Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC LỢI
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ
KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

2 Phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến
phân trong không gian Hilbert 15
2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Sự hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
i
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Thu Thủy.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn về sự tận tâm và nhiệt tình của Cô
trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo
sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông
tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, trường Đại học
Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các Thầy Cô trong
Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức
phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân. Tác giả xin
bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo,
Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã
quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn
vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt
nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu.
Tác giả
Nguyễn Đức Lợi
ii
BẢNG KÝ HIỆU
R trường số thực

bài toán điểm bất động:
u
∗
= P
C
(u
∗
− µF(u
∗
)), (2)
trong đó P
C
là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng số
tùy ý. Nếu ánh xạ F đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C và
hằng số µ > 0 đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (2)
là ánh xạ co. Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy
lặp Picard
x
n+1
= P
C
(x
n
− µF(x
n
))
1
hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán (1). Phương pháp này
được gọi là phương pháp chiếu. Phương pháp chiếu không dễ dàng
thực thi vì nó phụ thuộc vào độ phức tạp của tập lồi C bất kỳ. Để

thực R được gọi là không gian tiền Hilbert nếu trong đó xác định một
hàm hai biến ·, · : H × H → R thỏa mãn các tính chất sau:
(i) x, x ≥ 0, ∀x ∈ H và x, x = 0 ⇔ x = 0;
(ii) x, y = y, x, ∀x, y ∈ H;
(iii) x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ H;
(iv) αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R.
Hàm ·, · thỏa mãn bốn tính chất trên được gọi là tích vô hướng
3
trên H và x, y là tích vô hướng của hai phần tử x và y.
Nhận xét 1.1. Mọi không gian tiền Hilbert H là không gian tuyến
tính định chuẩn với chuẩn của x ∈ H xác định bởi ||x|| =

x, x.
Định nghĩa 1.2. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không
gian Hilbert.
Ví dụ 1.1. R
n
là một không gian Hilbert với tích vô hướng
x, y =
n

k=1
ξ
k
η
k
,
trong đó x = (ξ
1
, ξ

< ∞

là một không gian
Hilbert với tích vô hướng
x, y =
∞

i=1
x
i
y
i
trong đó x = (x
1
, x
2
, . . . ), y = (y
1
, y
2
, . . . ) là các dãy số thực trong l
2
.
Bổ đề 1.1. Cho H là không gian Hilbert thực. Khi đó các biểu thức
sau đúng:
(i) ||tx + (1 − t)y||
2
= t||x||
2
+ (1 − t)||y||

− x|| = 0.
Ký hiệu x
n
 x chỉ sự hội tụ yếu, x
n
→ x chỉ sự hội tụ mạnh của
dãy {x
n
} đến phần tử x ∈ H.
4
Định nghĩa 1.4. Tập hợp C ⊂ H được gọi là tập lồi nếu
∀x
1
, x
2
∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx
1
+ (1 − λ)x
2
∈ C.
Ví dụ 1.3. Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng,
đường thẳng, tam giác, hình cầu là các tập lồi.
Định nghĩa 1.5. Tập C ⊆ H được gọi là tập đóng nếu mọi dãy hội
tụ {x
n
} ⊂ C đều có giới hạn thuộc C, tức là

∀{x
n
} ⊂ C : x

+ κ||(I − T)(x) − (I − T )(y)||
2
, ∀x, y ∈ C,
ở đây I là toán tử đồng nhất trong không gian Hilbert H.
Trong định nghĩa này, nếu κ = 0 thì T là một ánh xạ không giãn.
Vì thế lớp các ánh xạ không giãn chứa trong lớp các ánh xạ κ-giả co
chặt.
Bổ đề 1.2. Cho H là không gian Hilbert thực, F : H → H là một ánh
xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz, hằng số µ cố định thỏa
mãn 0 < µ < 2η/L
2
. Khi đó I − µF là ánh xạ co với hằng số co 1 − τ,
trong đó τ =
1
2
µ(2η − µL
2
).
Bổ đề 1.3. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert thực H và T : C → C là ánh xạ không giãn. Nếu có một dãy
{x
n
} trong C sao cho x
n
 z và (I − T )x
n
→ y, thì (I − T )z = y.
Bổ đề 1.4. Cho H là không gian Hilbert thực, dãy {x
k
} ⊂ H bị chặn.

ω
l
||x
k
− x
l
||
2
, (1.1)
ở đây {ω
k
} (k = 1, 2, . . . ) là dãy các số thực thuộc (0, 1) và
∞

k=1
ω
k
= 1.
6
Chứng minh. Với bất kỳ số nguyên dương m, đặt S
m
=
m

k=1
ω
k
. Từ Bổ
đề 1.1 (i), ta nhận được


x
k



2
=



m

k=1
ω
k
x
k



2
+ 2

m

k=1
ω
k
x
k

||
2
+ R
m
= S
2
m

m

k=1
ω
k
||x
k
||
2
/S
m
− 1/S
2
m

1≤k<l≤m
ω
k
ω
l
||x
k

2
+ R
m
,
trong đó
R
m
= 2

m

k=1
ω
k
x
k
,
∞

k=m+1
ω
k
x
k

+



∞

bất động của ánh xạ T , tức là Fix(T ) = {x ∈ C : T (x) = x} và đặt
F :=
∞

k=1
Fix(T
k
).
Sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ không giãn trong
không gian Hilbert H được trình bày trong định lý sau đây:
7
Định lý 1.1. Cho C ⊂ H là tập con lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng
trong không gian Hilbert H, T : C → C là một ánh xạ không giãn.
Khi đó, tồn tại duy nhất phần tử ¯x ∈ C sao cho T (¯x) = ¯x.
Mối liên hệ giữa tập điểm bất động của ánh xạ không giãn và tập
điểm bất động của ánh xạ giả co chặt được trình bày trong bổ đề sau.
Bổ đề 1.5. Giả sử T : H → H là một ánh xạ κ-giả co chặt, và α là
một hằng số thỏa mãn điều kiện κ ≤ α < 1. Đặt
T
α
= αI + (1 − α)T, (1.2)
khi đó T
α
là ánh xạ không giãn và Fix(T
α
) = Fix(T ).
Bổ đề 1.6. Cho H là không gian Hilbert thực và T
k
: H → H (k =
1, 2, . . . ) là một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn với F = ∅.




∞

k=1
ω
k
T
k
(x) −
∞

k=1
ω
k
T
k
(y)



2
=



∞

k=1


k=1
ω
k
T
k
). Bây giờ ta sẽ chứng
minh bao hàm thức ngược lại Fix(
∞

k=1
ω
k
T
k
) ⊂ F. Thật vậy, lấy một
điểm cố định u ∈ F, với bất kỳ x ∈ Fix(
∞

k=1
ω
k
T
k
), từ Bổ đề 1.4 ta có
||x − u||
2
=




k=1
ω
k
||T
k
(x) − T
k
(u)||
2
−

1≤k<l<∞
ω
k
ω
l
||T
k
(x) − T
l
(x)||
2
≤
∞

k=1
ω
k
||x − u||

Suy ra

1≤k<l<∞
ω
k
ω
l
||T
k
(x) − T
l
(x)||
2
= 0.
Từ đây suy ra
T
k
(x) = T
l
(x), ∀ k, l = 1, 2, . . .
và
T
l
(x) =
∞

k=1
ω
k
T

ω
k
= 1. Giả sử
L
n
=
n

k=1
ω
k
T
k
/S
n
, S
n
=
n

k=1
ω
k
. (1.3)
Khi đó, L
n
hội tụ đều tới T trên mỗi tập con bị chặn S của H.
Chứng minh. Để ý rằng vì S là tập bị chặn và T
k
là các ánh xạ không



=



n

k=1
(ω
k
− ω
k
S
n
)T
k
(x)/S
n
−
∞

k=n+1
ω
k
T
k
(x)



(x)



≤ (1 − S
n
)/S
n
n

k=1
ω
k
||T
k
(x)|| +
∞

k=n+1
ω
k
||T
k
(x)||
≤ M(1 − S
n
)/S
n
+ M
∞

Một tính chất quan trọng của phép chiếu mêtric được trình bày
trong bổ đề sau:
Bổ đề 1.8. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Cho x ∈ H và z ∈ C, khi đó z = P
C
(x) nếu và chỉ
nếu
x − z, y − z ≤ 0, ∀y ∈ C. (1.4)
1.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert
Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi, đóng
khác rỗng của H. Ánh xạ phi tuyến F : C → H là đơn trị.
Định nghĩa 1.9. Bài toán tìm phần tử x
∗
∈ C thỏa mãn
F (x
∗
), x − x
∗
 ≥ 0, ∀x ∈ C, (1.5)
được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân ( variational inequality
problem), ký hiệu là VI(F, C).
Tập nghiệm của bài toán (1.5) được ký hiệu là Sol(VI(F, C)).
Ví dụ 1.5. Cho f(x) là một hàm thực khả vi trên K = [a, b]. Bài
toán tìm x
0
∈ K sao cho
f(x
0
) = min
x∈K

, ε) = {x ∈ C : ||x − x
∗
|| < ε}. Ta có
B(x
∗
, ε) = x
∗
+ εB(0, 1). Thay x = x
∗
+ εv, v ∈ B(0, 1) vào bất đẳng
thức (1.5) ta được
εF (x
∗
), v ≥ 0 ⇔ F (x
∗
), v ≥ 0 ∀v ∈ B(0, 1).
Thay v = −v ta được





F (x
∗
), v ≥ 0;
F (x
∗
), v ≤ 0.
Suy ra F (x
∗

, C = (−∞; 1]. Khi đó,
Sol(VI(F, C)) = {0}.
Định lý 1.2. Giả sử ánh xạ F : C → H bị chặn Lipschitz trên C và
η-đơn điệu mạnh trên C. Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.5) có duy
nhất nghiệm x
∗
∈ C thỏa mãn
||x
∗
− u|| ≤
1
η
||F (u)||, (1.6)
trong đó u ∈ C là một điểm tùy ý.
Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đóng vai trò quan trọng trong
nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn phương trình vi phân,
điều khiển tối ưu, tối ưu hóa, quy hoạch toán học, cơ học, tài chính,
. . . . Như phần Mở đầu đã đề cập đến, một trong những phương pháp
giải bất đẳng thức biến phân là dựa trên cách tiếp cận thông qua điểm
bất động. Nội dung của phương pháp này là đưa bất đẳng thức biến
phân về bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ nghiệm thích
hợp. Bài toán (1.5) tương đương với
x
∗
= P
C
(x
∗
− µF(x
∗


0,
2η
L
2

và
{λ
n
}
n≥1
⊂ (0, 1] là một dãy số thực thỏa mãn điều kiện:
(C
1
) : lim
n→∞
λ
n
= 0;
(C
2
) :
∞

n=1
λ
n
= ∞;
(C
3

của bài toán bất đẳng thức biến
phân (1.5).
14
Chương 2
Phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm
bất đẳng thức biến phân trong
không gian Hilbert
Chương này trình bày kết quả trong [6] về phương pháp lai đường
dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của
một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian
Hilbert.
Cho H là một không gian Hilbert thực, {T
n
}
∞
n=1
: H → H là một
họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn. Đặt F =
∞

n=1
Fix(T
n
).
Trong chương này ta xét bài toán V I(F, F):
Tìm phần tử x
∗
∈ F sao cho F (x
∗
), x − x

T
n
U
n,n+1
+ (1 − α
n
)I,
U
n,n−1
= α
n−1
T
n−1
U
n,n
+ (1 − α
n−1
)I,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U
n,k
= α
k
T
k
U
n,k+1
+ (1 − α
k
)I,

1
U
n,2
+ (1 − α
1
)I,
trong đó I là ánh xạ đồng nhất của H và α
n
∈ (a, b) ⊂ (0, 1). Yao và
các cộng sự (xem [10]) đã chứng minh dãy lặp {x
n
} xác định bởi:
u
n+1
= (1 − γ
n
)F
n
x
n
+ γ
n
W
n
F
n
x
n
, (2.2)
với F

và
x
n
= γ
n
(I − λ
n
F )x
n
+ (1 − γ
n
)V
n
x
n
, n ≥ 1,
với việc sử dụng ánh xạ V
n
xác định bởi
V
n
= V
1
n
, V
i
n
= T
i
T

i
và đòi hỏi quá trình tính toán lớn.
Trong [6], tác giả đã đưa ra một nghiên cứu mới, bằng việc sử dụng
ánh xạ L
n
xác định bởi (1.3) trong Bổ đề 1.7 để tìm nghiệm của bất
đẳng thức biến phân đơn điệu, liên tục Lipchitz trên tập điểm bất
động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong
không gian Hilbert. Ánh xạ L
n
đơn giản hơn ánh xạ W
n
và V
n
, không
chứa nhiều tính toán trên các ánh xạ T
i
, có cấu trúc đơn giản hơn,
dễ thực thi hơn, đồng thời ta có thể sử dụng tính toán song song khi
dùng ánh xạ này.
Mở rộng kết quả trên của Songnian và Wenwen, năm 2014 trong [4]
các tác giả đã đề xuất hai phương pháp lặp hiện mới
x
n+1
= (1 − γ
n
)x
n
+ γ
n

thức biến phân (1.5) trong không gian Banach.
17
2.1 Mô tả phương pháp
Cho {T
n
} (n = 1, 2, . . . ) là một họ vô hạn đếm được các ánh xạ
không giãn từ không gian Hilbert H vào chính nó sao cho
F :=
∞

n=1
Fix(T
n
) = ∅.
Đặt
T (x) =
∞

n=1
ω
n
T
n
(x)
với {ω
k
} ⊂ (0, 1) sao cho
∞

k=1


k=1
ω
k
T
k
) =
∞

k=1
Fix(T
k
) =: F.
Do đó bài toán VI(F, F) tương đương với VI(F,Fix(T )). Dãy lặp {x
n
}
bởi công thức
x
n+1
= λ
n
(I − µF )(x
n
) + (1 − λ
n
)L
n
(x
n
), (2.3)

n
+ γ
n
δ
n
+ σ
n
, n = 0, 1, 2, . . . (2.4)
trong đó {γ
n
}
∞
n=0
⊂ (0, 1), {δ
n
}
∞
n=0
và {σ
n
}
∞
n=0
thỏa mãn các điều kiện:
(i)
∞

n=1
γ
n

(ii)
∞

n=0
λ
n
= ∞;
(iii)
∞

n=0
|λ
n+1
− λ
n
| < ∞ hoặc lim
n→∞
λ
n
λ
n+1
= 1.
Với x
0
∈ H bất kỳ và xác định dãy {x
n
} bởi (2.3). Khi đó dãy {x
n
}
hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(F, F).

||
= ||λ
n
[(I − µF )(x
n
) − x
∗
] + (1 − λ
n
)(L
n
(x
n
) − x
∗
)||
= ||λ
n
[(I − µF )(x
n
) − x
∗
] + (1 − λ
n
)(L
n
(x
n
) − L
n

− x
∗
||
= λ
n
||(I − µF )(x
n
) − (I − µF )(x
∗
) − µF (x
∗
)||
+ (1 − λ
n
)||x
n
− x
∗
||
≤ λ
n
||(I − µF )(x
n
) − (I − µF )(x
∗
)|| + λ
n
||µF (x
∗
)||

|| + λ
n
µ||F (x
∗
)||
= (1 − λ
n
τ)||x
n
− x
∗
|| + λ
n
µτ||F (x
∗
)||/τ
≤ max

||x
n
− x
∗
||,
µ
τ
||F (x
∗
)||

.

n
(x
∗
)|| ≤ max

||x
0
− x
∗
||,
µ
τ
||F (x
∗
)||

và
||F (x
n
) − F (x
∗
)|| ≤ L max

||x
0
− x
∗
||,
µ
τ