Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
------------**------------

NGUYỄN VŨ TRUNG

BÀI TOÁN MOTZ VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
TÌM NGHIỆM XẤP XỈ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60. 46. 01.12

Người hướng dẫn
TS. VŨ VINH QUANG

THÁI NGUYÊN – NĂM 2016


1

MỤC LỤC
Mục lục ..................................................................................................... 1
Lời cam đoan ........................................................................................... 3
Lời cảm ơn ............................................................................................... 4
Các ký hiệu............................................................................................... 5

- 1

(W) và H (¶ W) 12
2

1.2 Phương trình elliptic ..................................................................... 12
1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình .............................. 13
1.2.2 Phát biểu các bài toán biên .................................................... 14
1.3 Kiến thức về các sơ đồ lặp cơ bản ................................................ 16
1.3.1 Lược đồ lặp hai lớp ................................................................ 16
1.3.2 Lược đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phương
pháp lặp ........................................................................................... 17
1.4 Phương pháp sai phân…………………….. ................................. 17
1.5 Giới thiệu thư viện RC2009 .......................................................... 20
1.5.1 Bài toán biên Dirichlet ........................................................... 20
1.5.2 Bài toán biên Neumann.......................................................... 22


2

Chương 2 Bài toán Motz và các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ ... 27
2.1 Giới thiệu bài toán Motz ............................................................... 27
2.2 Một số phương pháp khai triển thông qua các hệ hàm riêng ........ 28
2.2.1 Phương pháp BAMs............................................................... 28
2.2.2 Phương pháp GFIFs ............................................................... 30
2.2.3 Kết quả sử dụng các phương pháp BAMs ............................. 32
2.3 Phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ ............................................. 32
Chương 3 Một số kết quả thực nghiệm với bài toán Motz ............... 41
3.1 Kết quả đối với các phương pháp khai triển ................................. 41
3.1.1 Phương pháp BAMs............................................................... 41


4

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được
sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS. Vũ Vinh Quang - Trường Đại học
Công Nghệ Thông Tin và Truyền Thông. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy
đã dành cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau đại học, quý thầy cô
giảng dạy lớp cao học toán K7C (2014-2016) Trường Đại học Khoa Học –
Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng
như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những
người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá
trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn!
Thái nguyên, tháng 12 năm 2015
Người viết luận văn

Nguyễn Vũ Trung


5

CÁC KÝ HIỆU

W

Miền giới nội trong không gian ¡


2

(¶ W)

Không gian Sobolev với chỉ số 1/2

H 01 (W)

Không gian các hàm có vết bằng không trên ¶ W.

H - 1 (W)

Không gian đối ngẫu với H 0 W .

-

H

1
2

(¶ W)

×

V

1

( )

pháp kể trên không thể thực hiện được. Để giải quyết các bài toán này, người
ta thường nghiên cứu theo 2 hướng sau đây:
 Xây dựng các hệ hàm riêng trực giao xung quanh lân cận của điểm
kỳ dị dưới dạng tọa độ cực và từ đó tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán dưới dạng
khai triển tổng hữu hạn của các hệ hàm riêng. Từ đó bài toán đưa về việc xác
định các hệ số của khai triển thông qua việc giải các hệ đại số tuyến tính.
 Sử dụng các sơ đồ lặp chuyển bài toán có chứa điểm kỳ dị về các bài
toán con không chứa điểm kỳ dị. Từ đó áp dụng các phương pháp sai phân để
giải quyết các bài toán con qua đó xây dựng nghiệm của bài toán gốc ban đầu.
Xuất phát từ phân tích đó, mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là
tìm hiểu về một mô hình bài toán Motz, đây là mô hình bài toán elliptic cấp
hai có chứa 1 điểm kỳ dị mẫu mực, thường sử dụng để test các phương pháp
xấp xỉ trên thế giới, nghiên cứu cơ sở của phương pháp khai triển tìm nghiệm
xấp xỉ của bài toán Motz, đồng thời nghiên cứu cơ sở của phương pháp lặp


7

chuyển bài toán Motz về hai bài toán elliptic cấp hai, sử dụng phương pháp
sai phân để xác định nghiệm của bài toán gốc. So sánh kết quả thực nghiệm
của hai phương pháp. Các kết quả thực nghiệm được thực hiện trên máy tính
điện tử.
Nội dung chính của luận văn là tiến hành tìm hiểu nghiên cứu cơ sở lý
thuyết của các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên elliptic cấp
hai trong miền phức tạp hoặc điều kiện biên phức tạp, đặc biệt bằng phương
pháp xác định nghiệm xấp xỉ thông qua các hệ hàm mẫu dạng tọa độ cực xung
quanh các điểm kỳ dị, so sánh với phương pháp chia miền và lập trình tính
toán thử nghiệm trên nền ngôn ngữ Matlab. Luận văn cấu trúc gồm 3 chương:
Chương 1: Đưa ra một số kiến thức cơ bản về không gian hàm và lý
thuyết về phương trình elliptic, lý thuyết về các sơ đồ lặp. Cơ sở phương pháp

Giả sử W là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều ¡

n

và

W là bao đóng của W. Ta kí hiệu C k (W), (k = 0,1, 2...) là tập các hàm có
đạo hàm đến cấp k kể cả k trong W, liên tục trong W. Ta đưa vào C

k

(W)

chuẩn

u

(

C

k

(W)

Trong đó a = a 1, a 2 ,..., a n

=

å

Sự hội tụ theo chuẩn đã cho là sự hội tụ đều trong W của các hàm và tất cả
đạo hàm của chúng đến cấp k . Rõ ràng tập C
không gian Banach.

k

(W) với chuẩn đã cho là


9

1.1.2 Khụng gian L

p

(W)

Gi s W l mt min trong Ă

n

v p l mt s thc dng. Ta kớ hiu

Lp (W) l lp cỏc hm o c f xỏc nh trờn W sao cho:

ũ f (x )

p

dx < Ơ

f (x ) + g (x )

p

)

p
pử
ổ
Ê 2p ỗỗ f (x ) + g (x ) ữ
ữ
ữ,
ố
ứ

(W) l mt khụng gian vect.

(W) phim hm

. c xỏc nh bi:
p

1

u
1.1.3 Khụng gian W

1, p

p



10

1.1.3.2 Định nghĩa
Cho W là một miền trong ¡

n

() ()

. Giả sử u x , v x là hai hàm khả tích

địa phương trong W sao cho ta có hệ thức:

ò u ¶x
W

()

¶ kj
k1
1

k

...¶ x

kn
n


k

¶ x 1 1 ...¶ x nn

()

được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u x .

Kí hiệu:

v (x ) =

¶ ku
k1
1

¶ x ...¶ x

kn
n

.

1.1.3.3 Định nghĩa
Giả sử p là một số thực, 1 £ p < ¥ , W là một miền trong ¡
Không gian Sobolev W

1, p


¶ xi
î
þ
1

n

.


11

1

( )

1.1.4 Không gian H 0 W và khái niệm vết của hàm
1.1.4.1 Định nghĩa
Với bất kì 1 £ p < ¥ , không gian Sobolev W0

1, p

(W) được định nghĩa

( )

như các bao đóng của D W (không gian các hàm khả vi vô hạn có giá
compact trong W) tương ứng với chuẩn của W

1, p

(

)

´ R +* Ç C 0 R n - 1 ´ R + , ta có g (u ) = u |R n - 1 .

ii) Giả sử W là một tập mở trong R

n

sao cho ¶ W là liên tục Lipschitz

thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục:

g : H 1 (W) ® L2 (¶ W),
sao cho với bất kì u Î H

1

(W) Ç C (W) ta có g (u ) =
0

u |¶ W. Hàm g (u )

được gọi là vết của u trên ¶ W.
1.1.4.3 Định nghĩa
Giả sử biên ¶ W là liên tục Lipschitz, không gian H
miền giá trị của ánh xạ vết g , tức là:

H


- 1

'

(

)

H - 1 (W) = H 01 (W) ,
với chuẩn:

F,u
F
Trong đó F , u

H-

1

H-

1

(W)

(W),H 01(W)

=


H

-

1

'

(¶ W) = (H (¶ W)) ,
1

2

2

với chuẩn tương ứng
1.2 Phương trình elliptic
Giả sử WÎ ¡

n

là miền giới nội với biên ¶ W= G . Xét phương trình

()

đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2m của ẩn hàm u x , x Î W

Au =

å

()

trong đó B i u , i = 0,1,..., m - 1 là các toán tử biên.
1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình
Xét phương trình:

- Vu = f .
Giả sử u Î C

2

(W), f

(1.2)

Î C (W) và phương trình (1.2) thỏa mãn trong

( ) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.2).

miền W. Khi đó, u x

( )

¥

Lấy hàm j bất kì thuộc D W = C 0

(W) nhân với hai vế của (1.2) rồi lấy

tích phân ta được:

ò Ñ u Ñ fdx = ò f j dx .
W

W

Như vậy, nếu u là nghiệm của phương trình (1.2) thì có (1.4). Nhưng

( )

nếu f Î C W thì phương trình (1.2) không có nghiệm cổ điển. Vậy ta cần

( )

mở rộng khái niệm khi f Î L W .
2


14

1.2.1.1 Định nghĩa
Giả sử u Î H

1

(W), f

Î L2 (W), u được gọi là nghiệm yếu của phương

trình (1.1) nếu (1.3) được thỏa mãn.
1.2.1.2 Mệnh đề

1

(W), có vết bằng j

(1.6)
và:

ò Ñ u Ñ vdx = ò fvdx , " v Î
W

H 01 (W).

(1.7)

W

1.2.2.2 Nhận xét
+ Nghiệm yếu của bài toán (1.5) là nghiệm yếu của phương trình - Vu = f ,
vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm u Î H
¥

thỏa mãn (1.7) với mọi v Î C 0

(W) Ì

1

(W)

H 01 (W).


ta được:

-

ò vVudx = ò vfdx .
W

(1.9)

W

Áp dụng công thức Green vào (1.9) ta có:

-

òv
¶W

¶ Du
dS +
¶n

Kết hợp với (1.8) ta suy ra:

ò Ñ u Ñ vdx = ò vfdx .
W

W


lược đồ lặp (1.12) cho ta xấp xỉ các nghiệm y của phương trình (1.11) với bất
kì toán tử B k và cách chọn tham số qk + 1 . Nếu B k = E thì lược đồ lặp
(1.11) được gọi là lược đồ lặp hiện.


17

yk + 1 - yk
qk + 1

+ Ay = f , k = 0,1, 2,...

(1.13)

k

trong trường hợp qk = q là hằng số thì lược đồ lặp (1.13) còn gọi là lược đồ
lặp đơn giản. Nếu B k ¹ E thì lược đồ lặp (1.11) được gọi là lược đồ ẩn.
1.3.2 Lược đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phương pháp lặp
Lược đồ lặp (1.12) với toán tử B k = B , tham số qk + 1 = q không đổi

(k =

0,1, 2,...) còn được gọi là lược đồ lặp dừng, có dạng:

B

yk + 1 - yk
q


18

Mỗi điểm (x i , y j ) gọi là một nút lưới ký hiệu là nút (i,j). Tập tất cả các nút
trong ký hiệu là Whk . Nút ở trên biên G gọi là nút biên, tập tất cả các nút biên
kí hiệu là Ghk , tập Whk = Whk È Ghk gọi là một lưới sai phân trên W.
Hàm lưới: Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm
lưới, giá trị của hàm lưới u(x,y) tại nút lưới (i,j) viết tắt là u i , j . Mỗi hàm u(i,j)
xác định tại mọi (x , y ) Î W tạo ra hàm lưới u xác định bởi u i , j .
Bài toán sai phân: Kí hiệu Lu = f là các hàm số hai biến x, y có các
đạo hàm riêng đến cấp m liên tục trong W= WÈ G. Giả sử bài toán có
nghiệm u Î C (W) , khi đó:
4

¶ 4u
max ( x ,y )Î W |
(x , y ) |£ C 1 = const ,
¶x4

¶ 4u
max ( x ,y )Î W |
(x , y ) |£ C 2 = const .
¶y4
Do đó theo công thức Taylor ta có:

u (x i + 1, y j ) = u (x i ) + h, y j

¶ u h 2 ¶ 2u h 3 ¶ 3u
= u (x i , y j ) - h
+
+ O (h 4 ),

3
¶y
2! ¶ y
3! ¶ y


19

u (x i , y j - 1 ) = u (x i , y j - k ) 00.
Do đó:

u (x i , y j + 1 ) - 2u (x i , y j ) + u (x i , y j - 1 )
k2

¶ 2u
2
=
+
O
(
k
).
¶y2

Vậy ta có:

u (x i + 1, y j ) - 2u (x i , y j ) + u (x i - 1, y j )
2

h

2

2

Số hạng O (h + k ) là một vô cùng bé bậc hai. Ta nói toán tử D kh
xấp xỉ toán tử D , điều đó cho phép thay phương trình vi phân bằng phương
trình sai phân:

D hk u = fij ,

fij = f (x i , y j ),

(x i , y j ) Î Whk ,

tức là:

u i + 1, j - 2u i , j + u i - 1 j
h2

+

u i , j + 1 - 2u i , j + u i , j - 1
k2

= f (x i , y j ),(x i , y j ) Î Whk , (1.18)

đồng thời thay điều kiện biên bằng điều kiện:

u ij = g(x i , y j ),


¶ x 22
1
ïï
l u = j (x ),
x Î ¶ W,
ïïî

(1.20)

trong đó f Î L (W); j Î L ( G).
2

2

1.5.1 Bài toán biên Dirichlet
Xét trường hợp khi toán tử lu = u tức là điều kiện biên dạng Dirichlet,

k1, k2 , c là các hằng số, W là hình chữ nhật có kích thước hai cạnh là L1, L2.

(

Xuất phát từ phương pháp lưới chia miền W thành M ´ N

) điểm lưới,

n
trong đó N = 2 , n > 0 . Kí hiệu h1 = L1 / M , h2 = L2 / M là các bước

lưới, j là véc tơ hàm vế phải của phương trình. Từ phương pháp sai phân với



éd - r 0 ... 0
0
0 ùú
ê
ê- r d - r ... 0
0
0 úú
ê
ê 0 - r d ... 0
0
0 úú
ê
C = êê M M M M M M Múú,
ê0
0
0 ... d - r 0 úú
ê
ê
ú
0
0 ... - r d - r ú
ê0
ê
ú
0
0 ... 0 - r d ú
êë 0
û


Fj = ê
M
ú
ê
ú
2
ê h2
ú
j M - 2, j
ê
ú
ê k2
ú
ê2
ú
êh2
ú
ê j M - 1, j + rgM , j ú
êëk2
úû

d = 2 (r + 1) + c

h22
k2

.


22


2

Từ phương pháp sai phân với độ chính xác O h1 + h2

) chuyển bài toán vi

phân (1.25) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình véc tơ ba
điểm

- Y j - 1 + CY j - Y j + 1 = Fj ;Y 0 = F0, - 2Y N - 1 + CY N = FN ; j = 1, N - 1,

(

)

trong đó Yj là các véc tơ nghiệm, F j là các véc tơ cấp M - 1 ,C là ma trận

(

) (

)

hệ số cấp M - 1 ´ M - 1 được xác định như sau:

Y j = (u 1, j , u 2, j ,..., u M - 1, j ), j = 0, N

(


ỗỗ
ữữ ờ 0 0 0
2
ỗỗ h2
ờ
j M - 2,N + 2h2b4 (M - 2) ữữữ ờ
ỗỗ
ữữ ờ 0 0 0
ỗỗ k2
ữữ ờ
2
ỗỗh
ữữ ờ 0 0 0
ỗỗ 2 j
ữữ ở
+
2
h
b
M
1
+
rb
N
(
)
(
)
2 4
2

ờ
ỳ
0 0 ỳỳ
h2
ờ
ỳ
j 2, j
ờ
ỳ
0 0 ỳỳ
k2
ờ
ỳ
ỳ,
M Mỳỳ, Fj = ờờ
M
ỳ
ờ
ỳ
2
- r 0 ỳỳ
ờ h2
ỳ
j M - 2, j ỳ
ỳ
ờ
d - rỳ
ờ k2
ỳ
ỳ

thut toỏn thu gn.
Hm v0001(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p2,q1,q2) tr li
ma trn nghim xp x ca bi toỏn (1.59) t ta (p1,q1) n (p2,q2). Trong
trng hp khi iu kin biờn trờn mt trong cỏc cnh cũn li l dng
Neumann, s dng phng phỏp bin i ta trờn c s ca hm chun
RC0001() xõy dng cỏc hm v0010(),v0100(),v1000() tr li nghim
bng s ca cỏc bi toỏn tng ng.


24

Trng hp 2: iu kin biờn trờn cnh phi v cnh trờn ca hỡnh ch nht

(

2

2

l dng Neumann. Vi chớnh xỏc O h1 + h2

) chuyn bi toỏn vi phõn

(1.26) v bi toỏn sai phõn tng ng vi h phng trỡnh vec t ba im

- Y j - 1 + CY j - Y j + 1 = Fj ;Y 0 = F0 ; - 2Y N - 1 + CY N = FN ; j = 1, N
trong ú Yj l cỏc vec t nghim, Fj l cỏc vec t cp (M), C l ma trn h s

( ) ( )


ữữ ờ
ỗỗ 2
ữữ ờ 0 0 0 ...
ỗỗ h2
ờ
j M - 1,N + 2h2b4 (M - 1) ữữữ ờ
ỗỗ
ữữ ờ 0 0 0 ...
ỗỗ k2
ữữ ờ
ỗỗh 2
ỗỗ 2 j + 2h b (M ) + 2rh b (N )ữữữ ờở 0 0 0 ...
12
ữữ
ỗốk M ,N 2 4
ứ
2
j = 1,2,..., N - 1.

0
0
0
M
d
-r
0

ộ h2
ự
ờ 2 j + rb j ỳ

ỳ ờ
d - r ỳ ờ k2
ỳ
ỳ ờ2
ỳ
- r d ỳ ờh2
ỷ ờ j + 2rh b (j )ỳỳ
M ,j
12
ờởk2
ỳỷ

Trờn c s ca thut toỏn th hai ỏp dng trong trng hp ó bit vec t F0,
tin hnh ci t gii h phng trỡnh vec t ba im.
Thit k hm RC0002(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,N,M,n) thc hin
thut toỏn thu gn.