BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH QUÁCH THỊ LỆ HẰNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ
KHÔNG GIÃN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số:
60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


1T1.14.Định lí ( Riesz )1T 10
1T1.15.Định lí1T 11
1T1.16.Hệ quả:( suy ra trực tiếp từ định lí 1.1.15)1T 12
1T1.17.Định nghĩa:1T 13
1T1.18.Bổ đề:1T 13
1TChương 2: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT1T 16
1T2.1.Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert1T 16
1T2.2.Định lí egrodic phi tuyến của Ballion1T 17
1T2.3. Định lí điểm bất động cho nửa nhóm các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert1T
23
1T2.4.Dạng tổng quát của định lí Ergodic phi tuyến1T 29
1TChương 3: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH1T 35
1T3.1.Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach1T 35
1T3.2. Điểm bất động của họ ánh xạ không giãn1T 44
1TKẾT LUẬN1T 54
1TTài liệu tham khảo1T 55

3

MỞ ĐẦU
Định lí Banach về điểm bất động của ánh xạ co là định lí điểm bất động được tìm ra
sớm nhất và cho đến nay vẫn là định lí cơ bản nhất trong lí thuyết điểm bất động. Định lí này
không chỉ cho biết sự tồn tại điểm bất động mà còn chỉ ra một dãy lập đơn giản hội tụ về nó.
Vì vậy, định lí Banach tìm được những ứng dụng đa dạng trong nghiên cứu định tính và giải
số cho nhiều lớp phương trình xuất phát từ nhiều lĩnh vực khoa học.
Do sự quan trọng của ánh xạ co, lớp ánh xạ này đã được mở rộng theo nhiều hướng
khác nhau. Lớp ánh xạ không giãn là một mở rộng tự nhiên và quan trọng nhất của lớp ánh xạ
co. Các nghiên cứu đầu tiên về ánh xạ không giãn được bắt đầu từ năm 1965 trong các công
trình Browder, Gôhde, Kirk và được tiếp tục cho đến nay. Nhiều định lí về tồn tại điểm bất
động của lớp ánh xạ không giãn đã được tìm ra, đầu tiên là xét trong không gian Hilbert, sau

đóng theo tôpô trên
X
.
1.2.Định lí
Cho không gian tôpô
X
, với số thực không âm
α
, nếu các hàm
(
]
( )
,, : , ,
i
fgf X i I→ −∞ ∞ ∈
là các hàm nửa liên tục dưới trên X, thì các hàm
( )
; ; sup
i
iI
f g f fx
α
∈
+
cũng là hàm nửa liên tục dưới trên X.
Chứng minh
(i). Chứng minh hàm
fg+
là hàm nửa liên tục dưới trên
X

¡
I
U

Suy ra
G
là tập mở trong
X
hay
fg+
là hàm nửa liên tục dưới trên
X

(ii). Chứng minh hàm
f
α
là hàm nửa liên tục dưới trên
X

Nếu
0
α
=
thì ta được
f
α
là hàm nửa liên tục dưới trên
X

Nếu

Suy ra
G
là tập đóng trong
X
hay
f
α
là hàm nửa liên tục dưới trên
X

5

(iii). Chứng minh hàm
( )
sup
i
iI
fx
∈
là hàm nửa liên tục dưới trên
X

Với mọi
,a iI∈∈¡
ta có
( )
{ }
:
i
x Xfx a∈≤

∈
là hàm nửa liên tục dưới trên
X
. ▄
1.3.Định lí
Cho X là không gian compact, ánh xạ
(
]
:,fX→ −∞ ∞
là hàm nửa liên tục
dưới trên X. Khi đó, tồn tại
o
xX∈
sao cho
( )
( )
{ }
inf :
o
fx fx x X= ∈

Chứng minh
Với mọi
a∈¡
, đặt
( )
{ }
:
a
G x Xfx a=∈>

i
XG
=
= ∪

đặt
{ }
12
min ; ; ;
on
a aa a=
ta có
( )
o
fx a>
với mọi
xX∈

do vậy, tồn tại
( )
{ }
inf :b fx x X= ∈

Giả sử,
( )
fx b>
với mọi
xX∈
, khi đó
( )

X x Xfx b
n
=

=∪ ∈ >+



đặt
12
11 1
' min ; ; ;
m
b bb b
nn n

= ++ +


, ta có
6

( )
'fx b>
với mọi
xX∈

suy ra
( )
{ }

1.5.Định nghĩa
Cho không gian tuyến tính thực (phức)
H
và
X
là tập con lồi của
H
. Hàm
(
]
:,fX→ −∞ ∞
được gọi là lồi ngặt trên
X
nếu cho mọi
,xy X∈
, ta có
( )
( )
( ) ( ) ( )
11f tx t y t f x t f y+− < +−
với mọi
( )
0,1t ∈
.
1.6.Định lí
Cho X là tập con lồi của không gian tuyến tính E,
{ }
:fI
α
α

1 21 2
11f tx t x tf x t f x
α αα
+− < +−

Do đó
7

( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
12 12
1 21 2
1 sup 1
sup 1 1
I
I
g tx t x f tx t x
tf x t f x tg x t g x
α
α
αα
α
∈
∈
+− = +−

01r≤<
thì ánh xạ
:TC E→
được gọi là ánh xạ co
Nếu
1r =
thì ánh xạ
:TC E→
được gọi là ánh xạ không giãn.
1.10.Định lí (Nguyên lí điểm bất động của ánh xạ co)
Cho không gian Banach
H
, nếu ánh xạ
:fH H→
là ánh xạ co thì ánh xạ
:fH H→
có duy nhất điểm bất động
o
xH∈
, nghĩa là
( )
oo
fx x=
.
Chứng minh
Với mọi
0
ε
>
, tồn tại

1
2
21
1

n
nn
x fx
x fx f x
x fx f x
−
=
= =
= =

Khi đó
( ) ( )
( ) ( )
11
1 12
2
12
1

nn n n
nn n n
nn
n
x x fx fx
rx x rfx fx

r r rxx
r
xx
r
− −− +
−−
−−
− ≤ − + − ++ −
≤ −+ −++ −
= + ++ −
≤−
−

Theo giả thuyết,
01r≤<
, nên
{ }
n
x
là dãy Cauchy trong không gian Banach
X
,
vì vậy, có
o
xX∈
sao cho
lim
on
n
xx

( ) ( )
oo o o oo
xy fx fy rxy−= − ≤ −

vì
01r≤<
nên
0
oo
xy−=
hay
oo
xy=

hay
f
có duy nhất điểm bất động
o
xH∈
▄
9

1.11.Định lí
Cho không gian Banach phản xạ
H
, tập
X
là tập con lồi, đóng của H. Với
bất kì hàm
(

:
a
C x Xfx a=∈≤

do
(
]
:,fX→ −∞ ∞
lồi, nửa liên tục dưới trên
X
nên
a
C
là tập lồi, đóng mạnh.
với
\
oa
x XC∈
thì
{ }
o
x
và
a
C
thỏa định lí tách nên tồn tại
*
,X
ϕα
∈∈¡

C
là tập lồi, đóng yếu.
nghĩa là hàm
(
]
:,fX→ −∞ ∞
lồi, nửa liên tục dưới yếu trên
X
(1.1.11a)
Cố định
cX∈
sao cho
( )
fc b= <∞
, xét tập
( )
{ }
:C x Xfx b=∈≤
.
theo chứng minh trên, tập
( )
{ }
:C x Xfx b=∈≤
đóng yếu
mặt khác, tập
( )
{ }
:C x Xfx b=∈≤
bị chặn, vì nếu không thì tồn tại dãy không
bị chặn

lim
i
n
i
fx b
→∞
≤ <∞
.
Do
H
là không gian phản xạ, nên theo Kakutani thì
C
là tập compact yếu (1.1.11b)
Kết hợp (1.1.11a) (1.1.11b) và định lí (1.1.3), tồn tại
o
xC∈
sao cho
( )
( )
{ }
0
inf :fx fx x X= ∈

Với mọi
\x XC∈
thì
( )
( )
o
fx b fx>≥

= =
ta có

( )
( ) ( )
22
2
; ,,xryx ry x r yx r xy ry
αα α α
− −=− − +
(1.1.12a)
Vế trái của (1.1.12a) là một số không âm nên ta được
( ) ( )
22
22
,, 2 0x r y x r x y r y A Br Cr
αα
− − + =−+≥

r∈¡
(1.1.12b)
Nếu
0C =
thì
0B =
nên ta có điều phải chứng minh
Nếu
0C >
thay
/r BC=

tuyến tính liên
tục luôn tồn tại duy nhất vectơ
yH∈
sao cho
11

( ) ( )
,f x xy=
cho mọi
xH∈

Chứng minh
Nếu
( )
0,fx x H= ∀∈
thì
( ) ( )
,0fx x=

Giả sử
( )
:0x Hfx∃∈ ≠
, đặt
( )
{ }
:0M x Hfx=∈=
. Do tính tuyến tính, liên
tục của
f
nên

nên
uM∈
.
Suy ra
( ) ( )( ) ( )( )
, , ,0uz fx zz fz xz=−=

Mặt khác
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )
2
, ,,fx fxz fx zz fz xz xfzz= = = =

Như vậy, tồn tại
( )
y f zz=
để cho
( ) ( )
,f x xy=
(1.1.14a)
Nếu có
( ) ( )
, ,'xy xy=
cho mọi
xH∈
thì ta được
( )
, '0xy y−=
cho mọi

( )
( )
{ }
min :
o
gx gz z C= ∈

Chứng minh
Ta thấy hàm số g thỏa mãn
 g là hàm nửa liên tục dưới trên C (theo 1.1.2)
 g là hàm lồi ngặt trên C (theo 1.1.6)
12


( )
khi
nn
gz z→∞ →∞

áp dụng định lí (1.1.11), tồn tại
o
xC∈
sao cho

( )
( )
{ }
min :
o
gx gz z C= ∈

Nếu
0r >
, giả sử tồn tại
yC∈
sao cho
( )
r gy=
và
o
xy≠

đặt
o
xy
ε
= −
, chọn
0
α
>
thỏa
( )
2
2
2
4
rr
ε
α
+ −<

o
no n n o
xy
xx xy x xy
+
− + −= − +−

ta có:
( )
2
2
2
44
2
o
no
xy
x xy r
α
+
− +−< +

Suy ra:
( )
2 1/2
2
2
22 4
oo
n

1.17.Định nghĩa:
Cho C là tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H; ánh xạ
:PH C→
. Do
hệ quả 1.1.16, cho mọi
xH∈
tồn tại duy nhất phần tử
Px C∈
sao cho
( )
;x Px d x C−=

Ánh xạ P xác định như vậy được gọi là phép chiếu mêtric trên C

1.18.Bổ đề:
Cho C là tập con lồi của không gian Hilbert H; với
xH∈
,
yC∈
. Các
mệnh đề sau tương đương
(a)
( )
;x y d xC−=

(b)
( )
;0x yy z− −≥
với mọi
zC∈

. Khi
0
λ
→
ta được
( )
;0x yy z− −≥

( ) ( )
:ba⇒
Với mọi
zC∈
, ta có:
( )
;0x yy z− −≥

suy ra:
( ) ( )
; ;0xyyx xyxz− −+− −≥

hay:
( )
2
;xyxz xy− −≥−

kéo theo:
xy xz−≤−

Do đó:
( )

PP=

Với mọi
,xy H∈
, theo bổ đề (1.1.18), phần
( ) ( )
ab⇒
, ta có
( ) ( )
; ;0x Px Px Py y Py Py Px− − +− − ≥

suy ra
( )
( )
;0x y Px Py Px Py−− − − ≥

kéo theo
( )
2
;.
Px Py x y Px Py x y Px Py− ≤− − ≤− −

do đó
Px Py x y− ≤−

(ii) Với mọi
zC∈
, theo bổ đề (1.1.18), phần
( ) ( )
ab⇒

trong không gian Hilbert H;
no
xx→
. Nếu
o
xy≠
thì
liminf liminf
no n
nn
xx xy
→∞ →∞
−< −

Chứng minh
Theo đẳng thức hình bình hành, ta có

( )
2
2 22
22
no o n no o
xx xy xy xx xy− + − = − + −− −

( )
2 222 2
2 2 2;
no o n o no noo
xx xy xy xy xx xxxy− + −=−+−+− − − −


n
M xy xx
∈
= −+ −
¥
, ta có
15

( )
( )
2
2;
o noo n no
xy xxxyMxy xx− + − −≤ −− −
với mọi
o
nn≥

Vì vậy
( )
2
o n no
x y Mx y x x− ≤ −− −
với mọi
o
nn≥

Kéo theo
2
liminf liminf

2.1.1 UĐịnh lí U(Điểm bất động ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert)
Cho C là tập con lồi, đóng, không rỗng của không gian Hilbert H; ánh xạ
:TC C→

không giãn. Các mệnh đề sau tương đương
(a) Tập F(T) các điểm bất động của ánh xạ T không rỗng
(b) Với mọi
xC∈
, dãy
{ }
n
Tx
bị chặn.
Hơn nữa, trong trường hợp này F(T) là tập lồi, đóng.
Chứng minh
( ) ( )
:ab⇒
Do F(T) không rỗng nên tồn tại
()u FT∈
.
Khi đó
u Tu=
kéo theo
{ }
{ }
n
Tu u=
. Do đó, ta có (b)
( ) ( )
:ba⇒

n
k
Sx Tx
n
−
=
=
∑
, cộng theo vế bất đẳng thức trên, ta được

( )
2
22
11
0 2;
n
n
x Ty S x Ty Ty y Ty y T x Ty
nn
≤ − + − −+ − − −

Do
{ }
n
Tx
bị chặn nên
{ }
n
Sx
bị chặn. Lại có


17

kéo theo
2
0Tp p−≤
. Hay
hay ( ) hay ( )Tp p p FT FT= ∈ ≠∅

Tiếp theo, ta chứng minh F(T) là tập lồi, đóng
Rõ ràng, F(T) là tập đóng
Với
, ( ); 0 1xy FT
λ
∈ ≤≤
, đặt
( )
1zx y
λλ
= +−
. Giả sử
Tz z≠

Theo đẳng thức hình bình hành, ta có

2
2 2 22
1 11
24 22
z Tz

xy x y zx zy xy
++
−≤ −+ −<−+−≤−

Điều này vô lí, do vậy
hay ( )Tz z z F T= ∈
. Hay F(T) là tập lồi ▄
2.1.2
UHệ quả:U ( suy ra trực tiếp từ 1Tđịnh lí1T 2.1.1 )
Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn trong không gian Hilbert H; ánh xạ
:TC C→
không giãn. Khi đó, T có một điểm bất động trong C.
2.2.Định lí egrodic phi tuyến của Ballion
2.2.1 UĐịnh lí U(Định lí hội tụ của Browder)
Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn trong không gian Hilbert H; ánh xạ
:TC C→
không giãn, điểm
o
x
tùy ý trong C; ánh xạ
:
n
TC C→
xác định bởi
11
1
no
T x Tx x
nn


mêtric trên F(T).
Chứng minh
(i) Do T là ánh xạ không giãn, với
, ; 1,2,3 xy C n∈=

11
11
nn
T x T y Tx Ty x y
nn
 
− =− − ≤− −
 
 

Suy ra,
:
n
TC C→
là ánh xạ co. Nên
n
T
có duy nhất điểm bất động
n
uC∈

(ii) Để chứng minh
no
u Px→
, ta cần chứng minh: Nếu

( )
khi
0
ii
v Tv i− → →∞
, theo định lí 1.1.20 thì

liminf liminf liminf
i i iii
nn n
v v v Tv v Tv Tv v
→∞ →∞ →∞
−< − = − + −liminf liminf
ii
nn
Tv Tv v v
→∞ →∞
< −≤ −

Điều này vô lí nên
Tv v=
. Tiếp theo, ta chứng minh
io o
v u Px→=

Với mọi i,
i

1
o oo o
ii i
u Tu u u
nn n

+− − =



Trừ từng vế hai đẳng thức trên, ta được
( ) ( ) ( )
111
1
io i o oo
ii i
v u Uv Uu x u
nnn

− +− − = −


với
UIT= −

Kéo theo
( ) ( ) ( )
111
;1 ; ;
ioio i oio ooio

nên
( ) ( ) ( )
; ; ;0
oo o oo o ooo
x u v u x Px v Px x Px Px v− − = − − =− − −≤

Khi đó, ta được
( )
2
;
i o o oi
v u x uv v− ≤− −

Theo trên,
i
vv→
nên
hay
io i o
v u v Px→→
▄
2.2.2 UBổ đề:U (vai trò chủ yếu trong chứng minh định lí ergodic phi tuyến)
Cho C là tập con lồi, đóng, trong không gian Hilbert H; ánh xạ
:TC C→

không giãn. Giả sử, F(T) không rỗng, P là phép chiếu mêtric trên F(T).
Khi đó, với mọi
xC∈
thì dãy
{ }

; 1,2,3 x Cn∈=
, ta có
1 11nn n n nn n n
PTx Tx PT x Tx TPTx Tx PT x T x
− −−
−≤ −= −≤ −

Suy ra
{ }
nn
PTx Tx−
là dãy giãm (2.2.2b)
Mặt khác, do (2.2.2a) nên

nk n n nk nk nk
n n nk nk
PT x PT x PT x T x PT x T x
PT x T x PT x T x
+ + ++
++
−≤−− −
≤ −− −
(2.2.2c)
Từ (2.2.2b) (2.2.2c) suy ra
{ }
n
PT x
là dãy Cauchy trong
( )
FT

Sx Tx
n
−
=
=
∑
hội tụ yếu trong
( )
FT
. Trong trường
hợp này, nếu
n
S x Qx→
thì
( )
:QC FT→
là ánh xạ không giãn thỏa:

( )
( )
( )
{ }
2
khi 1,2,3
; 0,1,2 khi
nn
n
i QQ
ii QT T Q n
iii Qx co T x n x C

hội tụ yếu về
vC∈

Để chứng minh
{ }
n
Sx
hội tụ yếu trong
( )
FT
ta cần chứng minh
pv=

Thật vậy: Với
( )
u FT∈
ta có
( )
;0
k kk
Tx PTxPTx u− −≥
nên
( ) ( )
;;
.
.
kk k kk
k kk
k
u pTx PTx PTx pTx PTx

v FT∈

Nếu chọn
uv=
thì
( )
;0vpvp− −≤
hay
pv=

( ) ( )
ba⇒
: Theo chứng minh của định lí (2.2.1) ta có
( )
FT ≠∅

Với
,xy C∈
thì
( )
;
nn nn
S x S y Qx Qy S x S y Qx Qy x y Qx Qy− − ≤ − − ≤− −

21

Mà
( )
2
lim ;

thì

( )
Qx F T∈
nên
TQx Qx=
hay
hay
n
TQQ TQQ= =

Mà
( )
1
n
nn
S Tx S x T x x
n
−= −
nên
QTx Qx=
hay

hay
n
QT Q QT Q= =

Do đó ta được
khi 1,2,3
nn

(a)
{ }
n
Tx
hội tụ yếu
(b) Nếu
( )
FT ≠∅
và dãy con
{ }
i
n
Tx
của
{ }
n
Tx
hội tụ yếu về
yC∈
thì ta
được
( )
y FT∈

Chứng minh
( ) ( )
ab⇒
: Giả sử,
{ }
n

→∞ →∞
−≤ −
(2.2.4b)
Do
1
00
liminf liminf
nn
nn
Txx Txx
−
→∞ →∞
−= −
(2.2.4c)
(2.2.4a) (2.2.4b) (2.2.4c) dẫn đến mâu thuẫn nên ta có (b)
( ) ( )
ba⇒
: Nếu
( )
FT ≠∅

Với mọi
xC∈
,
Theo 2.2.1,
{ }
n
Tx
bị chặn nên
{ }

.
Do đó, mọi dãy con
{ }
i
n
Tx
hội tụ yếu về
( )
z FT∈

Suy ra dãy
{ }
n
Tx
hội tụ yếu về
( )
z FT∈
▄
2.2.5 UBổ đề:
Cho C là tập con lồi, đóng, trong không gian Hilbert H; ánh xạ
:TC C→
là
ánh xạ không giãn. Khi đó
(i)
UIT= −
đóng
(ii) Nếu
{ }
n
x

< − −+ − = −

Điều vô lí này được suy ra từ giả thuyết
0nn n
Ux x Tx u=−→
▄
2.2.6 UĐịnh lí
Cho C là tập con lồi, đóng, trong không gian Hilbert H; ánh xạ
:TC C→
là
ánh xạ không giãn. Giả sử
( )
FT ≠∅
. Nếu với
xC∈
ta có
( )
1
lim 0
nn
n
Tx T x
+
→∞
−=

23

thì dãy
{ }

Theo giả thuyết,
( )
( )
1
lim lim 0
nn n
nn
Tx T x I TTx
+
→∞ →∞
−=− =

Theo 2.2.5, ta có
( ) ( )
0 hay hayI T y y Ty y F T−= = ∈

Theo 2.2.4, ta được
{ }
n
Tx
hội tụ yếu về
( )
z FT∈
▄
2.3. Định lí điểm bất động cho nửa nhóm các ánh xạ không giãn trong
không gian Hilbert
2.3.1 UĐịnh nghĩa
S là Usemitopological semigroupU nếu S là nửa nhóm với tôpô Hausdorff sao
cho với mọi
aS∈

xác định
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
;
ss
lft fst rft fts= =
cho mọi
tS∈

U(a)U Hàm tuyến tính
( )
:CS
µ
→ ¡
được gọi là hàm trung bình nếu thỏa
( ) ( ) ( )
inf sup
sS
sS
fs f fs
µ
∈
∈
≤≤
cho mọi
( )
f CS∈


và
sS∈
.
U(c)U Hàm tuyến tính
( )
:CS
µ
→ ¡
gọi là trung bình bất biến phải nếu thỏa
( ) ( ) ( )
inf sup
sS
sS
fs f fs
µ
∈
∈
≤≤
cho mọi
( )
f CS∈

( )
( )
s
rf f
µµ
=
cho mọi
( )

( );t ut y
φ
=
với mọi
tS∈

Khi đó,
( )
CS
φ
∈
, với hàm trung bình
µ
xác định trên
( )
CS
, đặt
( ) ( )
( )
( )
( );
t
g y t ut y
µφ µ
= =
với mọi
yH∈

Ta được g là hàm tuyến tính trong H và


xác định trên
( )
CS
, phần tử
o
xH∈
thỏa mãn
( )
( )
( ); ;
to
ut y x y
µ
=
cho mọi
yH∈

Khi đó,
( )
{ }
:
o
x co u t t S C∈ ∈⊂

Chứng minh
Giả sử
( )
{ }
:
o

{ }
inf ; : inf ; :
oo
zy z A ut y t S∈≤ ∈

Điều này dẫn đến điều vô lí, do đó ta có
( )
{ }
:
o
x co u t t S C∈ ∈⊂
▄
2.3.5 UĐịnh nghĩa
Cho C là tập con lồi đóng trong không gian Hilbert H. Họ các ánh xạ
{ }
:,
t
T C Ct S→∈
gọi là biểu diễn liên tục của S bởi các ánh xạ không giãn
từ C vào C nếu S thỏa mãn các điều kiện sau:
(i). với mọi
,;ts S x C∈∈
thì
ts t s
T x TTx=

(ii). với mọi
xC∈
, ánh xạ
s

Tx t S∈
bị chặn tại ít nhất một
xC∈

(b)
{ }
:
t
Tx t S∈
bị chặn tại mọi
xC∈

(c)
( )
FS≠∅

Chứng minh
( ) ( )
ac⇒
:
µ
là một trung bình bất biến trái xác định trên C(S) . Đặt