a. mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
- Hai yếu tố đã góp phần đổi mới phơng pháp giảng dạy nói chung và phơng
pháp giảng dạy mon toán cấp THCS nói riêng, muốn thực hiện đợc điều đó thì vi trò
của ngời thầy hết sức quan trọng. Để góp phần vào công cuộc đổi mới phơng pháp
giảng dạy thì bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều về việc truyền thụ kiến thức cho học
sinh, không chỉ những kiến thức trong SGK mà còn phải làm sao đó từ những kiến
thức cơ bản ấy phát triển và tìm ra những kiến thức mới giúp HS lĩnh hội một cách
chủ động và có hệ thống.
- Trong chơng trình toán phổ thông cấp THCS nhiều mảng kiến thức trong SGK
đề cập đến rất ít nhng trong quá trình học lại gặp rất nhiều, ngay những em HS nắm
rất vững kiến thức SGK nhng khi gặp dạng toán này cũng lúng túng vì vậy với
phạm vi đề tài này tôi muốn đề cập đến một vấn đề mà không ít chúng ta - những
ngời thầy đang trăn trở và băn khoăn, đó là dạng toán Tìm cực trị . Thật vậy
trong chơng trình toán phổ thông dạng kiến thức về cực trị là một trong những
mảng kiến thức khó mà ứng dụng của nó lai khá rộng rãi nó không những có mặt
trong phân môn đại số mà còn đóng góp một vai trò quan trọng trong phân môn
hình học, nó không chỉ dừng ở chơng trình THCS mà còn là một phần quan trọng
trong chơng trình THPT. Vì vậy dạng toán cực trị là phần gây cho HS ngay cả HS
giỏi nhiều bối rối tuy nhiên đây cũng là phần quyến rũ HS say mê môn toán và học
giỏi toán vì nó đòi hỏi phải t duy, tìm tòi sáng tạo.
- Để giải đợc một bài toán cực trị cấp THCS yêu cầu phải nắm vững đợc các kiến
thức cơ bản phổ thông phải biến đổi thành thạo các biểu thức đại số và sử dụng khá
nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp và điều đặc biệt là thông qua các bài
tập cực trị hHS có thể vận dụng linh hoạt vào các loại toán khác nh giải phơng trình,
hệ phơng trình, bất đẳng thức, chứng minh một yếu tố hình học
Tóm lại: Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức , đọc nhiều tài liệu và qua
những năm dạy toán ở trờng THCS , tôi đã rút ra đợc vài kinh nghiệm . tôi mạnh
dạn lấy đề tài nghiên cứu tựa đề là: Một số ph ơng pháp tìm cực trị trong trờng
phổ thông cấp THCS .
1

) = M. kí hiệu là max f(x) = M
b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồng
thời hai điều kiện sau:
1
o
. f(x) m với x D
2
o
. Tồn tại x
0
D sao cho f(x
0
) = m.
2. Các b ớc cơ bản tiến hành giải toán cực trị
- B ớc 1 : Chứng minh bất đẳng thức:
f(x) m (hoặc f(x) M) với x D.
2
- B ớc 2: Chỉ ra giá trị x
0
D để:
f(x
0
) = m f(x
0
) = M)
- B ớc 3 Kết luận: Với giá trị x
0
D thì f(x) đạt:

MxMaxf

A 0 x nhng không thể kết luận đợc Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời
hai BĐT (1) và (2).
Ta có: f(x) = x
2
- 2x + 1 + x
2
-6x + 9 = 2 ( x
2
- 4x + 2 ) = 2 ( x - 2 )
2
+ 2 2
Vậy Min A = 2 x - 2 = 0 x = 2
2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên
C . Phơng pháp cơ bản và ví dụ
Ph ơng pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức
1.1. Nội dung ph ơng pháp
+ Dùng bất đẳng thức đã biết vào chứng minh
f(x) m (hoặc f(x) M) với x D
+ Chỉ ra sự tồn tại x
0
D để "bất đẳng thức" trở thành "đẳng thức" (dấu "="
xảy ra).
1.2. Kiến thức bổ sung
a) Bất đẳng thức cô si
+ Với a,b > 0, a,b D thì
ab
ba

+
2

+ Nếu a
1
, a
2
, , a
n
và b
1
, b
2
, , b
n
là 2n số tuỳ ý thì:
( )( )
( )
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
1

nnnn
babababbbaaa +++++++++
Dấu "=" xảy ra
n

n
D thì
nn
aaaaaa ++++++
2121
Dấu bằng xảy ra khi đôi một cùng dấu.
*.
baba
dấu bằng xảy ra khi a.b 0
d) Với a b > 0 thì
ba
11

dấu bằng xảy ra khi a = b.
e)
2+
a
b
b
a
( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b.
1.3. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x,y,z) = x
4
+ y
4
+ z
4
xét trên miền D ={(x,y,z) : xy +yz +zx = 4}

+ y
4
+z
4
) ( x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
(2)
Từ (1) và (2)

f(x,y,z) > 16/3

(x,.y,z)

D
4
Mặt khác f (
3
2
,
3
2
,
3
2


y
y 2

+

z
z 3
áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 và x - 1 ta có:

( )
22
11
1.1
xx
x =
+


Tơng tự :
22
2
22
.
2
1
2
2
1
2



A
32
1
22
1
2
1
++
Dấu "=" xảy ra





=
=
=

6
4
2
z
y
x

Max A =
32
1

thoả mãn
2005
200421
=+++ xxx
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E =
1 11
200421
+++ xxx
Giải: a) áp dụng bất đẳng thức
baba ++
dấu "=" xảy ra khi a.b 0
Ta có D =
11212 =++ xxxx
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x-2)(1-x) 0 1 x 2
5
Vậy Min D = 1 khi 1 x 2
b) Vận dụng bất đẳng thức
baba
Dấu "=" xảy ra khi ab 0. Ta có:
11
11
xx
11
22
xx

11
20042004
xx

Ví dụ 3 : Với x , y , z , t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của
A =
t
xzy
z
txy
y
xzt
x
tzy
xzy
t
txy
z
xzt
y
tzy
x ++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++
+
++

xtzy
tzyx
Điều này hoàn toàn không xảy ra vì A không tồn tại với x = y = z = t = 0
Đây là những sai lầm thờng gặp mà nhiệm vụ của ngời thầy là phải chỉ ra đợc
những sai lầm để các em rút kinh nghiệm khi giải toán cực trị
1.4. Bài tập vận dụng
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
6
A =
)11(2)11(2 ++++++ xxxx
2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
f(x,y,z) = xyz(x+y ) (y+z) (z+x) xét trên miền
D =
{ }
1,0,0,0:),,( =++>>> zyxzyxxyx
3) Tìm giá trị bé nhất của hàm số :
f(x,y,z) = ( 1+
x
1
) ( 1+
y
1
) ( 1+
z
1
) Xét trên miền.
D =
{ }
1;0,0,0:),,( =++>>> zyxzyxzyx
Ph ơng pháp 2

+m m và
-B
2k
+ M M bằng các phép biến đổi đại số

2.3 : các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 3x
2
+ 6x - 5
Giải: Ta có A = 3 ( x
2
+ 2x + 1 ) - 8 = 3 (x + 1 )
2
- 8 - 8
Dấu bằng xảy ra x + 1 = 0 x = - 1
Vậy Min A = - 8 x = - 1
Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 5x
2
- 4x + 1
Giải : A = -5 ( x
2
+ 4/5 x ) + 1 = -5 ( x
2
+ 4/5x + 4/25 ) + 9/5
( x
2
+ 2/5 )
2
+9/5 9/5
Dấu = xảy ra

Có thể các em sẽ ngỡ ngàng và lúng túng trong việc giải . Tuy nhiên có thể gọi
phơng pháp giải là tìm cách đa về dạng ax
2
+ bx + c bằng cách đổi biến số , cụ thể
cách làm nh sau :
C =
22
2
)1(
1
1
2
3
)1(
1)1(2)12(3

+

=

++
xxx
xxx
Đặt y =
1
1
x
(y

0 )

-
4
3
Đẳng thức xảy ra x =
2
1
và y =
2
x
=
4
1
min f(x,y) = -
4
3








=
=
4
1
2
1
y

-
4
9
-
4
9

8
Đẳng thức xảy ra x = -
2
1
min f(x,y) = -
4
9








=
=
4
1
2
1
y
x

Hoặc với bài:
Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của:
M = x +
x
M = x +
x
= ( x +
x
+
4
1
) -
4
1
= (
x
+
2
1
)
2
-
4
1
-
4
1
Vậy min M = -
4
1

A =
2
2
95
x
xx ++
B =
2
2
)1(
952
+
+
x
xx

Ph ơng pháp 3 :
Phơng pháp miền giá trị hàm số
3.1 . Nội dung ph ơng pháp.
9
Với bài toán tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) nếu x

D gọi y
0
là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho. Điều đó có nghĩa hệ phơng
trình sau đây với ẩn x có nghiệm.





++
xx
xx
với x

R.
Giải
Gọi y
0
là giá trị tuỳ ý của hàm số . Vậy phơng trình sau đây ( ẩn x ) có nghiệm.
123
3102
2
2
++
++
xx
xx
= y
0
(1)
Do 3x
2
+2x + 1 > 0

x

R
(1) 2x
2


x

R
10
* Nếu 3y
0
- 2

0 y
0



3
2
thì (2) là phơng trình bậc 2 đối với ẩn x Do đó (2)
có nghiệm nếu:


= - 2y
0
+ 19y
0
- 35 0.

2
5
y
0

2
+ 4x
2
y
2
- x
2
- y
2
= 0
Giải: Gọi t
0
là một giá trị bất kì của hàm số f(x,y) trên miền D . Điều đó
chứng tỏ phơng trình ẩn (x,y) sau có nghiệm:






=++
=+
)()(
)(
`
2041
1
2222222
0
22

)(
40413
3
2
0
2
0
22
xtt
tyx
Để (4) ẩn x có nghiệm thì:
t
2
- 3t
0
+ 1

0


2
53
2
53
0
+


t
(5)

+ t
0
+ 1 > 0

t
0


với điều kiện (5) thì (6) có nghiệm.
Nghĩa là (5) là điều kiện để hệ (3), (4) tức là hệ (1) , (2) có nghiệm.


Max(x,y) =
2
53 +
, Min(x,y) =
2
53
11
Tuy nhiên bài toán này ta có thể vận dụng bất đẳng thức để giải. Nhng với
phơng pháp này chúng ta có thể vận dụng để giải đợc nhiều bài và học sinh có thể
máy móc nhớ đợc phơng pháp giải.

Ph ơng pháp 4
Phơng pháp đồ thị và hình học
4.1 Nội dung ph ơng pháp
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) x D
- Xét các điểm cực đại hoặc cực tiểu trên D từ đó suy ra cực trị của biểu thức:
Max f(x) = y
cực đại

Với x R
Ta có: K =
2
22
2
3
2
1
2
3
2
1
2








+






+


(








+






+








+





3
+ 1
2
= 4 => AB = 2
Vậy khi đó dấu bằng xảy ra khi A, B, C thẳng hàng
hay x = 0 (C trùng O(0,0))
Vậy Min K = 2 khi x = 0
. Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của D =
22 + yx
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
D = y =





<

<+
)(232
)(211
)(132
3
2
1
dxx
dx
dxx
13
y

f(x,y,z ) = x( 1 - y) + y( 1 - z) + z( 1- x) xét trên miền
D =
{
(x,y,z) ; 0

x

1 ; 0

y

1 ; 0

z

1
}
Giải
Với bài toán này dùng các phơng pháp 1; 2; 3 không phải là khó , tuy nhiên
nếu sử dụng phơng pháp hình học sẽ vừa nhanh vừa hiệu quả.
Vẽ tam giác đều ABC cạnh bằng 1 khi đó
S
ABC
=
4
3
(1)
Đặt trên các cạnh AB , BC , AC các đoạn
AM = x , BN = z , CP = y( có thể M


)
(d
3
)
1
1
2
x
2
1
-3
O
Hình 1
S
AMP
=
4
31 )( yx
; S
BNM
=
4
31 )( xz
và S
NPC
=
4
31 )( zy
Mà ta lại có : S
AMP

Bài toán cực trị Phần hình học
I. một số kiến thức cơ bản.
1. Cực trị trong hình học là gì?
Một số bài toán hình học mà trong đó các hình đợc nêu ra có cùng một tính
chất và đòi hỏi ta tìm đợc hình sao cho có một đại lợng nào đó (số đo góc, độ dài
đoạn thẳng, số đo chu vi, số đo diện tích ) đạt giá trị lớn nhất (GTLN) hay ghi là
(max) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) hay là ghi (min) đợc gọi là bài toán cực trị
hình học.
1) Lời giải của bài toán cực trị thờng đợc trình bày theo hai cách:
Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lợng cần tìm cực trị
lớn hơn đại lợng tơng ứng của mọi hình khác (nếu bài toán tìm GTLN) và nhỏ hơn
đại lợng tơng ứng của hình khác (nếu bài toán tìm GTNN).
Cách 2: Thay đại lợng cần tìm cực thành một đại lợng khác tơng đơng (nếu đ-
ợc) rồi từ đó tìm kiến thức tìm GTLN, GTNN của A. (A là một đại lợng nào đó nh
góc, đoạn thẳng, )
a) - Ta chứng minh đợc A m (m không đổi)
- Có một hình sao cho A = m thì GTNN của A là m
b) Ta chứng minh đợc A t (t không đổi)
15
- Có một hình sao cho A = t thì GTLN của A là t
- Từ đó ta xác định đợc vị trí của các điểm để đạt đợc cực trị.
Chú ý : Thờng trình bày cực trị theo 2 cách:
II. Phân loại bài tập và ví dụ minh hoạ :
1) Tìm cực trị dùng bất đẳng thức trong tam giác

1.1. Kiến thức cơ sở:

- Với 3 điểm A,B ,C bất kỳ ta có :
BCAC
AB AC + BC

1
A
2
, , A
n
thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó.
12. Các ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1 : Cho đờng tròn (0; R) , A và B là hai điểm cố định nằm ngoài đờng tròn
. M là điểm cố định trên đờng tròn (0) .
Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác MAB có giá trị :
a) Lớn nhất b) nhỏ nhất
Giải
Vẽ đờng thẳng d qua 0 và AB tại K
d cắt đờng tròn ( 0 ) tại C và D
Hạ AH AB
S
MAB
=
2
.ABMH

a) Ta có MH MK
Xét 3 điểm M,O ,K ta có
MK OM + OK
MK OC + OK MH CK
S
MAB

2
.ABCK

Và M

K M

D
Ví dụ 2: Cho đờng tròn (O;R); A là điểm cố định trong đờng tròn
(A O). Xác định vị trí của điểm B trên đờng tròn O sao cho góc OBA lớn
nhất.
Giải:
Giả sử có B (O). Vẽ dây BC của đờng tròn (O) qua A ta có OB = OC = R
=> OBC cân tại O => góc OBC =
2
180
0
COB
Nên góc OBA
max


góc COB
min
.
Trong COB có CO = OB = R không đổi
=> COB
min


BC
min
= OH

Vậy min (AM + MB + MC + MD) = AC + BD M O

1.3. Bài tập vận dụng:
17
O
C
B
H
A
O
M
D
A
C
B
Bài 1: Cho góc vuông xOy; điểm A thuộc miền trong của góc. Các diểm M,
N theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox,Oy sao cho góc MAB = 90
0
. Xác định vị
trí của M, N để MN có độ dài nhỏ nhất.
Bài 2: Cho 2 đờng tròn ở ngoài nhau (O;R) và (O';R'). A nằm trên (O), B nằm
trên (O'). Xác định vị trí của điểm A,B để đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất.
2 / Tìm cực trị dùng quan hệ giữa đ ờng vuông góc với đ ờng
xiên
. 2.1. Kiến thức cơ sở
Ta có AH d; A d; B,C d
*.AB AH, dấu "=" xảy ra B H
*.AB AC BH HC
2.2. Các ví dụ áp dụng
Ví dụ1:: Cho ABC (Â = 90

A
A
H
M
E
Từ tâm (O) kẻ OH d, OH cắt đờng tròn (O) tại K. Xét ba điểm A. B. O ta có
AB + OB OA mà OA OH (quan hệ đờng xiên và đờng vuông góc).
=> AB OH - OB = HK không đổi
Vậy min AB = KH





KB
HA
2.3.Bài tập vận dụng:
Bài 1: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tơng ứng hai điểm M và
N sao cho Bạch Mã = CN. Tìm vị trí của M để MN có giá trị lớn nhất.
Bài 2: Cho nửa đờng tron (O;R) đờng kính AB.M là một điểm trên nửa đờng
tròn, kẻ MH HB. Xác định vị trí của M để:
a) S
ABC
lớn nhất
b) Chu vi của MAB lớn nhất.
3. Tìm cực trị vận dụng bất đẳng thức trong đờng tròn.
3.1 Kiến thức cơ sở:
+ Trong một đờng tròn: đờng kính là dây cung lớn nhất.
+ Dây cung lớn hơn dây đó gần tâm hơn.
+ Cung lớn hơn dây trơng cung lớn hơn

Giải:
Ta xét M cung BC. Trên MA lấy D sao cho MB = MD. Ta chứng minh đợc:
BMD là tam giác đều.
=>
32

BB +
= 60
2
Mà
21

BB +
= 60
0
=>
31

BB =
Chứng minh cho BAD = BCM (gcg)
=> AD = MC
=> MA + MB + MC = MA + MD + DA = 2MA
Mà MA là dây cung của đờng tròn (O;R) => MA = 2R
=> max (MA + MB + MC) = 2.2R = 4R MA là đờng kính của đờng tròn
(O) M là điểm chính giữa của cung BC.
Tơng tự ta xét M thuộc cung AB và M thuộc cung AC => M là điểm chính
giữa cung AB hoặc cung AC thì MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất.
3.4.Bài tập vận dụng:
Bài 1: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tơng ứng hai điểm M và
N sao cho BM = CN. Tìm vị trí của M để MN có giá trị lớn nhất.

= = a
n
20
D
O
B
C
A
M
+ Bất đẳng thức Bunhiacôpski
(ax + by)
)).((
2222
yxba ++
. Dấu "=" xảy ra
y
b
x
a
=
.
+ Và một số bất đẳng thức quen thuộc khác.
4.2. Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1 Cho đờng tròn (0; R) , đờng kính AB , M là điểm chuyển động trên
đờng tròn . Xác định vị trí của M trên đờng tròn
để MA +
3
MB đạt giá trị lớn nhất
Giải :
Ta có : AMB = 90

tg =
3=
MA
MB
= tg60
0
MÂB = 60
0
nên max(MA +
3
.MB) = 4R MÂB = 60
0
Ví dụ 2 : Cho đoạn thẳng AB , điểm M di chuyển trên đoạn ấy .Vẽ các đờng
tròn đờng kính MA , MB .Xác định vị trí của M để tổng diện tích của hai hình tròn
có giá trị nhỏ nhất .
Giải
21
A B
M
A
M
BO
O
/
Đặt MA =x , MB = y , ta có : x + y = AB ( 0 < x< y < AB )
Gọi S và Sthứ tự là diện tích của 2 hình tròn có đờng kính là MA và MB
Ta có : S + S =
4
.
22

( )
8
2
yx +
=
8
.
2
AB

Dấu "=" xảy ra x = y Vậy Min (S + S ) =
8
.
2
AB

M là trung điểm của AB
Ví dụ 3 : Cho ABC có BC = a , AC = b , AB = c Tìm điểm M nằm bên trong tam
giác ABC sao cho
z
c
y
b
x
a
++
có giá trị nhỏ nhất . Trong đó x,y,z là khoảng cách từ
M đến BC , AC , AB
Giải
Vậy

x
a
ax
==
x = y = z ABC là tam giác đều
4.3. Các bài tập áp dụng :
Bài 1: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trên hai cạnh AB và
AD lần lợt lấy 2 điểm M, N sao cho chu AMN = 2a. Tìm vị trí của M và N để
S
AMN
lớn nhất.
22
B
A
C
a
c
b
x
z
M
Bài 2: Cho ABC ngoại tiếp đờng tròn (O;r). Kẻ các tiếp tuyến của đờng tròn
(O;r) song song với các cạnh của tam giác. Các tiếp tuyến này tạo với các cạnh của
tam giác thành 3 tam giác nhỏ có diện tích là S
1
, S
2
, S
3
. Gọi S là diện tích của tam

thấy kết quả tiếp thu về toán cực trị nh sau:
23
Điểm dới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10
SL % SL % SL % SL %
b ). Nguyên nhân của thực tế trên:
Đây là dạng toán tơng đối mới lạ và khó với học sinh, học sinh cha đợc
trang bị các phơng pháp giải , nên việc suy luận còn hạn chế và nhiều khi không
có lối thoát dẫn đến kết quả rất thấp và đặc biệt đối với học sinh trung bình các
em càng khó giải quyết.
4. Kết quả sau khi áp dụng đề tài
Điểm dới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10
SL % SL % SL % SL %
Nhận xét: Sau khi áp dụng đề tài tôi thấy rằng chất lợng qua kiểm tra đã
đợc nâng lên đáng kể, đặc biệt là đối tợng HS trung bình chất lợng đợc nâng lên
rõ rệt.
5. Kết luận.
- Việc nghiên cứu triển khai phơng pháp Tìm cực trị nói riêng và phần
nói chung theo định hớng bồi dỡng học sinh giỏi, trớc hết là có thể làm đợc.
Việc áp dụng cách làm trên trong điều kiện hiện nay là khả thi, nếu ngời thầy
luôn thờng xuyên đầu t thoả đáng. trớc hết là khâu chuẩn bị tài liệu và nắm vững
một lợng kiến thức lớn, vì loại toán này thực sự là một chuyên đề chúng ta cần
quan tâm đến nhiều, nó thực sự đa dạng phong phú đề cập đến nhiều kiến thức
trong trờng Phổ thông, nó có tính tổng hợp cần phải vận dụng nhiều đơn vị kiến
thức cùng một lúc vào giải quyết một vấn đề.
Trên đây là một số phơng pháp giải toán về cực trị mà tôi đã áp dụng
giảng dạy trên thực tế hiện nay ở trờng THCS cho học sinh đại trà cũng nh trong
quá trình ôn luyện ,bồi dỡng học sinh giỏi .Tôi cùng các đồng nghiệp đã thu đợc
kết quả sau :
24
+ Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn,hứng thú tích cực trong học

III/ Tiến trình lên lớp.
25