Sở giáo dục và đào tạo hảI dơng
Kinh nghiệm
một số phơng pháp
tìm cực trị
Môn Toán
Năm 2005 2006
1
Phòng giáo dục cẩm giàng
trờng t.h.c.s cẩm Định

Kinh nghiệm
một số phơng pháp
tìm cực trị
Môn Toán
Họ và tên: Nguyễn Thị Thuý
đánh giá của nhà trờng
(Nhận xét, xếp loại)
2
Số phách
Kinh nghiệm
một số phơng pháp
tìm cực trị
Môn Toán
đánh giá của phòng giáo dục & đào tạo
(Nhận xét, xếp loại)
Tên tác giả :
Đơn vị :
phần I : đặt vấn đề
3
Số phách
I. cơ sở lý thuyết.

- Su tầm tài liệu, đọc, nghiên cứu để hệ thống hoá kiến thức, hệ thống
các dạng bài tập về cực trị.
- Tìm hiểu sâu về các bài toán cực trị trong nội dung chơng trình toán
ở bậc trung học cơ sở.
- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị.
- Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các
phơng pháp chính giải từng dạng bài tập cực trị.
- Dự đoán đợc một số sai sót của học sinh có thể mắc phải và nêu đợc
những điểm cần chú ý khi giải các bài toán cực trị.
2. Đối với học sinh.
- Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của
bài toán cực trị.
- Có kĩ năng nhận dạng đợc từng loại toán cực trị, vận dụng linh
hoạt và sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị vào từng bài tập
cụ thể từ đơn giản đến phức tạp.
- Thấy đợc những ứng dụng của toán cực trị trong thực tế.
Phần II : Nội dung
5
A. Một số dạng toán cực trị trong đại số.
I. Định nghĩa và chú ý.
1. Cho biểu thức f(x).
- Giá trị M đợc gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x) nếu thoả
mãn hai điều kiện :
+Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) M (M là hằng số) (1)
+ Tồn tại x
0
sao cho f(x
0
) = M (2)
- Giá trị m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) nếu thoả

0 x Dấu = xảy ra

x = 0
Mở rộng : [f(x)]
2n
0 , x R , n Z. Khi đó ta có
[f(x)]
2n
+ M M ; -[f (x)]
2n
+ m m. Dấu = xảy ra

f(x) = 0
2. a/ x 0 Dấu = xảy ra

x = 0
6
b/ x + y x + y Dấu = xảy ra

x, y cùng dấu
c/ x - y x - y Dấu = xảy ra

x, y cùng dấu vàx >y
3. a/ a
2
+ b
2
2ab , a, b. Dấu = xảy ra

a = b


a = b = c.
c/ Tổng quát : Cho n số không âm a
1
, a
2
, , a
n

,
ta có :

n
a aa
n21
+++
a
1
a
2
a
n
. Dấu = xảy ra

a
1
= a
2
= = a
n

b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)
2
( a
1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
) ( b
1
2
+ b
2
2
+ b
n
2

+ B
2
+ m m,
p = A.B
2
+ n n với A 0,
p = A.B k.l với A k > 0, B l > 0.
7
Tất nhiên là dấu đẳng thức phải xảy ra trong miền xác định của các biến số.
Ngoài ra, đôi khi ta sử dụng các tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số,
chẳng hạn : M N, a > 1 a
M
a
N
;
M N, 0 < a < 1 a
M
a
N
;
A B > 0, > 0 A


B;
A B > 0, < 0 A



1/ Vì x
4
, x
2
0 nên suy ra A 0 + 0 3 A -3. Dấu = xảy ra x = 0
Vậy minA = -3 khi x = 0
Cách khác :
Ta có A = x
2
(x
2
+ 4) 3 3. Dấu = xảy ra x
2
(x
2
+ 4) = 0 x = 0
Vậy minA = -3 khi x = 0
2/ Ta có B = (x
2
+ x + 1)
2
=
16
9
4
3
2
1
x
2





+
, dấu = xảy ra khi x =
2
1

.
Nên minB =
16
9
x =
2
1

.
3/ Dễ thấy C 0. Dấu = xảy ra khi (x 1)
2
= (x
2
1)
4
= (x
3
1)
6
= 0 x
= 1

;
2/ B =
x
1x
;
3/ C =
xyz
3zxy2yzx1xyz ++
.
Giải :
1/ Điều kiện 0 x 1.
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm ta đợc :
A = x
( )
2
1
2
x1x
x1xx1
22
222
=
+
=
Dấu = xảy ra x
2
= 1 x
2
x
2

3/ Điều kiện x 1, y 2, z 3, ta có :
C =
z
3z
y
2y
x
1x
+

+

=
z
)3z(3
.
3
1
y
)2y(2
.
2
1
x
)1x(1
+

+






++
3
1
2
1
1
2
1
.
IV. Những dạng toán thờng gặp.
Dạng 1 : Cực trị của đa thức dạng tam thức bậc hai.
1. Kiến thức cần thiết.
Giả sử cho đa thức f(x) xác định trên R
Đa f(x) về dạng : f(x) = k
[ ]
2
)x(g
(k là hằng số)
a/ Nếu f(x) = k +
[ ]
2
)x(g
thì min f(x) = k g(x) = 0
b/ Nếu f(x) = k
[ ]
2
)x(g




+
4
3
Vì
2
2
1
x







0 x nên
2
2
1
x








2
Vì - (x - 2 )
2
0 x nên 9 (x - 2 ) 9
Dấu = xảy ra x 2 = 0 x = 2
Vậy max B = 9 x = 2
Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
D = (x+1)
2
+ (x + 3 )
2
Giải :
10
Ta có D = 2(x +2 )
2
+ 2 2 x
Vì: 2(x + 2 )
2
0 x 2(x +2 )
2
+ 2 2
Dấu "=" xảy ra x = -2. Vậy min D = 2 x = -2
3. Một số nhận xét.
a/ Cho tam thức bậc hai: P = ax
2
+ bx + c (a 0)
Ta có P = ax
2
+bx + c = a(x
2

a2
b
)
2
0 nên
- Nếu a > 0 thì a.(x +
a2
b
)
2
0 do đó P k
min P = k x +
a2
b
= 0 x = -
a2
b
- Nếu a < 0 thì a.(x +
a2
b
)
2
0 do đó P k
max P = k x = -
a2
b
b/ Dựa vào tính chất biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai
f(x) = ax
2
+ bx + c (a 0)

A = 5x
2
- 12xy + 9y
2
- 4x + 4
Giải :
A = x
2
- 4x + 4 + 4x
2
- 12xy + 9y
2
= (x - 2)
2
+ (2x - 3y)
2
A 0, dấu "=" xảy ra
( )
( )





2
2
y3x2
2x



2
b
2
+ ab + 2a + 2b đạt giá trị lớn nhất
Giải :
a/ Ta có B = x
2
2x + 1 + y
2
2y +1 + xy x y + 1 + 2006
= (x 1)
2
+ (y 1)
2
+ xy x y + 1 + 2006
=
20062006)1y(
4
3
2
1y
)1x(
2
2
++






2b
2
+ 2ab + 4a + 4b
= (a b)
2
(a 2)
2
(b 2)
2
+ 8 8
Dấu "=" xảy ra





=
=
=
02b
02a
0ba
a = b = 2
Vậy max N = 4 a = b = 2
Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
D = m
2
- 4mp + 5p
2
+ 10m - 22p + 28.




=
=+
01p
05t





=
=
1p
5t




=
=
1p
5p2m




=
=

b/ -5x
2
5y
2
+ 8x 6y 1
4.2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
x
2
+ 2y
2
2xy 4y

+ 5
4.3. Tìm cặp (x ; y) để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất :
x
2
+ 26y
2
10xy + 14 76y + 56
Dạng 3 : Cực trị của hàm phân thức đại số.
1. Kiến thức cần thiết.
+ Để giải dạng toán này ta chủ yếu dùng phơng pháp tách phần nguyên.
+ Cho P =
A
1
với A > 0 thì max P =
Amin
1
; min P =
Amax

5

Nhận thấy A lớn nhất 2A lớn nhất
3x2
5

lớn nhất
2x 3 là số dơng nhỏ nhất.
Mà x N nên 2x 3 dơng nhỏ nhất bằng 1 x = 2
Vậy max(2A) = 12 maxA = 6 x = 2.
Ví dụ 8 : Tìm x Z để M =
5x
x7


đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải : Ta có M =
5x
)7x(


=
5x
)25x(


= -1 +
5x
2


2
0 với x (x 1)
2
+ 3 3
Do đó (x 1)
2
+ 3 đạt GTNN bằng 3 x = 1. Vậy min P =
3
1

x =
1.
Ví dụ 10 : Tìm GTLN và GTNN của biểu thức Q =
1x
3x4
2
+
+
.
Giải : a/ Ta có Q =
1x
1x4x4x
2
22
+
++
=
1
1x
)2x(

1x
)1x2(
4
2
2
+


Do
1x
)1x2(
2
2
+


0 với x Q 4. Dấu = xảy ra x =
2
1

Vậy maxQ = 4 x =
2
1
Ví dụ 11 : Tìm GTNN của M =
1x2x
6x8x3
2
2
+
+


, khi đó M = 3 2y + y
2
= (y 1)
2
+ 2 2
Dấu = xảy ra y = 1
1x
1

= 1 x = 2
Vậy min M = 2 x= 2
3. Một số nhận xét.
- Khi giải toán cực trị của hàm phân thức, học sinh cần phải biết biến đổi
linh hoạt để tách phần nguyên.
- Có những biểu thức tồn tại cả GTLN và GTNN nh bài toán đã trình bày ở
ví dụ 10, cho nên học sinh cần định hớng cách phân tích bài toán để làm xuất
hiện những tình huống theo yêu cầu bài toán nêu.
4. Một số bài tập.
Tìm GTNN, GTLN(nếu có) của các biểu thức sau :
A =
5x4x
6x6x2
2
2
++
++
; B =
1x
7x8x

1
;b
1
]
min f(x) = minf(x)= a trên [a
1
;b
1
]
+ Nếu : max f(x) 0 còn min f(x) 0 trên [a
1
;b
1
] :
Ta có : maxf(x)= max(A ; a)
minf(x)= 0
+ Nếu f(x) < 0 ta có maxf(x)= - minf(x) trên [a
1
;b
1
]
minf(x) = - maxf(x) trên [a
1
;b
1
]
2. Một số ví dụ.
Ví dụ 12 : Tìm GTLN của A = 2000 1999x 1
Giải : Vì x 1 0 x -1999x 1 0 x
Do đó A = 2000 1999x 1 2000 x. Dấu = xảy ra x = 1

Vậy min C = 18 2 x 5
Ví dụ 15 : Tìm GTNN của
M = x + 1 + x + 2 + + x + 99 + x + 100
Giải :
Ta có M = x + 1 + -x - 100+ + x + 50 + -x - 50
Vì có x + 1 + -x - 100 x + 1 - x - 100 = 99
dấu "=" xảy ra -100 x -1
Tơng tự .
x + 50 + -x - 50 1. Dấu "=" xảy ra - 51 x - 50
Do đó M 1 + 3 + + 97 + 99 = 2500. Dấu "=" xảy ra - 51 x - 50
Ví dụ 16 : Tìm GTNN của B = x - 1 + x - 2 + x - 3
Giải :
Xét C = x - 1 + x - 3
= x - 1 + 3 - x x - 1 + 3 - x = 2
C = 2 (x - 1)(3 - x) 0 1 x 3
Mặt khác x - 2 0. Dấu "=" xảy ra x = 2
Do đó B = x - 1 + x - 2 + x - 3 2 + 0 = 2
Dấu "=" xảy ra



=

2x
3x1
x = 2
Vậy min B = 2 x = 2
3. Một số nhận xét.
17
- Để thực hiện giải bài toán cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, học

1994 x 1995
Vậy min M = 1 1994 x 1995
Ví dụ 17 : Tìm GTNN của N= (x - 1999)
2
+ (x - 2000)
2
+ (x - 2001)
2
H ớng dẫn :
Ta đa bài toán này về dạng hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, sau đó áp dụng
ví dụ 16 để giải.
Kết quả : min N = 2 x = 2000
Ví dụ 22: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M= 2 - x + 1+ x
18
Giải:
2 - x 0
Điều kiện để tồn tại căn thức : <=> -1 x 2
1+ x 0
Do M > 0 nên M lớn nhất <=> M
2
lớn nhất
Ta có M
2
= 2 - x + 1+ x +2 (2 - x)(1 + x) = 3 + 2 (2 - x)(1 + x)
= 3 + 2 2 + x - x
2
= 3 + 2 9/4 - (x - 1/2)
2
Do đó M

2
+ 2 1 a
2
+ 2
A = - = -
2(1- a) 1 - a
3
1 - a 1 - a
3
1+ a +a
2
-a
2
-2 a - 1 1
= = = -
(1 - a)(1 + a +a
2
) (1 - a)(1 + a +a
2
) 1 + a +a
2
Dễ thấy A < 0 nên A nhỏ nhất <=> {A} lớn nhất <=> (a
2
+ a + 1) nhỏ nhất
19
mà a 0 =>min (a
2
+ a + 1) = 1 <=> a = 0
Khi đó min A = - 1 <=> a = 0
Ví dụ 24: Tìm cực trị của biểu thức :

2

1
3) Tìm cực trị của B =
15 - 1 - x
2
4) Cho hàm số y = x - 1 - 2 x - 2 + x + 7 - 6 x - 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của y .
* Nhận xét :
- Với bài toán tìm cực trị của hàm căn thức , trớc khi giải học sinh cần lu ý
đặt điều kiện để tồn tại căn thức và nếu bài toán chứa căn dạng A
2
thì ta đa đợc
về dạng hàm cha dấu gía trị tuyệt đối nh ví dụ 20 , 21 .
- Có trờng hợp ta không thể tìm trực tiếp cực trị của một biểu thức mà đi
tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó cần lu ý biểu thức đó phải dơng nh bài
toán đã trình bày ở ví dụ 22 .
VI - Cực trị có điều kiện
20
Loại toán cực trị có điều kiện rất đa dạng và phong phú . Cách giải dạng
này cơ bản phải vận dụng linh hoạt đợc điều kiện của bài và phải kết hợp thành
thạo những bớc biến đổi trung gian , vó thể phải sử dụng thêm bất đẳng thức đã
biết nh bất đẳng thức Cauchy , Bunhiacopxky hay một số bất đẳng thức phụ khác
mà ta cần chứng minh .
Ví dụ 25 : Cho x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x
2
+ y
2

Giải

2
Giải :
10 - 5x
Từ 5x + 2y = 10 => y =
2
3x (10 - 5x ) 10 - 5x
2
30x - 15x
2
100 - 100x + 25x
2
=> A = - x
2
- = - x
2
-
2 2 2 4
= 1/4 (- 59x
2
+ 160x - 100 ) = 125/59 - 59/4 ( x - 80/59 )
2
125/59
Dấu " = " xảy ra <=> x = 80/59
x = 80/59
Vậy maxA = 125/59 <=>
y = 95/59
Ví dụ 27 :
a) Cho 2 số dơng x, y thoả mãn x + y = 1
1 1 1 1
Tính giá trị nhỏ nhất của M = 1 + 1 + 1 - 1 -

Giải: 1
B = 8x + 2 +
2x
1
Do x > 0 và tích 8x . = 4 không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất <=>
2x
1
8x = <=> 16x
2
= 1 <=> x = 1/4
2x
1
Vậy min B = 8 . 1/4 + 2 + = 4 +2 = 6 <=> x = 1/4
2. 1/4
Ví dụ 28 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
B = + với 0 < x < 1
x 1 - x
Giải :
22
1 2 1-x 2x 1 - x 2x
M = + = +1 + + 2 = + + 3
x 1-x x 1-x x 1- x
1- x 2x
Đặt = a ; = b . Do 0 < x < 1 => 1 - x > 0 = > a > 0 , b > 0
x 1 - x
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dơng a và b ta có :
1 - x 2x 1- x 2 x
a + b 2ab <=> + 2 +
x 1 - x x 1 - x



+=+=
xx
xx
x
xxzyxN

do x

0 nên x/3 + 2/3

2/3 , dấu "=" xảy ra <=> x =0
x =0
Vậy min N = 2/3 <=> y = 2
z = 4/3
Ta lại có : y

0 nên từ (*) => x

2
z

0 nên từ (**) =>x

4 , từ đó => x

2
Do đó x/3 + 2/3


2
+10x - 7

0 <=> 3x
2
-10x + 7

0
<=> (x - 1) ( 3x - 7)

0 <=> 1

x

7/3
Vì vai trò x , y , z nh nhau nên 1

y

7/3 ; 1

z

7/3 . Vậy giá trị lớn
nhất của chúng là 7/3 và giá trị nhỏ nhất là 1 .
* Một số bài tập :
1) Cho x , y , z là các số không âm và :
1=++ xzyzxy
Tìm giá trị bé nhất của biểu thức : A = x
2

= 1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x .
* Một số nhận xét :
Cùng với sự linh hoạt trong việc vận dụng dữ kiện của bài toán và kết
hợp thành thạo những bớc biến đổi trung gian , học sinh cần phải nắm dợc 2
hệ quả của bất đẳng thức Cauchy :
* Hệ quả 1 : x > 0 , y > 0 và xy = k
2
( không đổi )
Thì x + y nhỏ nhất <=> x = y
* Hệ quả 2 : x > 0 , y > 0 và x + y = k
2
( không đổi )
24
Thì xy lớn nhất <=> x = y
Nội dung phần lý thuyết này tôi đã sử dụng ở ví dụ 27 a , b )
VII- Sáng tạo bài toán cực trị:
Trong quá trình giảng dạy , việc khai thác kiến thức và sáng tác ra
những bài toán khác tơng tự từ một bài toán là vấn đề hết sức quan trọng bởi
lẽ đó là cơ sở để học sinh hiểu sâu kiến thức phát triển t duy , hình thành kỹ
năng , kỹ xảo .
Cùng với sự sáng tác và su tầm tôi xin trình bày nội dung phần này qua
một số ví dụ sau :
Ví dụ 31 : Từ bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = x
2
- x + 1 đã trình bày ở VD1
Ta có thể phát triển thành bài toán sau :
Tìm giá trị nhỏ nhất của B = ( x
2


x - a + d - x
Do a < d => x - a + x - d

d - a
dấu "=" xảy ra <=> ( x - a ) (d - x)

0 <=> a

x

d
Tơng tự : x - b + x - c

c - b , dấu "=" xảy ra <=> b

x

c
=> f(x)

d + c - a - b
a

x

d
dấu "=" xảy ra <=> => b

x