ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ KIM CHUNG

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BẤT ĐẲNG
THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ĐẾM ĐƯỢC
CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ KIM CHUNG

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BẤT ĐẲNG
THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ĐẾM ĐƯỢC
CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN:
PGS.TS. PHẠM NGỌC ANH
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY


2.1. Bất đẳng thức biến phân với toán tử đồng bức J-đơn điệu 18
2.1.1. Định lý hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2. Định lý hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Bất đẳng thức biến phân với toán tử J-đơn điệu mạnh . . 25
2.2.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2. Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Kết luận

31


iv

Tài liệu tham khảo

32


1

Mở đầu
Bất đẳng thức biến phân được nghiên cứu đầu tiên bởi Stampacchia
[6], [7] và là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và giải các bài toán
ứng dụng như bài toán cân bằng kinh tế, tài chính, vận tải v.v... vì vậy
nó đã trở thành vấn đề thời sự thu hút rất nhiều nhà khoa học quan
tâm nghiên cứu.
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đẳng thức
biến phân là việc xây dựng phương pháp giải. Dựa trên tính chất kiểu
đơn điệu, đã có rất nhiều phương pháp hiệu quả được các nhà khoa học

Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan
tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả khi học tập
và nghiên cứu.
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015.
Học viên

Nguyễn Thị Kim Chung


3

BẢNG KÝ HIỆU
R
∅

trường số thực
tập rỗng

Rn
|x|

không gian Euclide n-chiều
giá trị tuyệt đối của x

||x||
PC

chuẩn của véctơ x

trong không gian Banach


4

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân với toán
tử J-đơn điệu
Chương này giới thiệu khái niệm và một số tính chất của không gian
Banach; toán tử đơn điệu, toán tử J-đơn điệu; và bài toán bất đẳng
thức biến phân. Các kiến thức của chương được tổng hợp từ các tài liệu
[1]–[7].

1.1.
1.1.1.

Không gian Banach
Không gian Banach trơn đều

Cho E là không gian Banach thực với chuẩn . . Ký hiệu E ∗ là không
gian đối ngẫu của E và giá trị của f ∈ E ∗ tại x ∈ E là x, f . Cho {xn }
là một dãy trong E. Ký hiệu sự hội tụ mạnh của {xn } đến x ∈ E là
xn → x và sự hội tụ yếu là xn

x. Gọi U = {x ∈ E : x = 1}.

Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E gọi là lồi đều nếu với mỗi
∈ (0, 2], tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ U
x+y

(1.3)
Ta thấy không gian E trơn đều nếu và chỉ nếu limτ →0 ρ(τ )/τ = 0.
Định nghĩa 1.4 Cho số thực q cố định, với 1 < q ≤ 2. Không gian
Banach E gọi là q-trơn đều nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho ρ(τ ) ≤ cτ q
với mọi τ > 0.
Bổ đề 1.1 Cho số thực q với 1 < q ≤ 2 và E là không gian Banach.
Khi đó E là q-trơn đều nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số K ≥ 1 sao cho
1
x + y q + x − y q ≤ x q + Ky q
(1.4)
2
với mọi x, y ∈ E.
Hằng số K trong Bổ đề 1.1 được gọi là hằng số q-trơn đều của E.
1.1.2.

Ánh xạ đối ngẫu

Định nghĩa 1.5 Cho số thực q > 1. Ánh xạ đối ngẫu tổng quát Jq từ
∗
E vào 2E được định nghĩa như sau
Jq (x) = x∗ ∈ E ∗ : x, x∗ = x q , x∗ = x

q−1

(1.5)

với mọi x ∈ E. Ánh xạ J = J2 được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc,
và
Jq (x) = x


với

(2) Nếu E là không gian phản xạ, thì J là toàn ánh;
(3) Nếu E là không gian trơn đều, thì J là liên tục đều theo chuẩn trên
mỗi tập con bị chặn của E.
Ngoài ra,
q y − x, jx ≤ y

q

− x q,

(1.8)

với mọi x, y ∈ E và jx ∈ Jq (x). Hơn nữa ta có kết quả sau.
Bổ đề 1.2 Cho số thực q thỏa mãn 1 < q ≤ 2 và E là không gian
Banach q-trơn đều. Khi đó
x+y

q

≤ x

q

+ q y, Jq (x) + 2 Ky

q

(1.9)


+ 2 Ky

− 2 Ky

q

q

− x + y q)

(1.10)

+ x + y q.

Từ đây suy ra
x+y

q

≤ x

q

+ q y, Jq (x) + 2 Ky q .

✷


7


u0

và

lim uj − T uj = 0

j→∞

thì u0 là điểm bất động của ánh xạ T .

1.2.
1.2.1.

Toán tử đơn điệu
Toán tử đơn điệu

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con của H.


8

Định nghĩa 1.8 Toán tử A : C → H được gọi là
(i) đơn điệu nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A);
(ii) η-đơn điệu mạnh nếu tồn tại η > 0 sao cho
A(x) − A(y), x − y ≥ η x − y

2


+ k (I − T )x − (I − T )y

2

(1.13)

với mọi x, y ∈ C. Trong trường hợp này, T gọi là k-giả co chặt.
Định nghĩa 1.11 Ánh xạ QC : E → C được gọi là phép co rút không
giãn theo tia từ E lên C nếu QC thỏa mãn
(i) QC là phép co rút trên C, tức là Q2C = QC ;
(ii) QC là ánh xạ không giãn;


9

(iii) QC là ánh xạ theo tia, tức là với mọi 0 < t < ∞,
QC (QC (x) + t(x − QC (x))) = QC (x).
Tập C được gọi là tập co rút không giãn theo tia nếu tồn tại phép co
rút không giãn theo tia QC từ E lên C.
Bổ đề 1.3 Mọi tập con C lồi đóng của không gian Banach lồi đều E
đều là tập co rút của E, tức là tồn tại phép co rút từ C lên E.
Bổ đề 1.4 Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng của không gian Banach
trơn E và QC : E → C là phép co rút từ E lên C. Khi đó, các phát biểu
sau là tương đương:
(i) QC là ánh xạ không giãn theo tia;
(ii) x − QC x, j(y − QC x) ≤ 0 ∀x ∈ E, y ∈ C.
Bổ đề 1.5 Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng trong không gian Banach
E lồi đều và trơn đều và T là ánh xạ không giãn trên C với Fix(T ) = ∅.
Khi đó tập Fix(T ) là tập co rút không giãn theo tia của C.
Cho E là không gian Banach trơn, C là một tập con của E và J là

đóng, khác rỗng của E. Toán tử A từ C vào E gọi là
(i) J-đơn điệu nếu tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) với mỗi x, y ∈ D(A) sao
cho
Ax − Ay, j(x − y) ≥ 0;

(1.16)

(ii) J-đơn điệu đều nếu với mọi x, y ∈ D(A) tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y)
và một hàm tăng ngặt ψ : R+ := [0, ∞) → R+ , ψ(0) = 0 sao cho
Ax − Ay, j(x − y) ≥ ψ( x − y );

(1.17)

(iii) η-J-đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số η > 0 sao cho (1.17)
thỏa mãn với ψ(t) = ηt2 .
Định nghĩa 1.13 Ánh xạ T : C → C được gọi là γ-giả co chặt nếu với
mọi x, y ∈ C tồn tại số γ > 0 và jq (x − y) ∈ Jq (x − y) sao cho
T x − T y, jq (x − y) ≤ x − y

q

− γ (I − T )x − (I − T )y

q

hay tương đương với
(I − T )x − (I − T )y, jq (x − y) ≥ γ (I − T )x − (I − T )y q ,
ở đây, I là ánh xạ đơn vị của không gian E.
Theo định nghĩa này ta thấy mọi ánh xạ γ-giả co chặt đều là (1+γ)/γliên tục Lipschitz.
Bổ đề 1.7 Giả sử E là không gian Banach thực, trơn. Cho F : E → E

(1.19)

với mọi x, y ∈ C. Cho số thực q tùy ý q ≥ 2. Từ (1.6), (1.18), (1.19) ta
có
Ax − Ay, Jq (x − y) = x − y
≥ x−y

q−2
q−2

Ax − Ay, J(x − y)

α Ax − Ay
q−2

≥ (α Ax − Ay )
= αq−1 Ax − Ay

2

α Ax − Ay

2

(1.20)

q

với mọi dãy x, y ∈ C.
Sau đây là một số tính chất của toán tử α-đồng bức J-đơn điệu trong

− 2λα Ax − Ay

+ 2K 2 λ2 Ax − Ay
≤ x−y

2

2

(1.21)

2

+ 2λ(K 2 λ − α) Ax − Ay 2 .

Vậy, nếu 0 < λ ≤ α/K 2 , thì I − λA là ánh xạ không giãn từ C vào E.
✷
Nhận xét 1.1 Nếu q ≥ 2 từ (1.20) với mọi x, y ∈ C ta có
(I − λA)x − (I − λA)y

q

≤ x−y

q

+ λ(2K q λq−1 − qαq−1 ) Ax − Ay q .
(1.22)
Từ đó, với q > 2 không tồn tại không gian Banach q-trơn đều. Ta chỉ
xét không gian Banach 2-trơn đều.


Cho µ xác định trên tập số nguyên dương N, tức là, một hàm tuyến
∼

∼

∼

∼

tính liên tục µ trên l∞ thỏa mãn µ = 1 = µ (1). Hàm µ xác định trên
N khi và chỉ khi
∼

inf{an : n ∈ N} ≤ µ (a) ≤ sup{an : n ∈ N}
∼

∼

∼

với mỗi a = (a1 , a2 , . . . ) ∈ l∞ . Ta sẽ viết µn (a) thay cho µ(a). µ trên N
được gọi là giới hạn Banach nếu
∼

∼

µn (a) = µn (an+1 )
với mỗi a = (a1 , a2 , . . . ) ∈ l∞ . Sử dụng định lý Hann–Banach, ta có thể
∼

2

x∈C

nếu và chỉ nếu
µ x − x∗ , J(xn − x∗ ) ≤ 0 với mọi x ∈ C.


14

Bổ đề 1.12 Cho E là không gian Banach với chuẩn khả vi Gâteaux
đều. Cho {xn } bị chặn trong E. Cho f là ánh xạ từ (0, 1) vào E. Giả
sử limt→0 f (t) = z và {f (t) : t ∈ (0, 1)} bị chặn. Cho x ∈ E và µ là giới
hạn Banach. Nếu, với mỗi

> 0, tồn tại t0 ∈ (0, 1) sao cho

µn x − f (t), J(xn − f (t))
0 tùy ý. Theo giả thiết, tồn tại t0 ∈ (0, 1) sao

cho
với mọi t ∈ (0, t0 ).


3

=

với mọi t ∈ (0, min{t0 , t1 , t2 }). Vì thế µn x − z, J(xn − z) ≤ 0. Hơn nữa,
giả sử limn xn+1 − xn = 0. Từ giả thiết chuẩn của E là chuẩn khả vi


15

Gâteaux đều, ta thu được
lim

n→∞

x − z, J(xn+1 − z) − x − z, J(xn − z)

= 0.

Từ Bổ đề 1.10, ta thu được lim supn→∞ x − z, J(xn − z) ≤ 0.
✷

1.3.
1.3.1.

Bài toán bất đẳng thức biến phân
Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

Bài toán 1.1 Cho H là không gian Hilbert thực với chuẩn . và tích

trong đó {λn } là dãy thuộc [0, 2α]. Nếu dãy {λn } được chọn sao cho
λn ∈ [a, b] với a, b thỏa mãn 0 < a < b < 2α, thì dãy {xn } hội tụ tới một
phần tử của A−1 0.


16

Sau đây là định lý hội tụ yếu về tìm nghiệm của bất đẳng thức biến
phân cho toán tử ngược đơn điệu mạnh.
Định lý 1.5 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert thực H và A là toán tử α-đồng bức đơn điệu C vào H với
VI(C, A) = ∅. Cho {xn } là dãy được định nghĩa như sau:
x1 = x ∈ C,

xn+1 = PC (αn xn + (1 − αn )PC (xn − λn Axn ))

(1.26)

với mọi n = 1, 2, . . . , trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên C, {αn }
là dãy thuộc [−1, 1], và {λn } là dãy thuộc [0, 2α]. Nếu các dãy {αn } và
{λn } được chọn sao cho αn ∈ [a, b] với a, b thỏa mãn −1 < a < b < 1 và
λn ∈ [c, d] với 0 < c < d < 2(1 + a)α, thì dãy {xn } hội tụ yếu tới một
phần tử của VI(C, A).
1.3.2.

Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach

Bài toán 1.2 Cho E là không gian Banach trơn, E ∗ ký hiệu là không
gian đối ngẫu của E, C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của E và
A : C → E là một toán tử J-đơn điệu. Bài toán bất đẳng thức biến

✷
Do sự tương đương của bài toán bất đẳng thức biến phân trong không
gian Banach trơn với bài toán điểm bất động mà nhiều phương pháp
giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach cũng được xây
dựng dựa vào các phương pháp xấp xỉ điểm bất động.
Bài toán 1.2 có mối liên hệ với bài toán điểm bất động của các ánh
xạ tuyến tính, bài toán tìm không điểm của toán tử J-đơn điệu v.v. . . .
Bài toán tìm không điểm của toán tử J-đơn điệu có thể thực hiện bằng
thuật toán điểm gần kề. Ta cũng có thể tìm nghiệm của Bài toán 1.2
trên cơ sở xét sơ đồ lặp sau cho toán tử J-đơn điệu A trong không gian
Banach E
x1 = x ∈ C,

xn+1 = αn xn + (1 − αn )QC (xn − λn Axn )

(1.29)

với mọi n = 1, 2, . . . , trong đó QC là phép co rút không giãn theo tia từ
E vào C, {αn } là dãy thuộc [0, 1], và {λn } là dãy số thực.


18

Chương 2

Bất đẳng thức biến phân trên tập
điểm bất động của ánh xạ không
giãn
Chương này trình bày phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân
J-đơn điệu trong không gian Banach với toán tử J-đơn điệu mạnh và

2-trơn đều của E.
Chứng minh. Đặt yn = QC (xn − λn Axn ) với mọi n = 1, 2, .... Cho
u ∈ S(C, A). Đầu tiên ta chứng minh các dãy {xn } và {yn } bị chặn và
limn→∞ xn − yn = 0. Thật vậy, từ Bổ đề 1.6 và 1.9 ta có
yn − u = QC (xn − λn Axn ) − QC (u − λn Au)

(2.2)

≤ (xn − λn Axn ) − (u − λn Au) ≤ xn − u
với mọi n = 1, 2, .... Từ (2.2) suy ra
xn+1 − u = αn (xn − u) + (1 − αn )(yn − u)
≤ αn xn − u + (1 − αn ) yn − u

(2.3)

≤ αn xn − u + (1 − αn ) xn − u = xn − u
với mọi n = 1, 2, .... Vì thế nên { xn − u } là dãy không tăng và khi đó
tồn tại limn→∞ xn − u . Vậy, {xn } bị chặn. Từ (2.2) và (1.19) suy ra
các dãy {yn } và {Axn } bị chặn.
Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh rằng limn→∞ xn − yn = 0. Giả sử
rằng limn→∞ xn − yn = 0. Khi đó, tồn tại > 0 và dãy con {xni − yni }
của dãy {xn − yn } sao cho xni − yni ≥ với mỗi i = 1, 2, .... Từ E
là tập lồi đều, hàm số . 2 lồi đều trên tập lồi bị chặn B(0, x1 − u ),
trong đó B(0, x1 − u ) = x ∈ E : x ≤ x1 − u
tồn tại δ > 0 sao cho x − y ≥ thỏa mãn
λx + (1 − λ)y

2

≤λ x

− αni (1 − αni )δ.
Vì thế, với mỗi i = 1, 2, ...,
0 < b(1 − c)δ ≤ αni (1 − αni )δ ≤ xni − u

2

− xni +1 − u 2 .

(2.6)


20

Vế phải của bất đẳng thức trên hội tụ tới 0, điều này mâu thuẫn. Khi
đó ta có kết luận sau
lim xn − yn = 0.

n→∞

(2.7)

Từ dãy {xn } bị chặn, ta có dãy con {xni } của {xn } hội tụ yếu tới z. Và
từ λni thuộc [a, α/K 2 ] với a > 0, suy ra {λni } bị chặn. Vậy, tồn tại dãy
con {λnij } của{λni } hội tụ tới λ0 ∈ [a, α/K 2 ]. Không mất tổng quát, ta
có thể giả sử λni → λ0 . Ta tiếp tục chứng minh z ∈ S(C, A). Từ QC là
ánh xạ không giãn, kết hợp với cách đặt yni = QC (xni − λni Axni ) ta có
QC (xni − λ0 Axni ) − xni ≤ QC (xni − λ0 Axni ) − yni
+ yni − xni
≤ (xni − λ0 Axni ) − (xni − λni Axni )


∩n=1 Fix(Tn ) = ∩n=1 Fix(QC (I − λn A)) = S(C, A).
Từ Định lý 1.3, ta thu được
∞

co{xm : m ≥ n} ∩ S(C, A) = {z}.
n=1

(2.11)


21

Do đó, dãy {xn } hội tụ yếu tới một vài phần tử của S(C, A). Định lý
được chứng minh.
✷
2.1.2.

Định lý hội tụ mạnh

Định lý 2.2 Giả sử E là không gian Banach lồi đều và 2-trơn đều và
C là tập con lồi đóng, khác rỗng của E, QC là phép co rút không giãn
theo tia từ E lên C với α > 0, A là toán tử α-đồng bức J-đơn điệu từ
C vào E với S(C, A) = ∅. Cho {αn } là dãy thuộc [0, 1] thỏa mãn
∞

∞

αn = ∞ và

lim αn = 0,

u ∈ S(C, A). Trước tiên ta chứng minh các dãy {xn }, {yn } và {Axn } bị
chặn. Thật vậy từ Bổ đề 1.6 và 1.8 ta có
yn − u = QC (xn − λn Axn ) − QC (u − λn Au)
≤ (xn − λn Axn ) − (u − λn Au)
≤ xn − u
với mọi n ∈ N. Từ (2.15) ta có
x2 − u = α1 (x − u) + (1 − α1 )(y1 − u)
≤ α1 x − u + (1 − α1 ) y1 − u
≤ α1 x − u + (1 − α1 ) x − u
= x−u .

(2.15)