MỤC LỤC
Trang:
A. Mở đầu 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 1
3. Nhiệm vụ đề tài 1
5. Đối tượng nghiên cứu 2
6. Phương pháp tiến hành 2
4. Phạm vi đề tài 2
7. Dự kiến kết quả đề tài 2
B. Nội dung 3
Phần 1: Bài toán cực trị và phương pháp giải trong đại số 3
I. Kiến thức cơ bản 3
1. Định nghĩa bài toán cực trị 3
2. Các bước cơ bản tiến hành giải toán cực trị 3
!!. Phương pháp cơ bản và ví dụ 3
1. Phương pháp dùng bất đẳng thức 3
2. Phương pháp dựa vào tính chất lũy thừa bậc chẵn 8
3. Phương pháp miền giá trị 10
4. phương pháp đồ thị hàm số 12
Phần II. Bài toán cực trị trong hình học 17
I. Kiến thức cơ bản 17
II. Một số dạng toán thường gặp 19
C. Thực nghiệm sư phạm 29
D. Kết quả thực hiện 35
E. Tài liệu tham khảo 36
``
1
NguyÔn ThÞ BÝch DiÖp – THCS ThÞ TrÊn V¹n Hµ ThiÖu Ho¸ Thanh Ho¸
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

trường phổ thông cấp THCS “. Nếu có thể chúng ta cùng nghiên cứu và bổ sung
cho hoàn chỉnh hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
- Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập môn Toán nói chung và việc giải
toán cực trị nói riêng được tháo gỡ phần nào những khó khăn. Trang bị cho học
sinh một số kiến thức cơ bản nhằm nâng cao rèn luyện khả năng tư duy và học tập
bộ môn một cách chủ động.
- Tạo thêm hứng thú cho học sinh trong học tập môn Toán cũng như kích
thích sự đam mê tự học và tự tìm tòi nghiên cứu.
- Giúp bản thân những tri thức và kinh nghiệm phục vụ cho quá trình giảng
dạy góp phần nâng cao chất lượng dạy và học của nền giáo dục nước nhà.
3. Nhiệm vụ đề tài
- Đề tài đưa ra một số kiến thức cơ bản về bài toán’’cực trị’’phù hợp với trình
độ nhận thức của học sinh THCS.
- Thông qua đề tài trang bị cho học sinh những phương pháp cơ bản giải bài
toán cực trị để học sinh vận dụng làm bài tập.
- Chọn lọc hệ thống những bài tập mang tính tiêu biểu phù hợp với từng nội
dung phương pháp.
4. Phạm vi đề tài
Phát triển năng lực tư duy của HS thông qua giải toán tìm cực trị trong hình học
và trong đại số đối với HS lớp 7, 8, 9
5. Đối tượng nghiên cứu
- Đề tài áp dụng phần nhiều cho HS lớp 8, 9 tuy nhiên có một số bài cho H
lớp 7 và trong các bài luyện tập, ôn tập cuối năm, cuối kì, luyện HS giỏi, luyện thi
tuyển THPT
6. Phương pháp tiến hành:
Giáo viên trang bị kiến thức cơ bản, học sinh phân tích vận dụng định hướng
giải bài tập. Sau đó kiểm tra đánh giá và thảo luận tập thể.
7. Dự kiến kết quả đề tài
3

o
. Tồn tại x
0
∈ D sao cho f(x
0
) = M. kí hiệu là max f(x) = M
b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồng
thời hai điều kiện sau:
1
o
. f(x) ≥ m với ∀ x ∈ D
2
o
. Tồn tại x
0
∈ D sao cho f(x
0
) = m.
2. Các bước cơ bản tiến hành giải toán cực trị
- Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức:
5
NguyÔn ThÞ BÝch DiÖp – THCS ThÞ TrÊn V¹n Hµ ThiÖu Ho¸ Thanh Ho¸
f(x) ≥ m (hoặc f(x) ≤ M) với ∀ x ∈ D.
- Bước 2: Chỉ ra giá trị x
0
∈ D để:
f(x
0
) = m f(x
0

Giải : Ta có (x-1)
2
≥ 0 ∀x (1)
( x - 3 )
2
≥ 0 (2)
⇒ A ≥ 0 ∀x nhưng không thể kết luận được Min A = 0 vì không xảy ra đồng
thời hai BĐT (1) và (2).
Ta có: f(x) = x
2
- 2x + 1 + x
2
-6x + 9 = 2 ( x
2
- 4x + 2 ) = 2 ( x - 2 )
2
+ 2 ≥ 2
Vậy Min A = 2 ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2
2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên
C . PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN VÀ VÍ DỤ
Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức
1.1. Nội dung phương pháp
+ Dùng bất đẳng thức đã biết vào chứng minh
f(x) ≥ m (hoặc f(x) ≤ M) với ∀ x ∈ D
+ Chỉ ra sự tồn tại x
0
∈ D để "bất đẳng thức" trở thành "đẳng thức" (dấu "="
xảy ra).
1.2. Kiến thức bổ sung
a) Bất đẳng thức cô si

1
= a
2
= = a
n
.
b) Bất đẳng thức Bunhiacopski
+ Nếu a
1
, a
2
, , a
n
và b
1
, b
2
, , b
n
là 2n số tuỳ ý thì:
( )( )
( )
2
2211
22
2
2
1
22
2

baba +≥+
với a,b ∈ D dấu bằng xảy ra  a.b ≥ 0.
Tổng quát : a
1
, a
2
, , a
n
∈ D thì
nn
aaaaaa +++≥+++
2121
Dấu bằng xảy ra khi đôi một cùng dấu.
*.
baba −≤−
dấu bằng xảy ra khi a.b ≥ 0
d) Với a ≥ b > 0 thì
ba
11
≤
dấu bằng xảy ra khi a = b.
e)
2≥+
a
b
b
a
( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b.
1.3. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

,y
2
,z
2
và 1,1 ,1 ta có
7
NguyÔn ThÞ BÝch DiÖp – THCS ThÞ TrÊn V¹n Hµ ThiÖu Ho¸ Thanh Ho¸
3 ( x
4
+ y
4
+z
4
) ≥ ( x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
f(x,y,z) > 16/3
∀
(x,.y,z)
∈
D
Mặt khác f (

với x ≥ 1,y ≥ 2 , z ≥ 3
A =
+
−
x
x 1

+
−
y
y 2

+
−
z
z 3
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 và x - 1 ta có:

( )
22
11
1.1
xx
x =
−+
≤−

Tương tự :
22
2

z
y
y
x
x
3222
2
++

⇒
A ≤
32
1
22
1
2
1
++
Dấu "=" xảy ra





=
=
=
⇔
6
4

a) D =
12 −+− xx
b) Cho x
1
, x
2
, , x
2004
thoả mãn
2005
200421
=+++ xxx
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
E =
1 11
200421
−++−+− xxx
8
NguyÔn ThÞ BÝch DiÖp – THCS ThÞ TrÊn V¹n Hµ ThiÖu Ho¸ Thanh Ho¸
Giải: a) Áp dụng bất đẳng thức
baba +≥+
dấu "=" xảy ra khi a.b ≥ 0
Ta có D =
11212 =−+−≥−+− xxxx
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x-2)(1-x) ≥ 0  1 ≤ x ≤ 2
Vậy Min D = 1 khi 1 ≤ x ≤ 2
b) Vận dụng bất đẳng thức
baba −≥−
Dấu "=" xảy ra khi ab ≥ 0. Ta có:
11

≥ 0
và
200421
xxx +++
= 2005
Những sai lầm thường gặp của dạng toán này
Sai lầm thường gặp khi vận dung BĐT rất phổ biến là :
- Điều kiện tồn tại BĐT
- Dấu bằng của BĐT không xảy ra với những giá trị tìm được
Ví dụ 3 : Với x , y , z , t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của
A =
t
xzy
z
txy
y
xzt
x
tzy
xzy
t
txy
z
xzt
y
tzy
x ++
+
++
+





++=
++=
++=
++=
tzyx
zyxt
yxtz
xtzy
tzyx
Điều này hoàn toàn không xảy ra vì A không tồn tại với x = y = z = t = 0
Đây là những sai lầm thường gặp mà nhiệm vụ của người thầy là phải chỉ ra
được những sai lầm để các em rút kinh nghiệm khi giải toán cực trị
1.4. Bài tập vận dụng
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A =
)11(2)11(2 +−+++++ xxxx
2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
f(x,y,z) = xyz(x+y ) (y+z) (z+x) xét trên miền
D =
{ }
1,0,0,0:),,( =++>>> zyxzyxxyx
3) Tìm giá trị bé nhất của hàm số :
f(x,y,z) = ( 1+
x
1
) ( 1+

*/ -B
2k
+ M ≤ M
⇒
M là GTLN
⇔
B = 0
2.2. Kiến thức bổ sung:
Nhiệm vụ của các em là làm thế nào để có thể đưa về dạng A
2k
+m ≥ m và
-B
2k
+ M ≤ M bằng các phép biến đổi đại số
10
NguyÔn ThÞ BÝch DiÖp – THCS ThÞ TrÊn V¹n Hµ ThiÖu Ho¸ Thanh Ho¸

2.3 : các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = 3x
2
+ 6x - 5
Giải: Ta có A = 3 ( x
2
+ 2x + 1 ) - 8 = 3 (x + 1 )
2
- 8 ≥ - 8
Dấu bằng xảy ra ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = - 1
Vậy Min A = - 8 ⇔ x = - 1
Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 5x
2

683
2
2
≠
+−
+−
=
x
xx
xx
C
Có thể các em sẽ ngỡ ngàng và lúng túng trong việc giải . Tuy nhiên có thể gọi
phương pháp giải là tìm cách đưa về dạng ax
2
+ bx + c bằng cách đổi biến số , cụ
thể cách làm như sau :
C =
22
2
)1(
1
1
2
3
)1(
1)1(2)12(3
−
+
−
−=

-x )
11
NguyÔn ThÞ BÝch DiÖp – THCS ThÞ TrÊn V¹n Hµ ThiÖu Ho¸ Thanh Ho¸
= ( 2y - x )
2
+ 3( x-
2
1
)
2
-
4
3
≥ -
4
3
Đẳng thức xảy ra ⇔ x =
2
1
và y =
2
x
=
4
1
min f(x,y) = -
4
3
⇔


2
+ x - 2 ≥ x
2
+ x - 2
∀
x (1)
Vì g(x) = x
2
+ x - 2 = ( x +
2
1
)
2
-
4
9
≥ -
4
9

Đẳng thức xảy ra ⇔ x = -
2
1
⇒ min f(x,y) = -
4
9
⇔




=
1
2
1
x
y
còn
dấu đẳng thức xảy ra ở (2) khi x = -
2
1
thì 2 dấu đẳng thức xảy ra không đồng thời
nên GTNN của g(x) không phải là GTNN của f(x,y).
Hoặc với bài:
Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của:
M = x +
x
M = x +
x
= ( x +
x
+
4
1
) -
4
1
= (
x
+
2

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của :
C = x
2
- 2xy + 2y
2
+ 2x - 10y + 17
E = x (x+ 1) (x + 2) (x + 3 )
2) Tìm giá trị lớn nhất của:
A = - 5x
2
- 2xy - 2y
2
+ 14x + 10y - 1.
3) Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của :
A =
2
2
95
x
xx ++
B =
2
2
)1(
952
+
−+
x
xx


D
Như vậy để tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của một hàm số nếu dùng phương
pháp này , ta qui về việc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
2.2. Kiến thức bổ sung:
Công thức nghiệm và công thức nghiêm thu gọn của phương trình bậc hai
3.2 . Các bài toán
13
NguyÔn ThÞ BÝch DiÖp – THCS ThÞ TrÊn V¹n Hµ ThiÖu Ho¸ Thanh Ho¸
Bài toán 1 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số.
f(x) =
123
3102
2
2
++
++
xx
xx
với x
∈
R.
Giải
Gọi y
0
là giá trị tuỳ ý của hàm số . Vậy phương trình sau đây ( ẩn x ) có nghiệm.
123
3102
2
2
++

0
- 3 = 0 (2)
Xét 2 khả năng sau :
* Nếu 3y
0
- 2 = 0 ⇔ y
0
=
3
2
⇒ (2) có nghiệm
Tức f(x) =
3
2

∀
x
∈
R
* Nếu 3y
0
- 2
≠
0 ⇔ y
0

≠

3
2

5
.
Nhận thấy với phương pháp này ta có thể vận dụng cho các bài toán tìm giá
trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức dưới dạng phân thức.
Bài toán 2 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số. f(x,y) = x
2
+ y
2

xét trên miền D = (x,y) ; ( x
2
- y
2
+ 1)
2
+ 4x
2
y
2
- x
2
- y
2
= 0
14
NguyÔn ThÞ BÝch DiÖp – THCS ThÞ TrÊn V¹n Hµ ThiÖu Ho¸ Thanh Ho¸
Giải: Gọi t
0
là một giá trị bất kì của hàm số f(x,y) trên miền D . Điều đó
chứng tỏ phương trình ẩn (x,y) sau có nghiệm:

0
22
xyxyx
tyx
)()(
`

⇔





=++−
=+
)(
)(
40413
3
2
0
2
0
22
xtt
tyx
Để (4) ẩn x có nghiệm thì:
t
2
- 3t

2
= 4t
0

⇔
4y
2
= t
2
0
+ t
0
+ 1 (6)
Do t
0
2
+ t
0
+ 1 > 0
∀
t
0

⇒
với điều kiện (5) thì (6) có nghiệm.
Nghĩa là (5) là điều kiện để hệ (3), (4) tức là hệ (1) , (2) có nghiệm.

⇒
Max(x,y) =
2

- Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn thì tam giác đều có chu vi
và diện tích lớn nhất.
Nếu như một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bằng một phép biến
đổi nào đó có thể qui về sự kiện hình học nói trên thì ta nên dùng phương pháp đồ
thị hình học để giải chúng. Dĩ nhiên là phương pháp này chỉ thích hợp cho các bài
toán trong nội dung của nó đã tiềm ẩn những yếu tố hình học, mà thoạt tiên ta chưa
nhìn ra nó, chứ không phải bài nào cũng có thể giải bằng phương pháp này.
Sau đây tôi sẽ trình bày bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất mà đối với
nó phương pháp đồ thị và hình học sẽ tỏ rõ hiệu quả.
4.3Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
K =
11
22
+−+++ xxxx

Với x ∈ R
Ta có: K =
2
22
2
3
2
1
2
3
2
1
2


+ xx
=
2
2
2
2
2
3
0
2
1
2
3
(0)
2
1
(








−+





(
−
−
; B
)
2
3
,
2
1
(−
và C (x,0)
Nhận xét: Dựa vào hình vẽ ta có K = AC + CB ≤ AB
Mà AB
2
=
( )
2
3
+ 1
2
= 4 => AB = 2
Vậy khi đó dấu bằng xảy ra khi A, B, C thẳng hàng
hay x = 0 (C trùng O(0,0))
Vậy Min K = 2 khi x = 0
. Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của D =
22 −+− yx
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
D = y =


2
1
−
2
1
−
2
1
2
3
−
nếu
nếu
nếu
y
3
(d
1
)
(d
2
)
(d
3
)
1
1
2
x
2

S
ABC
=
4
3
(1)
Đặt trên các cạnh AB , BC , AC các đoạn
AM = x , BN = z , CP = y( có thể M
≡
A nếu x = 0
và M
≡
B nếu x = 1 , tương tự với N , P )
Vì Sin 60
0
=
2
3
áp dụng S =
2
1
ab SinC . Ta có
S
AMP
=
4
31 )( yx −
; S
BNM
=

D
⇒
Max f(x,y,z) = 1
18
NguyÔn ThÞ BÝch DiÖp – THCS ThÞ TrÊn V¹n Hµ ThiÖu Ho¸ Thanh Ho¸
A
B
C
x
y
z
M
N
P
Bằng phương pháp này ta giải một số bài toán vừa nhanh , vừa khoa học . Tuy
nhiên để phát hiện tìm ra phương pháp hợp lí thì không phải học sinh nào cũng có
thể làm được . Vì vậy yêu cầu người thầy phải rèn luyện kĩ năng giải toán cho học
sinh , trước hết là bằng cách cho học sinh làm nhiều dạng tương tự để dần học sinh
làm quen và tìm ra được phương pháp giải hợp lí
PHẦN!!
BÀI TOÁN CỰC TRỊ PHẦN HÌNH HỌC
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1. Cực trị trong hình học là gì?
Một số bài toán hình học mà trong đó các hình được nêu ra có cùng một tính
chất và đòi hỏi ta tìm được hình sao cho có một đại lượng nào đó (số đo góc, độ dài
đoạn thẳng, số đo chu vi, số đo diện tích ) đạt giá trị lớn nhất (GTLN) hay ghi là
(max) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) hay là ghi (min) được gọi là bài toán cực trị
hình học.
1) Lời giải của bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách:
Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lượng cần tìm cực trị

2
, , A
n

Ta có A
1
A
n
≤ A
1
A
2
+ A
2
A
3
+ A
n-1
A
n
Dấu "=" xảy ra ⇔A
1
A
2
, , A
n
thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó.
12. Các ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1 : Cho đường tròn (0; R) , A và B là hai điểm cố định nằm ngoài đường
tròn . M là điểm cố định trên đường tròn (0) .

2
.ABCK
( không đổi )
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ H
≡
K
⇔ M
≡
C
b) Xét 3 điểm M,O ,H ta có MH ≥
OMOH −
Mà OK ≤ OH và OK - OM = OK - OD = DK ⇒ MH ≥ DK
⇒ S
MAB
≥
2
.ABDK
( không đổi ) Dấu “ = “ xảy ra ⇔ M
∈

[ ]
OH
Và M
≡
K ⇔ M
≡
D
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O;R); A là điểm cố định trong đường tròn
(A ≠ O). Xác định vị trí của điểm B trên đường tròn O sao cho góc OBA lớn
nhất.

Vậy OBA
max

⇔
B ∈ (O) sao cho BC ⊥ OA tại A.
Ví dụ3: : Cho tứ giác lồi ABCD. Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho AM +
MB + MC + MD đạt cực trị nhỏ nhất.
Giải:
Với 3 điểm M, A, C ta có: MA + MC ≥ AC
Dấu "=" xảy ra ⇔ M ∈ AC
Tương tự với ba điểm M, B, D
ta có MB + MD ≥ BD.
21
NguyÔn ThÞ BÝch DiÖp – THCS ThÞ TrÊn V¹n Hµ ThiÖu Ho¸ Thanh Ho¸
O
C
B
H
A
O
M
D
A
C
B
Dấu "=" xảy ra ⇔ M ∈ BD
AM + MB + MC + MD ≥ AC + BD (không đổi).
Dấu "=" xảy ra ⇔



D
ˆ
= 90
0
=> AEMD là hình chữ nhật.
22
NguyÔn ThÞ BÝch DiÖp – THCS ThÞ TrÊn V¹n Hµ ThiÖu Ho¸ Thanh Ho¸
A
A
H
C
d
C
D
B
A
A
H
M
E
=> DE = AM mà AM ≥ AH (không đổi)
(theo t/c đường xiên và đường vuông góc).
Dấu "=" xảy ra ⇔ M ≡H. Vậy khi M ≡ H thì DE nhỏ nhất. Ví dụ 2 : Cho đường thẳng d và đường tròn (O;R) có khoảng cách từ tâm đến d là
OH ≥ R. Lấy hai điểm bất kỳ A ∈ d; B ∈ (O;R). Hãy chỉ ra vị trí của A và B sao
cho độ dài của AB ngắn nhất? Chứng minh điều đó.
Giải:
Từ tâm (O) kẻ OH ⊥ d, OH cắt đường tròn (O) tại K. Xét ba điểm A. B. O ta

H
K
O
d
A
Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm trong đường tròn đó (M ≠ O).
Xác định vị trí của dây cung AB của đường tròn (O) qua M sao cho độ dài AB ngắn
nhất.
Giải:
Ta có dây AB ⊥ OM tại M là dây
cung có độ dài nhỏ nhất.
Thật vậy: Qua M vẽ dây A'B' bất kỳ
của (O) A'B' không vuông góc với OM.
Vẽ OM' ⊥ A'B'. M' ∈ A'B'; M' ≠ M =>
OM' ⊥ MM' => OM > OM'
=> AB < A'B' (theo định lý khoảng
cách từ tâm đến dây).
Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R). M là điểm di
động trên đường tròn (O). Xác định vị trí của M để MA + MB + MC đạt giá trị lớn
nhất.
Giải:
Ta xét M ∈ cung BC. Trên MA lấy D sao cho MB = MD. Ta chứng minh
được: ∆BMD là tam giác đều.
=>
32
ˆˆ
BB +
= 60
2
Mà

A
M
Bài 1: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tương ứng hai điểm M và
N sao cho BM = CN. Tìm vị trí của M để MN có giá trị lớn nhất.
Bài 2: Cho tứ gác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) cho trước. tìm tứ
giác có tổng AB.CD + AD.BC đạt giá trị lớn nhất.
4 . Tìm cực trị dùng bất đẳng thức đại số

4.1. Kiến thức bổ sung :
+ Bất đẳng thức côsi cho hai số không âm: a,b
Ta có:
ab
ba
≥
+
2
. Dấu "=" xảy ra  a= b
+ Bất đẳng thức côsi tổng quát cho n số không âm
n
n
n
aaa
n
aaa21
21
≥
+++

0
Theo Pitago ta có :
MA
2
+ MB
2
= AB
2
= 4R
2
áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
MA +
3
MB ≤
222
4.4))(31( RMBMA =++
= 4R
⇒ MA +
3
MB ≤ 4R
Dấu "=" xảy ra ⇔
3
31
=⇔=
MA
MB
MBMA
25
NguyÔn ThÞ BÝch DiÖp – THCS ThÞ TrÊn V¹n Hµ ThiÖu Ho¸ Thanh Ho¸
A B