ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Đỗ Duy Thành

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CHUNG
CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM
BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS.

Phạm Ngọc Anh

2. GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2016


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả, số
liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công
trình nào khác.

Tác giả luận án


Lời cam đoan

1

Lời cảm ơn

2

Mục lục

3

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

5

Mở đầu

7

Chương 1. Bài toán cân bằng và ánh xạ không giãn
1.1 Sự hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert thực . . . . . . .

14
14

1.2

Phép chiếu và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.5.1

Phương pháp xấp xỉ gắn kết . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.5.2
1.5.3

Phương pháp chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp đạo hàm tăng cường xấp xỉ . . . . . . . . . .

31
32

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Chương 2. Phương pháp điểm bất động
2.1 Một số cách tiếp cận điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . .

36
37

1.5

1.6


Một số phương pháp chiếu cho một họ các ánh xạ không giãn . .
Phương pháp đạo hàm tăng cường . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49
50

3.3

Phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng . . . . . . . . . . . . .

52

3.4

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Chương 4. Phương pháp tìm kiếm theo tia
4.1

4.2

4.3

4.4

61


Kết quả hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Giải bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và ánh
xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90
92

4.3.2

93

Kết quả hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Kết luận

111

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 113

4


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

N


∃x

tồn tại x

∀x

với mọi x

⟨x, y⟩

tích vô hướng của hai véc tơ x và y

A⊂B

tập hợp A là tập con thực sự của tập hợp B

A⊆B

tập hợp A là tập con của tập hợp B

A∩B

tập hợp A giao với tập hợp B

A∪B

tập hợp A hợp với tập hợp B

A×B


dãy {xn } hội tụ mạnh tới x

xn ⇀ x

dãy {xn } hội tụ yếu tới x

V I (C, F )

bài toán bất đẳng thức biến phân

OP

bài toán tối ưu

EP (C, f )

bài toán cân bằng

F ix

bài toán điểm bất động

Sol(C, F )

tập nghiệm của bài toán V I (C, F )

Sol(C, f )

tập nghiệm của bài toán EP (C, f )


nghiên cứu các mô hình cân bằng kinh tế theo khái niệm cân bằng do J.F. Nash,
nhà toán học Mỹ được giải Nobel kinh tế do những công trình nghiên cứu về
cân bằng, đưa ra. Sau đó bài toán cân bằng theo bất đẳng thức Ky Fan đã được
nghiên cứu bởi nhiều tác giả là những nhà toán học và những chuyên gia kinh tế.
Về mặt lý thuyết của sự tồn tại nghiệm, nhiều kết quả cơ bản và quan trọng đã
7


đạt được cho bài toán cân bằng tổng quát trên các không gian trừu tượng. Tuy
nhiên về mặt tính toán, các kết quả còn hạn chế. Các phương pháp giải mới thu
được cho các bài toán cân bằng với các song hàm nhận giá trị thực và có thêm
những tính chất đơn điệu. Các phương pháp giải cho lớp các bài toán cân bằng
tổng quát hơn, nhất là lớp các bài toán cân bằng với song hàm có tính đơn điệu
suy rộng, như giả đơn điệu, tựa đơn điệu v.v . . . đang được nghiên cứu nhiều do
tính lý thú về mặt toán học, cũng như khả năng ứng dụng của lớp bài toán này.
Cho C là một con tập lồi, đóng, khác rỗng của một không gian Hilbert thực
H và một song hàm f : C × C → R. Bài toán cân bằng đặt ra là tìm một điểm
x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y ) ≥ 0 với mọi y ∈ C . Ta được biết rằng, x∗ là một nghiệm

của bài toán cân bằng khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán tối ưu
min f (x, y ).
y∈C

Như vậy, với mỗi x ∈ C , x∗ là điểm bất động của một ánh xạ nghiệm
1
2

S (x) = argmin{λf (x, y ) + ∥y − x∥2 , y ∈ C},

trong đó λ > 0, ánh xạ nghiệm S : C → 2C .

Tìm un ∈ C : f (un , y ) + 1 ⟨y − un , un − xn ⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C,
rn

điểm lặp xn+1 được tính theo xn và un thông qua các kỹ thuật điểm bất động.
Vậy, bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập điểm
bất động của ánh xạ không giãn được chuyển về việc giải một dãy các bài toán
cân bằng phụ. Thực tế cho thấy, nếu các bài toán phụ này chỉ giải được nghiệm
dạng xấp xỉ, thì chưa chắc dãy lặp đã hội tụ về nghiệm tối ưu cần tìm. Đây là
một vấn đề rất được quan tâm giải quyết và vẫn còn là một câu hỏi mở cho việc
nghiên cứu để tìm ra các thuật toán hữu hiệu cho bài toán này. Một vài phương
pháp tiếp cận nổi bật giải bài toán này trên một không gian Hilbert thực H trong
thời gian gần đây được biết đến như:
Phương pháp xấp xỉ gắn kết (viscosity approximation methods) được đề xuất
bởi nhóm tác giả S. Takahashi và W. Takahashi [55] dựa trên kết quả của P.L.
Combettes và S.A. Hirstoaga [21] về tính chất của ánh xạ nghiệm và phương pháp
xấp xỉ cho bài toán điểm bất động của A. Moudafi [38]. Các tác giả đã trình bày
hai định lý về sự hội tụ mạnh và yếu của thuật toán đề xuất.
Phương pháp chiếu do A. Tada và W. Takahashi [53] giới thiệu. Tác giả đã
cải tiến phương pháp xấp xỉ gắn kết khi chiếu xấp xỉ ban đầu của dãy lặp lên
giao của hai tập lồi đóng chứa tập nghiệm của bài toán và cũng thu được sự hội
tụ mạnh của thuật toán.
Phương pháp đạo hàm tăng cường lần đầu tiên được G.M. Korpelevich [34]
đề xuất để giải bài toán tìm điểm yên ngựa sau đó được phát triển cho bài toán
bất đẳng thức biến phân. Phương pháp này sử dụng hai phép chiếu trong mỗi
bước lặp như sau:
x0 ∈ C, y n = P rC (xn − λn F (xn )) và xn+1 = P rC (xn − λn F (y n )).

(1)

Tiếp cận này cho phép giải bài toán bài toán bất đẳng thức biến phân V I (C, F )

bài toán bất đẳng thức biến phân với tập các điểm bất động của một họ đếm
được các ánh xạ không giãn.
Gần đây, việc nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng được
phát triển theo nhiều hướng khác nhau. Hướng nghiên cứu chủ yếu là khai thác
các tính chất liên tục, nửa liên tục trên theo biến thứ nhất và nửa liên tục dưới
theo biến thứ hai của song hàm f , cũng như tính chất bị chặn của miền chấp
nhận C . Nghiên cứu nổi bật ở trong nước là các giáo sư như: P.H. Sách, P.Q.
Khánh, N.X. Tấn, . . . (xem [23, 24, 30, 49, 56]). So với việc nghiên cứu lý thuyết,
việc nghiên cứu về các thuật toán giải còn rất hạn chế và chưa đáp ứng được các
đòi hỏi của thực tế. Nghiên cứu thuật toán giải tìm điểm chung của bài toán cân
bằng và bài toán điểm bất động ở trong nước vẫn là một đề tài mới và hấp dẫn
10


rất nhiều các nhà khoa học như các giáo sư N. Bường, L.D. Mưu, P.N. Anh, . . .
(xem [4, 5, 7, 13, 47]).
Vấn đề tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng giả đơn điệu và bài toán
điểm bất động của ánh xạ không giãn còn ít được nghiên cứu. Trong hầu hết các
công trình đã biết, tính liên tục Lipschitz của song hàm thường phải giả thiết.
Trong luận án này, bài toán cân bằng được xét là giả đơn điệu với song hàm
không thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Trên cơ sở tận dụng, kế thừa tối đa những
kết quả nghiên cứu đã có trong nước và trên thế giới về các phương pháp tìm
điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ
không giãn, chúng tôi đã mở rộng, cải tiến để đưa ra các thuật toán mới sử dụng
tính đơn điệu suy rộng của song hàm f đó là tính giả đơn điệu đồng thời khắc
phục một số hạn chế của các phương pháp trước đó.
Mục đích của luận án nhằm nghiên cứu một số phương pháp tìm điểm chung
của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn
trên cơ sở giải quyết các vấn đề sau:
1) Giải bài toán trong hai trường hợp: Song hàm f giả đơn điệu liên tục kiểu

kiện của hàm f từ đơn điệu hoặc đơn điệu mạnh xuống giả đơn điệu, đồng thời
loại bỏ được quá trình giải các bài toán cân bằng phụ, một công việc khá phức
tạp và thường chỉ cho nghiệm dưới dạng xấp xỉ. Thay vào đó, tại mỗi bước lặp
thứ n, chúng tôi chỉ cần giải hai bài toán lồi mạnh, là những bài toán có thể thu
được lời giải chính xác và chứng minh được sự hội tụ yếu của thuật toán.
Trong Chương 3, chúng tôi sử dụng kỹ thuật chiếu dạng lai ghép để tìm điểm
chung của tập nghiệm bài toán cân bằng với tập điểm bất động của một họ các
ánh xạ không giãn. Thuật toán sử dụng phương pháp lặp kiểu Mann kết hợp với
phép chiếu xấp xỉ ban đầu của dãy lặp lên giao của hai họ các tập lồi, đóng chứa
tập nghiệm của bài toán để đạt được sự hội tụ mạnh mà không cần bất kỳ giả
thiết nào về tính bị chặn.
Toàn bộ nội dung của Chương 4 là phương pháp tìm kiếm theo tia kiểu Armijo
được áp dụng để giải ba loại bài toán: Bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm

12


bài toán cân bằng và tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn, bài toán
tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của một
họ các ánh xạ không giãn, bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân
bằng, tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân và tập các điểm bất động
của một ánh xạ không giãn. Nét nổi bật của phương pháp này là khá đơn giản về
mặt cấu trúc và tính toán cũng như không cần điều kiện liên tục kiểu Lipschitz
của song hàm f - một điều kiện rất mạnh và khó kiểm tra. Cụ thể, chúng tôi xây
dựng một siêu phẳng chứa tập nghiệm của bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng
thức biến phân và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn. Sau đó chiếu điểm
lặp hiện tại vào phần giao của siêu phẳng trên với một tập con lồi, đóng khác
rỗng của một không gian Hilbert thực H chứa điểm xuất phát x0 của dãy lặp kết
hợp với kỹ thuật điểm bất động để xây dựng điểm lặp tiếp theo và thu được các
định lý về sự hội tụ mạnh và yếu của thuật toán.

Sự hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert thực
Các khái niệm hội tụ mạnh và yếu là những khái niệm rất cơ bản trong không

gian Hilbert. Nó là cơ sở để xây dựng và chứng minh các định lý hội tụ của các
thuật toán sau này.
Định nghĩa 1.1. Cặp (H, ⟨·, ·⟩) trong đó H là không gian véc tơ thực và
⟨·, ·⟩ : H × H → R

(x, y ) −→ ⟨x, y⟩
là một hàm số thực, gọi là một không gian tiền Hilbert thực nếu các điều kiện sau
được thỏa mãn:
(a) ⟨y, x⟩ = ⟨x, y⟩, ∀x, y ∈ H;
(b) ⟨x + y, z⟩ = ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩, ∀x, y, z ∈ H;
14


(c) ⟨λx, y⟩ = λ⟨x, y⟩, ∀x, y ∈ H, λ ∈ R;
(d) ⟨x, x⟩ ≥ 0, ∀x ∈ H, ⟨x, x⟩ = 0 ⇒ x = 0.
Số ⟨x, y⟩ gọi là tích vô hướng của hai phần tử x và y .
Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Nếu (H, ⟨·, ·⟩) là một không gian
tiền Hilbert, thì
|⟨x, y⟩|2 ≤ ⟨x, x⟩.⟨y, y⟩, ∀x, y ∈ H.

Định lý 1.2. (H, ⟨·, ·⟩) là một không gian tiền Hilbert, thì
∥x∥ =

√

⟨x, x⟩, x ∈ H,



Ta biết rằng với mỗi phần tử cố định y của H, phiếm hàm f : H → R xác
định bởi
f (x) = ⟨x, y⟩, x ∈ H,

là tuyến tính liên tục trên H, tức là f ∈ H∗ . Đảo lại, ta sẽ chỉ ra rằng mọi phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên một không gian Hilbert thực đều có dạng đó thông
qua định lí sau.
15


Định lý 1.3 ([11], Định lí Riesz). Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên H, thì tồn tại một phần tử duy nhất y của H sao cho f (x) = ⟨x, y⟩ với mọi
x ∈ H và ∥f ∥ = ∥y∥.

Định nghĩa 1.3. Tôpô yếu σ (H, H∗ ) là tôpô yếu nhất trên H sao cho các phiếm
hàm f ∈ H∗ đều liên tục.
Từ định nghĩa của tô pô yếu suy ra tô pô yếu trên không gian Hilbert yếu
hơn tô pô xác định bởi chuẩn. Để phân biệt, ta gọi tô pô xác định bởi chuẩn là tô
pô mạnh. Các khái niệm tập hợp đóng yếu, compact yếu,. . . được hiểu là tập hợp
đóng, compact đối với tô pô yếu. Các khái niệm tập hợp đóng mạnh, compact
mạnh,. . . được hiểu một cách tương tự.
Định nghĩa 1.4. Ta nói dãy phần tử {xn } của H hội tụ yếu đến phần tử x của
H nếu {xn } hội tụ đến x đối với tôpô yếu σ (H, H∗ ). Khi đó, ta ký hiệu xn ⇀ x, x

gọi là giới hạn yếu của dãy {xn }.
Định nghĩa 1.5. Dãy {xn } trong H hội tụ mạnh đến x ∈ H nếu lim ∥xn −x∥ = 0
n→∞

và ta viết

đó, dãy {y n } hội tụ yếu đến 0.

1.2

Phép chiếu và các tính chất
Trong mục này, ta sẽ nhắc lại khái niệm và một số tính chất điển hình về

phép chiếu trực giao của một điểm lên một tập lồi, đóng, khác rỗng của H. Đây
là một công cụ sắc bén nhưng cũng khá đơn giản để chứng minh sự hội tụ mạnh
và yếu của các thuật toán sẽ được trình bày trong các chương tiếp theo.
Định nghĩa 1.7. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Phép chiếu
metric, hay còn gọi là phép chiếu trực giao của một điểm x ∈ H lên C , ký hiệu
P rC (x) được xác định bởi
P rC (x) = argmin{∥x − y∥ : y ∈ C}.

Dùng định nghĩa 1.7, ta chứng minh được các tính chất sau:
Tính chất 1.1.

(i) Với mỗi x ∈ H, P rC (x) tồn tại và duy nhất;

⟨
⟩
(ii) x − P rC (x), y − P rC (x) ≤ 0, ∀x ∈ H, y ∈ C ;
⟨
⟩
(iii) ∥P rC (x) − P rC (y )∥2 ≤ P rC (x) − P rC (y ), x − y , ∀x, y ∈ H;
(iv ) ∥P rC (x) − P rC (y )∥ ≤ ∥x − y∥, ∀x, y ∈ H;
(v ) ∥P rC (x) − P rC (y )∥2 ≤ ∥x − y∥2 − ∥P rC (x) − x + y − P rC (y )∥2 , ∀x, y ∈ H;
(vi) ∥P rC (x) − y∥2 ≤ ∥x − y∥2 − ∥P rC (x) − x∥2 , ∀x ∈ H, y ∈ C .
17

Ví dụ 1.5. Cho ánh xạ T : [−4; 2] → [−4; 2] được định nghĩa bởi:


x,
x ∈ [−4, 0),
T (x) =

−2x, x ∈ [0, 2].
T không là ánh xạ không giãn vì với x = 1, y = 0 ta có:
|T (x) − T (y )| = 4|x − y|2 = 4 > 1 = |x − y|2 .

18


Chú ý 1.1. Điểm bất động của ánh xạ không giãn có thể không duy nhất (chẳng
hạn, xét ánh xạ đồng nhất).
Việc nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ không giãn đòi hỏi phải có
những công cụ đặc biệt. Công cụ chính để nghiên cứu vấn đề này là cấu trúc hình
học của không gian Banach. Sau đây là một số khái niệm cơ bản của lí thuyết
này.
Định nghĩa 1.10. Không gian Banach (X, ∥ · ∥) được gọi là lồi chặt nếu với mọi
x+y
x ̸= y mà ∥x∥ = 1, ∥y∥ = 1 ta có
< 1.
2
Định nghĩa 1.11. Không gian Banach (X, ∥ · ∥) được gọi là lồi đều nếu với mọi
ε > 0 đều tồn tại δ (ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X mà ∥x∥ = 1, ∥y∥ = 1, ∥x−y∥ ≥ ε

ta luôn có
x+y

S (x) = x + a, a ̸= 0.

Khi đó, S là ánh xạ không giãn nhưng không có điểm bất động.
Ví dụ 1.7. Cho B là hình cầu đơn vị đóng trong C0 (không gian Banach các dãy
số hội tụ đến 0 với chuẩn sup) và ánh xạ S : B → B xác định bởi
S (x1 , x2 , . . .) = (1, x1 , x2 , . . .).

Khi đó, S là ánh xạ không giãn trong B mà không có điểm bất động.
Ví dụ tiếp theo cho thấy tồn tại một số ánh xạ không giãn không đi từ C vào
chính nó nhưng vẫn có điểm bất động.
Ví dụ 1.8. Cho X = R, C = [−1, 1] và S : C → X định nghĩa bởi S (x) = 1 − x, x ∈
C . Khi đó, S (−1) = 2 ∈
/ C nhưng S có điểm bất động duy nhất trong C .

1.4

Bài toán cân bằng
Bài toán cân bằng được E. Blum và W. Oettli [10] giới thiệu năm 1994. Ở

đó, các tác giả xem bài toán này là mô hình tổng quát của bài toán tối ưu và bài
toán bất đẳng thức biến phân. Bài toán cân bằng xét về mặt hình thức khá đơn
giản nhưng nó bao hàm được nhiều bài toán quan trọng trong kinh tế và nhiều
lĩnh vực thực tiễn khác nhau như bài toán điểm bất động, bài toán bù phi tuyến,
bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân bằng Nash, . . .. Nhiều kết quả của các bài
20


toán trên có thể được mở rộng cho bài toán cân bằng tổng quát với những điều
chỉnh hợp lý và đã thu được nhiều ứng dụng rộng lớn. Đến nay, bài toán cân bằng
đã được nghiên cứu và mở rộng rất nhiều so với bài toán gốc trên các phương

(d) giả đơn điệu (pseudomonotone) trên C , nếu
f (x, y ) ≥ 0 suy ra f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C ;

(e) giả đơn điệu chặt (strictly pseudomonotone) trên C , nếu
f (x, y ) ≥ 0 suy ra f (y, x) < 0, ∀x, y ∈ C, x ̸= y ;

(f ) tựa đơn điệu (quasimonotone) trên C , nếu
f (x, y ) > 0 suy ra f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C ;

(g ) liên tục kiểu Lipschitz (Lipschitz-type continuous) trên C với hằng số c1 > 0
và c2 > 0, nếu
f (x, y ) + f (y, z ) ≥ f (x, z ) − c1 ∥x − y∥2 − c2 ∥y − z∥2 , ∀x, y, z ∈ C.

1.4.2

Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng

Bài toán cân bằng là bài toán tổng quát, nó bao hàm nhiều lớp bài toán quan
trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng
thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán điểm yên ngựa, bài toán bù
phi tuyến, bài toán cân bằng Nash [43],. . .. Sau đây, ta sẽ trình bày cụ thể hơn
về các trường hợp riêng của bài toán cân bằng.
Ví dụ 1.9. Bài toán bất đẳng thức biến phân
Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và một hàm F : C → H. Ta
xét bài toán bất đẳng thức biến phân sau:
⟨
⟩
Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), y − x∗ ≥ 0 với mọi y ∈ C,
ký hiệu là V I (C, F ). Tập nghiệm của bài toán V I (C, F ) ký hiệu là Sol(C, F ). Ta
⟨


⟩

⟨

⟩

F (y ), x − y ≥ 0 ⇒ F (x), x − y ≥ 0;

(e) liên tục Lipschitz trên C với hằng số L > 0, nếu
∥F (x) − F (y )∥ ≤ L∥x − y∥, ∀x, y ∈ C.

Một toán tử tuyến tính bị chặn A từ H vào chính nó được gọi là dương mạnh,
nếu tồn tại một hằng số γ > 0 sao cho
⟨Ax, x⟩ ≥ γ∥x∥2 , ∀x ∈ H.

Ví dụ 1.10. Bài toán tối ưu
Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H, một hàm F : C → R. Bài
toán tối ưu, kí hiệu (OP ), là bài toán được xác định bởi
min F (x).
x∈C

Đặt f (x, y ) = F (y ) − F (x) với mọi x, y ∈ C . Khi đó, bài toán (OP ) tương đương
với bài toán cân bằng EP (C, f ).
23


Ví dụ 1.11. Bài toán điểm bất động Kakutani
Cho C là một tập con lồi, đóng khác rỗng của Rn và φ : C → 2R là một ánh
n


24