả co chặt trong không gian Hilbert và bài toán chấp nhận lồi
trong không gian Banach.
3.1. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp
điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm
điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh
xạ không giãn
Trước hết, trong mục này ta xét bài toán sau:
Xác định một phần tử x
∗
∈ S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅, (3.1)
trong đó F ix(T
i
) là tập điểm bất động của ánh xạ T
i
: C −→ C, i =
1, 2, , N và C là một tập con lồi, đóng và co rút không giãn theo
tia của không gian Banach E.
Chúng tôi xây dựng các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và
phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh dạng
N

= Q
C
(u
n
+ γ
n
(u
n
− u
n−1
)),
(3.3)
tương ứng, trong đó y, u
0
, u
1
∈ C, A
i
= I − T
i
, i = 1, 2, , N và
Q
C
: E −→ C là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên C
để giải bài toán (3.1).
Trước hết, ta có định lí sau:
Định lí 3.1 Cho E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
j từ E vào E
∗

Hơn nữa, ta có đánh giá sau
x
n+1
− x
n
 ≤
|α
n+1
− α
n
|
α
n
R
0
∀n ≥ 0, (3.4)
ở đây R
0
= 2y − Q
S
y.
Định lí 3.2 Cho E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
j từ E vào E
∗
. Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, co rút
không giãn theo tia của E và cho T
i
: C −→ C, i = 1, 2, , N là
các ánh xạ không giãn với S = ∩


∞
n=0
α
n
= +∞;
ii) γ
n
≥ 0, γ
n
α
−1
n
u
n
− u
n−1
 −→ 0,
18
thì dãy {u
n
} xác định bởi (3.3) hội tụ mạnh về Q
S
y, trong đó
Q
S
: E −→ S là một ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên
S.
Hệ quả 3.1 Cho E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

= u
n
+ γ
n
(u
n
− u
n−1
), u
0
, u
1
∈ E.
Khi đó, nếu các dãy số {c
n
}, {α
n
} và {γ
n
} thỏa mãn các điều
kiện
i) 0 < c
0
< c
n
, α
n
> 0, α
n
→ 0,

S
θ, trong đó Q
S
: E −→ S là một
co rút không giãn theo tia từ E lên S.
Hệ quả 3.2 Cho E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
j từ E vào E
∗
. Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, co rút
không giãn theo tia của E, T
i
: C −→ E, i = 1, 2, , N là các
ánh xạ không giãn với S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅ và cho {u
n
} là dãy
được xác định bởi
c
n
(
N

i=1
B
i

n
}
thỏa mãn các điều kiện
i) 0 < c
0
< c
n
, α
n
> 0, α
n
→ 0,
|α
n+1
− α
n
|
α
2
n
→ 0,

∞
n=0
α
n
= +∞;
19
ii) γ
n

đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
Cho C
i
là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của E và
cho T
i
: C
i
−→ C
i
, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn với
S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. Nếu dãy số dương {α
n
} hội tụ về không,
thì dãy {x
n
} xác định bởi
N

i=1
B
i
(x
n
) + α

i
−→ C
i
, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn với
S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅ và cho {u
n
} là dãy được xác định bởi
c
n
(
N

i=1
B
i
(u
n+1
) + α
n
u
n+1
) + u
n+1
= u
n

− α
n
|
α
2
n
→ 0,

∞
n=0
α
n
= +∞;
ii) γ
n
≥ 0, γ
n
α
−1
n
u
n
− u
n−1
 −→ 0,
20
thì dãy {u
n
} hội tụ mạnh về Q
S

n
, trong đó {δ
n
} là một dãy số dương thỏa mãn
tính chất
δ
n+1
≤ δ
n
, ∀n ≥ 1. (3.8)
(A2) Trên mỗi tập C
n
, tồn tại các ánh xạ không giãn T
n
i
: C
n
−→
C
n
, i = 1, 2, , N thỏa mãn các điều kiện: tồn tại các hàm dương
g(t) và ξ(t) tăng với mọi t > 0 sao cho g(0) ≥ 0, ξ(0) = 0 và
nếu x ∈ C
k
, y ∈ C, x − y ≤ δ, thì
T
k
i
x − T
i

n+1
) + α
n
(u
n+1
− Q
C
n
y)) + u
n+1
= Q
C
n
(u
n
+ γ
n
(u
n
− u
n−1
)),
(3.11)
tương ứng, trong đó u
0
, u
1
, y là các phần tử thuộc E, A
n
i

> 0 phương trình (3.10) có duy nhất nghiệm z
n
;
ii) nếu các điều kiện (A1) và (A2) được thỏa mãn và các dãy số
dương {α
n
}, {δ
n
} thỏa mãn
α
n
−→ 0,
δ
n
+ ξ(δ
n
)
α
n
−→ 0, khi n −→ ∞, (3.12)
thì dãy {z
n
} xác định bởi (3.10) hội tụ mạnh về Q
S
(Q
C
y),
trong đó Q
S
: E −→ S là một co rút không giãn theo tia từ

LK
4

h
E
(δ
n
), ∀n ≥ 0,
(3.13)
trong đó R, K, K
3
, K
4
là các hằng số.
Tiếp theo tính ổn định và sự hội tụ của phương pháp điểm gần kề
quán tính hiệu chỉnh (3.11) được cho bởi định lí sau:
Định lí 3.6 Cho E là một không gian Banach lồi đều và trơn
đều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
j từ E vào E
∗
. Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, co rút
không giãn theo tia của E và cho T
i
: C −→ C, i = 1, 2, , N
là các ánh xạ không giãn với S = ∩
N
i=1
F ix(T
i
) = ∅. Nếu các điều

n
+ ξ(2δ
n
)
α
2
n
−→ 0,

h
E
(δ
n
)
α
n
−→ 0, khi n −→ ∞,
iii) 0 < c
0
< c
n
, γ
n
≥ 0, γ
n
α
−1
n
u
n

} xác định bởi
N

i=1
F
i
(x
n
) + α
n
x
n
= 0, n ≥ 0, (3.14)
hội tụ mạnh về P
S
θ, trong đó P
S
là phép chiếu mêtric từ H lên
S.
Định lí 3.8 Cho {u
n
} là dãy được xác định bởi u
0
, u
1
∈ H và
c
n

N

i) 0 < c
0
< c
n
, α
n
> 0, α
n
→ 0,
|α
n+1
− α
n
|
α
2
n
→ 0,

∞
n=0
α
n
= +∞;
ii) γ
n
≥ 0, γ
n
α
−1

N

i=1
B
i
(x
n
) + α
n
x
n
= 0, n ≥ 0, (3.16)
hội tụ mạnh về nghiệm chuẩn tắc Q
S
θ của bài toán (2.20), trong
đó B
i
= I − Q
S
i
, i = 1, 2, , N, Q
S
là một ánh xạ co rút không
giãn theo tia từ E lên S.
Định lí 3.10 Cho {u
n
} là dãy được xác định bởi u
0
, u
1

}, {α
n
} và {γ
n
} thỏa mãn các điều kiện
i) 0 < c
0
< c
n
, α
n
> 0, α
n
→ 0,
|α
n+1
− α
n
|
α
2
n
→ 0,

∞
n=0
α
n
= +∞;
ii) γ