ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ BÍCH THẢO
PHƯƠNG PHÁP MANN
TÌM NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG
VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG
THÁI NGUYÊN - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Một số ký hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. Một số khái niệm và vấn đề cơ bản 7
1.1. Một số khái niệm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Định nghĩa không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Một số khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3. Định nghĩa ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4. Định nghĩa nửa nhóm không giãn . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Một số tính chất của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Bài toán tìm điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Phương pháp Mann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2. Nội dung của phương pháp Mann . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. Nghiệm chung của bài toán cân bằng và điểm bất
động của họ các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 19
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Nam. Từ đáy lòng mình tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy,
các cô.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy và các cô trong Ban giám hiệu,
Tổ Toán - Trường THPT Trại Cau - Đồng Hỷ - Thái Nguyên đã tạo điều
kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận
văn cao học.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị em
học viên cao học toán K3 và bạn bè đồng nghiệp động viên và khích
lệ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn.
Tác giả
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Mở đầu
Bài toán tìm điểm bất động cho ánh xạ nói chung đã được rất nhiều nhà
toán học nghiên cứu như Định lý Brouwer được phát biểu năm 1912 bởi nhà
toán học Hà Lan Luizen Egbereis Jan Brouwer còn có tên Nguyên lý điểm
bất động Brouwer. Đây là một trong những định lý toán học quan trọng của
thế kỷ 20 và sau đó vẫn được nhiều nhà toán học tiếp tục nghiên cứu.
Nguyên lý điểm bất động Brouwer: Một ánh xạ liên tục f từ hình cầu
đóng trong R
n
vào chính nó phải có điểm bất động, tức tồn tại x sao cho
f(x) = x.
Ví dụ 0.0.1. Trong mặt phẳng phức mọi ánh xạ liên tục của hình tròn đơn
vị vào chính nó sẽ có điểm bất động.
Sau đó, Schauder (1930), Tikhonov (1935) đã mở rộng nguyên lý này và ở
dạng tổng quát nó được gọi là nguyên lý Brouwer- Schauder- Tikhonov phát
biểu như sau: Một ánh xạ liên tục f từ một tập lồi compac trong một không
gian topo lồi địa phương Hausdorff vào chính nó phải có điểm bất động, tức
tồn tại x sao cho f(x) = x.

Phạm Thị Bích Thảo
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Một số ký hiệu và chữ viết tắt
R
n
: Không gian Euclide n-chiều
|β| : Trị tuyệt đối của số thực β
x := y : x được định nghĩa bằng y
∀x : Với mọi x
∃x : Tồn tại x
I : Ánh xạ đồng nhất
A ⊂ B : Tập A là tập con thực sự của tập B
A ⊆ B : Tập A là tập con của tập B
A ∪ B : A hợp với B
A ∩ B : A giao với B
A × B : Tích Đề-các của hai tập A và B
convD : Bao lồi của tập D
x
k
→ x : dãy {x
k
} hội tụ mạnh tới x
x
k
 x : dãy {x
k
} hội tụ yếu tới x
A
∗

Các không gian R
n
, L
2
[a, b] là các không gian Hilbert với tích vô hướng
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
được xác định tương ứng là:
x, y =
n

i=1
ξ
i
η
i
; x = (ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n
) ∈ R
n
;
y = (η
1
, η
2
, , η

n
− ξ} bị chặn, ξ ∈ X.
• Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là đủ hay Cauchy, nếu với mỗi ε > 0, tồn tại
n
0
(ε) sao cho: x
m
− x
n
 < ε với mọi m ≥ n
0
(ε), n ≥ n
0
(ε).
• Cho X, Y là hai không Hilbert. Khi viết A : X → Y có nghĩa A là một
toán tử đơn trị từ X vào Y. Khi viết A : X → 2
Y
có nghĩa A là một toán tử
đa trị từ X vào Y.
• Toán tử A : X → R được gọi là tuyến tính nếu:
(i) A(x
1
+ x
2
) = Ax
1
+ Ax
2

n
 x) nếu φ, x
n
 → φ, x với mỗi φ ∈ X
∗
.
• Cho X là không gian Hilbert, và C là tập con của X. Một ánh xạ
T : C → X được gọi là demicompact, nếu nó thỏa mãn tính chất với mỗi dãy
{x
n
} bị chặn trong X và {T x
n
− x
n
} hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con
{x
n
k
} của {x
n
} cũng hội tụ mạnh đến p thì T (x) = p.
Nếu dãy {x
n
} hội tụ yếu tới x ∈ X thì dãy {x
n
} là bị chặn.
Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian Hilbert, M là một tập con
khác rỗng của X. (i) M được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ M, 0 ≤ λ ≤ 1
ta có:
λx + (1 − λ)y ∈ M;

} ⊂ X sao cho x
n
→ x
0
ta có:
ϕ(x
0
) ≤ lim inf
n→∞
ϕ(x
n
).
Nếu x
n
 x
0
và
ϕ(x
0
) ≤ lim inf
n→∞
ϕ(x
n
),
thì ϕ được gọi là nửa liên tục yếu tại x
0
.
Định lý 1.1.2. (i) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi trên X thì ϕ

(x) thỏa

(x), x − y ≥ ϕ(x) − ϕ(y) + γ(x − y), ∀x, y ∈ X;
(iii) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi mạnh trên X thì:
ϕ

(x), x − y ≥ ϕ(x) − ϕ(y) + cx − y
2
, ∀x, y ∈ X.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.1.3. Định nghĩa ánh xạ không giãn
Định nghĩa 1.1.5. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H. Phép chiếu của phần tử x ∈ H vào C kí hiệu là P
C
x. Ánh
xạ T : C → C được gọi là ánh xạ không giãn trên C nếu T : C → C sao cho
T x − T y ≤ x − y với mọi x, y ∈ C.
Ta kí hiệu F (T ) là tập các điểm bất động của T , tức là:
F (T ) = {x ∈ C : x = T x}.
1.1.4. Định nghĩa nửa nhóm không giãn
Định nghĩa 1.1.6. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H. Ánh xạ T : C → C là ánh xạ không giãn trên C. Tập
{T (s) : s > 0} được gọi là nửa nhóm không giãn trên C nếu thỏa mãn các
điều kiện sau:
(1) Với mỗi s > 0, T(s) là ánh xạ không giãn trên C;
(2) T (0)x = x với mọi x ∈ C;
(3) T (s
1
+ s
2
) = T (s

Ax, x
x
= +∞.
Định nghĩa 1.2.3. Toán tử A : X → X được gọi là compact trên X nếu nó
biến mỗi tập bị chặn trong X thành một tập compact trong Y.
Định nghĩa 1.2.4. Cho X, Y là không gian Hilbert. Toán tử A : X → Y
được gọi là: (i) liên tục tại x
0
∈ X nếu với mỗi dãy con {x
n
} ⊂ X sao
cho: Ax
n
→ Ax
0
, khi x
n
→ x
0
;
(ii) h - liên tục tại x
0
∈ X nếu A(x
0
+ t
n
h)  Ax
0
khi t
n

Ax − Ay, x − y ≥ δ(x − y), ∀x, y ∈ X.
Nếu δ(t) = ct
2
, (c > 0) thì toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh. Toán
tử A được gọi là nửa đơn điệu, nếu tồn tại một toán tử compact C sao cho
A + C là một toán tử đơn điệu.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.3. Bài toán tìm điểm bất động
Bài toán tìm điểm bất động chung cho họ hữu hạn các ánh xạ không
giãn trong không gian Hilbert H được phát biểu như sau: Tìm một điểm
p ∈ C := ∩
N
i=1
(C
i
) trong đó N ≥ 1 là một số nguyên và mỗi C
i
là tập các
điểm bất động F ix(T
i
) của các ánh xạ không giãnT
i
: H → H, i = 1, 2 N
Trong trường hợp đơn giản, khi N = 1 và T
1
= T là ánh xạ không giãn
trên một tập lồi đóng C của không gian Hilbert H, tức là T : C → C và
T x − T y ≤ x − y với mọi x, y ∈ C.
Bài toán tìm điểm bất động cho họ các ánh xạ loại không giãn xác định

sẽ xây dựng một dãy x
n
và dãynà y sẽ hội tụ đến điểm bất động của T , bằng
cách chọn phần tử ban đầu x
1
∈ E và các phần tử tiếp theo được xác định
thông qua quá trình lặp:
x
n+1
= T (x
n
), ∀n ≥ 1. (1.2)
Nếu dãy này hội tụ thì nó sẽ hội tụ đến điểm bất động của T . Nhưng để nó
hội tụ thì ta phải hạn chế một số điều kiện của T, ví dụ như T là một hàm
khoảng cách giảm chẳng hạn. Tuy nhiên, những giả thiết như thế là rất đặc
biệt, vấn đề đặt ra là ta cần tìm những điều kiện khác mà không cần đến
những giả thiết đặc biệt đó mà bài toán vẫn được giải quyết.
1.5.2. Nội dung của phương pháp Mann
Giả sử quá trình lặp được xác định bởi (1.2) là không hội tụ, khi đó ta
xét ma trận A như sau:
A =






1 0 0 · · · 0 0
a
21

j=1
a
ij
= 1, ∀i.
Bắt đầu với phần tử x
1
∈ E và quá trình lặp được xác định như sau:
x
n+1
= T (v
n
), (1.4)
trong đó
v
n
=
n

k=1
a
nk
x
k
. (1.5)
Quá trình này được xác định bởi điểm ban đầu x
1
, ma trận A và ánh xạ
T được biểu thị bởi bộ (x
1
, A, T) có thể được coi là quá trình lặp, vì khi ma

n
= T (q). Do đó T (q) = q. 
Nếu {x
n
} hoặc {v
n
} không có điểm giới hạn. Khi đó ta gọi X là tập các
điểm giới hạn của x

s và V là tập các điểm giới hạn của v

s. Ta có định lý
sau:
Định lý 1.5.2. Nếu ma trận A xác định như trên và bổ xung thêm điều kiện
lim a
nn
= 0,
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
lim
n

k=1
|a
(n+1),k
− a
n,k
| = 0, (1.6)
thì X và V là các tập đóng liên thông.
Chứng minh. V là tập đóng và compact và vì (1.6), lim(v



1 0 0 0 0 · · · · · · · · ·
1/2 1/2 0 0 0 · · · · · · · · ·
1/3 1/3 1/3 0 0 · · · · · · · · ·
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1/n 1/n 1/n · · · 1/n 0 0 · · ·
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .








.
Khi đó A thỏa mãn tất cả các giả thiết của định lý(1.5.2). Áp dụng (1.4) và
(1.5) ta thấy rằng (x
1
, A, T) biểu thị quá trình lặp, bắt đầu với điểm x
1
∈ E
và áp dụng công thức:
x
n+1
= T (v
n
), ∀n ≥ 1,
trong đó

đây.
Định lý 1.5.4. Nếu T là một hàm liên tục trên [a; b] và có một điểm bất
động duy nhất p trên [a; b] thì (x
1
, A, T) hội tụ đến p với mọi cách chọn
x
1
∈ [a; b].
Chứng minh. Từ (1.7) ta thấy (v
n+1
− v
n
) → 0. Vì T (x) là hàm liên tục và p
là duy nhất thỏa mãn T(x) − x > 0 nếu x < p và T (x) − x < 0 nếu x > p.
Hơn nữa, với mỗi δ > 0 tồn tại một số ε > 0 sao cho |T (x) − x| ≥ ε khi
|x − p| ≥ δ. Sử dụng (1.7) để viết v
n+1
theo dạng sau:
v
n+1
= v
1
+
n

k=1
T (v
k
) − v
k

thuyết yếu hơn so với những yêu cầu mà vẫn bao hàm sự hội tụ của quá
trình lặp thông thường. Kết quả theo hướng này sẽ được quan tâm, ví dụ,
trong các vấn đề biên của hàm phi tuyến, các ánh xạ không giãn với một
điều kiện Lipschitz dể đảm bảo sự hội tụ của xấp xỉ tiếp theo.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chương 2
Nghiệm chung của bài toán cân bằng
và điểm bất động của họ các ánh xạ
không giãn trong không gian Hilbert
Trong chương này chúng tôi trình bày hai vấn đề cơ bản của luận văn.
Mục 2.1 là nội dung phương pháp tìm điểm bất động của nửa nhóm các ánh
xạ không giãn và nghiệm bài toán cân bằng trong không gian Hilbert. Mục
2.2 là nội dung Phương pháp lặp cho bất đẳng thức biến phân trên tập các
điểm bất động của họ các ánh xạ không giãn trên không gian Hilbert. Nội
dung của chương này được chúng tôi tổng hợp từ hai bài báo của GS. TS
Nguyễn Bường và hai cộng sự Nguyễn Đình Dương và Nguyễn Thị Quỳnh
Anh (xem [19]- [20])
2.1. Phương pháp tìm điểm bất động của nửa nhóm các ánh xạ
không giãn và nghiệm bài toán cân bằng trong không gian
Hilbert.
2.1.1. Các kết quả đã được công bố.
Cho C
1
và C
2
là các tập con lồi đóng trong H. G(u, v) là hàm hai biến xác
định bởi các điều kiện từ (A1) - (A4). Thay C bởi C
1
và cho {T (s) : s > 0}

x
k+1
=
ε
k
1 + ε
k
f(x
k
) +
1
1 + ε
k
T x
k
, k ≥ 1,
trong đó {ε
k
} ∈ (0, 1) thỏa mãn
lim
k→∞
ε
k
= 0,
∞

k=1
ε
k
= ∞, và lim

= µ
k
f(x
k
) + (1 − µ
k
)
1
s
k

s
k
0
T (s)x
k
ds, k ≥ 1,
trong đó f : C → C, là ánh xạ co, {µ
k
} ⊂ (0, 1) và {s
k
} là dãy số thực thỏa
mãn : µ
k
→ 0,

∞
k=1
µ
k

k
→ ∞, Tìm p ∈ F, khi {T (s) :
s > 0} thỏa mãn các điều kiện tiệm cận đều
lim
s→∞
sup
x∈
˜
C
T (t)T (s)x − T (s)x = 0,
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
với bất kì t, và
˜
C là tập con đóng và giới nội bất kì của C. Thêm nữa,
Plubtieng và Pupaeng trong [26] đã nghiên cứu thuật toán sau:
x
k+1
= µ
k
f(x
k
) + β
k
x
k
+ (1 − β
k
− µ
k

µ
k
= ∞, và {s
k
}là dãy số thực khác.
Có một số đề xuất để giải quyết bài toán cân bằng (1.1); xem các ví dụ
[2],[5],[9] và [21]. Đặc biệt, Combettes và Histoaga [22] đã đề xuất một phương
pháp giải quyết bài toán cân bằng.
Năm 2007, Takahashi và W.Takahashi [27] với phương pháp của Moudafi
kết hợp với kết quả của Combettes và Histoaga trong [22] đã tìm được phần
tử p ∈ EP(G) ∩ F(T ). Họ đã chứng minh được định lý về sự hội tụ mạnh
sau.
Định lý 2.1.2. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert
thực H, cho T là ánh xạ không giãn C và cho G là hàm hai biến từ C ×C đến
(−∞, +∞) thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) sao cho EP(G) ∩ F (T ) = ∅.
Cho f là ánh xạ co trên C và cho {x
k
} và {u
k
} là dãy bất kì xác định bởi:
x
1
∈ H và
G(u
k
, y) +
1
r
k
u

k=1
µ
k
= ∞, lim inf
k→∞
r
k
> 0,
∞

k=1
|µ
k+1
− µ
k
| < ∞ và
∞

k=1
|r
k+1
− r
k
| < ∞.
Khi đó, {x
k
} và {u
k
} hội tụ mạnh đến p ∈ EP (G) ∩ F (T ), với p =
P

k
T (s
k
)u
k
, k ≥ 1,
để tìm một phần tử p ∈ EP (G)∩F trong trường hợp C
1
= C
2
= C theo điều
kiện qui luật thống nhất tiệm cận trên nửa nhóm không giãn {T (s) : s > 0}
trên C.
Thúc đẩy bởi những kết quả trên để giải quyết bài toán (2.1), trong [19]
giới thiệu thuật toán sau:
x
1
∈ H, bất kì,
u
k
∈ C
1
: G(u
k
, y) +
1
r
k
u
k

T
k
x =
1
s
k

s
k
0
T (s)xds (2.6)
vói mọi x ∈ C
2
, {µ
k
}, {β
k
} và {γ
k
} là dãy số trên (0,1), và {r
k
}, {s
k
} là dãy
trên (0, ∞) thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) µ
k
+ β
k
+ γ

k+1
|;
(v)
lim inf
k→∞
r
k
> 0 và lim
k→∞
|r
k
− r
k+1
| = 0.
Sự hội tụ mạnh của (2.5)-(2.6) và hệ quả của nó chúng tôi xin trình bày ở
phần sau.
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2.1.2. Các bổ đề cần sử dụng
Bổ đề 2.1.1. (xem [3])Cho H là không gian Hilbert thực. Ta có công thức
sau:
x + y
2
≤ x
2
+ 2y, x + y ∀x, y ∈ H.
Bổ đề 2.1.2. (xem [3]). Cho C là tập con lồi, đóng khác rỗng trong không
gian Hilber thực H. Với bất kì x ∈ H, tồn tại một phần tử z ∈ C sao cho
z −x ≤ y−x với mọi y ∈ C, và z ∈ P
C

và lim sup
k→∞
c
k
≤ 0. Khi đó, lim
k→∞
a
k
= 0.
Bổ đề 2.1.4. (xem [5]). Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của H và G là
hàm hai biến từ C × C vào (−∞, +∞) thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4).
Cho r > 0 và x ∈ H. Khi đó, tồn tại z ∈ C sao cho:
G(z, v) +
1
r
z − x, v − z ≥ 0, ∀v ∈ C.
Bổ đề 2.1.5. (xem [5]). Giả sử G : C × C → (−∞, +∞) thỏa mãn các điều
kiện (A1)-(A4). Cho r > 0 và x ∈ H, xác định một ánh xạ T
r
: H → C như
sau:
T
r
(x) = {z ∈ C : G(z, v) +
1
r
z − x, v − z ≥ 0 ∀v ∈ C}. (2.7)
thì ta có các kết quả sau:
(i) T
r



T (h)

1
t

t
0
T (s)yds

−
1
t

t
0
T (s)yds




= 0.
Bổ đề 2.1.7. (Xem [15]). Nếu C là tập con lồi, đóng của H, T là ánh xạ
không giãn trên C, {x
k
} là dãy trên C sao cho x
k
 x ∈ C và x
k

với mọi k ≥ 1 và lim sup
k→∞
z
k+1
− z
k
 −
x
k+1
− x
k
 ≤ 0. Khi đó, lim
k→∞
z
k
− x
k
 = 0.
2.1.3. Các kết quả chính
Định lý 2.1.3. . Cho C
1
và C
2
là hai tập con không rỗng đóng lồi trong một
không gian Hilbert thực H. Cho G là hàm hai biến từ C
1
×C
1
đến (−∞, +∞)
thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) với C thay bởi C