Khóa luận tốt nghiệp
LỜI NÓI ĐẦU
Bất kể một lĩnh vực nào trong cuộc sống cũng có những yếu tố vượt
trội, những cá nhân điển hình hay những thành tích cao nhất hay một kỷ lục
nào đó mà không ai vượt qua được đó là cái "nhất". Trong toán học cũng vậy,
trong mỗi lĩnh vực cũng có những đại lượng "lớn nhất" hay "nhỏ nhất" mà
người ta thường gọi là các bài toán cực trị, các bài toán này rất phổ biến trong
các đề thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các trường Cao đẳng, Đại học cũng
như các đề thi học sinh giỏi ở nhiều năm.
Tôi nhận thấy việc nghiên cứu các dạng toán và các phương pháp giải
toán cực trị , giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở cấp THCS, THPT là rất cần
thiết đối với mỗi học sinh. Vì vậy, tôi mạnh dạn nghiên cứu khóa luận “ Một
số phương pháp tìm cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ” giúp học
sinh hiểu rõ hơn về dạng toán này. Khóa luận này nghiên cứu, tìm tòi một số
phương pháp tìm cực trị nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về các
bài toán liên quan tới bất đẳng thức và toán cực trị.
Trong quá trình trình bày khóa luận không tránh khỏi sự thiếu sót do ý
kiến chủ quan của cá nhân, vì vậy rất mong được sự đóng góp chân thành của
các quý thầy cô giáo và các đọc giả để khóa luận này được phát huy hiệu quả.
Cuối cùng tôi xin cám ơn toàn bộ giảng viên trường Đại học Quảng Bình đã
tạo mọi điều kiện cho tôi học tập và sinh hoạt trong bốn năm qua. Cám ơn ban
lãnh đạo trường Đại học Quảng Bình đã tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành
khóa luận này. Đặc biệt, tôi xin chân thành cám ơn thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn
Quốc Tuấn đã nhiêt tình giúp đỡ, đóng góp và hướng dẫn cho tôi trong suốt thời
gian làm khóa luận này.
Đồng Hới: Tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Nguyễn Thị Vân
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
1
Khóa luận tốt nghiệp

Khóa luận tốt nghiệp
- Giúp bản thân người học nắm được các bước cơ bản để tìm cực trị.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đề tài đưa ra một số dạng toán cơ bản về bài toán"cực trị’’phù hợp với
trình độ nhận thức của học sinh và chỉ ra được những sai lầm thường mắc phải
của học sinh.
- Thông qua đề tài trang bị cho học sinh một số phương pháp giải các bài
toán cực trị cơ bản để học sinh vận dụng làm bài tập.
- Chọn lọc có hệ thống những bài tập mang tính tiêu biểu phù hợp với
từng nội dung phương pháp.
- Đề xuất một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải.
4. Phạm vi đề tài
Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua giải toán tìm cực trị đối
với các học sinh chuyên và không chuyên toán.
5. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, đặc biệt trang bị các dạng
toán cực trị cơ bản cho học sinh lớp 12 ôn thi đại học.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp khách quan: Qua kết quả học tập của bản thân trong quá
trình học tập ở THCS, THPT và trong quá trình học Đại học.
- Phương pháp đọc và nghiên cứu từ các nguồn tài liệu khác nhau.
Trích dẩn từ nguồn internet và các sách tham khảo.
- Phương pháp tham khảo, trao đổi ý kiến với thầy giáo hướng dẩn và
bạn bè.
7. Nội dung đề tài
Đề tài này được chia thành ba chương.
Chương 1 : Cơ sở lý thuyết
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
3

( )
, , x y
thuộc D thì
( )
, , f x y

≤
M với M là hằng số
- Tồn tại
( )
0 0
, , x y
thuộc D sao cho
( )
0 0
, , f x y M=
1.2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho biểu thức
( )
, , f x y
xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ
nhất của
( )
, , f x y
trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
- Với
( )
, , x y
mọi thuộc D thì
( )


≥

• Tính chất 3:
a b a c b c≥ ⇔ ± ≥ ±
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
5
Khóa luận tốt nghiệp
• Tính chất 4:
a b
a c b d
c d
≥

⇒ + ≥ +

≥

• Tính chất 5:
0
. .
0
a b
a c b d
c d
≥ ≥

⇒ ≥

≥ ≥

2
n n
n n
a b
a b
n N
a b

≥ ≥
≥


⇒
 
≤ ∈
≥



• Tính chất 9:
2 1 2 1
2 1 2 1
n n
n n
a b
a b
n N
a b
+ +
+ +

≥

⇒ ≤

< <

2.1.3. Một số bất đẳng thức thường dùng
Xét biểu thức chứa biến
( )
P x
. Ta ký hiệu giá trị lớn nhất của biểu thức P
trên tập xác định D của biến là GTLN(P) hay maxP, còn giá trị nhỏ nhất của
P là GTNN(P) hay minP.
a) Cho
P A B
= +
thì
maxP maxA maxB= +
và
min in inP m A m B= +
Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau, hoặc nếu
A và B chứa cùng một biến thì cùng đạt GTLN (GTNN) tại một giá trị xác
định
0
x x=
, tức là
( )
0
maxA A x=
,

,
n
P Q x y a a= + ≥ 
 
với a là hằng số, n
∈
N
*
Nếu có
( )
0 0
,x y
sao cho
( )
0 0
, 0Q x y =
thì min
( )
,P x y a=
với mọi
,x y
thuộc D
+
( )
2
,
n
P Q x y b b= − + ≤ 
 
với b là hằng số, n

min minA A=
e) Bất đẳng thức Cô-si:
+
2a b ab+ ≥

( )
0, 0a b≥ ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b=
+
2
a b
b a
+ ≥

( )
0, 0a b≥ ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b=
 Tổng quát : Bất đẳng thức Cô-si
Cho
n
số thực không âm
n
a a a n ≥
1 2
, , , ( 2)

Ta có
n

1 2
1 1 1
( ) vôùi 0, 1,
-
i
n n
n
a i n
a a a a a a
+ + + ≥ ∀ > =
+ + +
L
L
2
1 2 1 2
1 1 1
vôùi 0, 1,
- Cho
2n
số dương (
, 2n Z n
∈ ≥
):
( ) ( )
n n
a a a b b b
1 2 1 2
, , , , , , ,

ta có:

n
a
a a
b a
b b b
⇔ = = = = ⇒ =L
1 2
1 2
(quy öôùc neáu 0 0)

Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng
Cho m bội số , mỗi bội số gồm n số không âm ( , , )( 1, )
i i i
a b c i m=
1 2 1 2 1 2 1 1 1
( ) ( ) ( )
m m m m m m m
n n n n n n
a a a bb b c c c a b c a b c+ + + ≤ + + + + + +
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại một bội số ( a ,b,…c) sao cho
i= 1,2…m thì
i
t
∃
sao cho:
1 1 1 2 2 2
, , , : : : : : : : :

a
a a
b b b
⇔ = = =L
1 2
1 2
g) Bất đẳng thức Trê-bư-sép.
+ Nếu
1 2

n
a a a≥ ≥ ≥
và
1 2

n
b b b≥ ≥ ≥

Thì
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( ).( ).
n n n n
n a b a b a b a a a b b b+ ≥ + + + +
Dấu bằng xảy ra
1 2 1 2
;
n n
a a a b b b⇔ = = = = = =

, 2n Z n

Dấu “=” xảy ra
0a⇔ =
+
a a a− ≤ ≤
Dấu “=” xảy ra
0a⇔ =
+
a b a b+ ≤ +
Dấu “=” xảy ra
( )
0 ,ab a b⇔ ≥
cùng dấu)
+
a b a b− ≥ −
Dấu “=” xảy ra
( )
0 ,ab a b⇔ ≥
cùng dấu)
+
; 0a b ab≥ ≥

1 1
a b
⇒ ≤
Dấu “=” xảy ra
a b⇔ =
 Dạng tổng quát
Cho
1 2
, ,

( )f x
luôn luôn cùng dấu với
a
,
x R
∀ ∈
,
2
b
x
a
−
≠
Nếu
0
∆ >
thì
( )f x
cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm và
trái dấu với a nếu x nằm trong khoảng 2 nghiệm
2.2. Một vài kiến thức cơ bản về hàm số:
2.2.1. Một số tính chất về hàm số
• Tính chất 1: Giả sử
BA ⊂
khi đó ta có:
a/
( ) ( )
x A x B
max f x max f x
∈ ∈

( ) ( )
2
min min
x D x D
f x f x
∈ ∈
=
• Tính chất 3 :

1 2
/ ( ) ( )) ( ) ( )
x D x D x D
a max f x g x max f x max g x
∈ ∈ ∈
+ ≤ +

)1(

1 2
/ ( ) ( )) ( ) ( )
x D x D x D
b min f x g x min f x min g x
∈ ∈ ∈
+ ≤ +

)2(
Trong đó
1 2
,D D
lần lượt là miền xác định của

= − −
• Tính chất 5 : Nếu đặt
( )
x D
M max f x
∈
=
,
)(min xfm
Dx
∈
=
thì
{ }
( ) ,
x D x D
max f x max M m
∈ ∈
=
.
• Tính chất 6:Giả sử
{ }
1
; ( ) 0D x D f x= ∈ ≤
và
{ }
0)(;
2
≥∈=
xfDxD

( )
0
' 0f x =

2. Dấu hiệu 1
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
10
Khóa luận tốt nghiệp
Giả sử hàm số
( )f x
liên tục trên
( )
,a b
chứa điểm
0
x
và có đạo hàm trên
khoảng
( )
,a b
. Không nhất thiết phải có đạo hàm tại
0
x
nên khi đó
a)
( )
( )
( )
( )
0

< ∀ ∈


thì hàm số đạt cực đạt tại
0
x
3. Dấu hiệu 2
Giả sử hàm số
( )f x
có đạo hàm cấp 1 trên khoảng ( a, b) chứa điểm
0
x

và
( )
0
' 0f x =
và
( )
0
'' 0f x ≠
thì
a)
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x

4. Định lí viet:
Giả sử
1 2
,x x
là nghiệm của phương trình bậc hai
2
0ax bx c+ + =
thì

1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

+ = −




=


III: Các bước cơ bản để giải toán cực trị
Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức:
, ),( yxf
≥ m (hoặc

=
;
( )
0 0
,
min ,
x y D
f x y m
∈
=

GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
11
Khóa luận tốt nghiệp
CHƯƠNG II : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
I : Phương pháp dùng bất đẳng thức
1.1. Nội dung phương pháp
Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
( )
( )
0 0 0 0
, , ,
, ,
, : ,
f x y M x y D
M maxf x y
x y D f x y M
≤ ∀ ∈


x , , Dy ∈
sao cho dấu “=” xảy ra
1.2. Các kiến thức liên quan
Tất cả các bất đẳng thức thường dùng
1.3. Bài tập vận dụng
VD1: Cho x
1
, x
2
, , x
2004
thoả mãn
2005
200421
=+++
xxx
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
1 11
200421
−++−+−
xxx
Giải
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
12
Khóa luận tốt nghiệp
Vận dụng bất đẳng thức
a b a b− ≥ −
Dấu "=" xảy ra khi
0ab ≥
.

1 2 2004
, , 0x x x ≥
và
1 2 2004
2005x x x+ + + =
VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2000 21
−++−+−=
xxxy

Giải
Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức:
baba
+≤+
đối với
1000 cặp giá trị tuyệt đối.
Ta có :

( ) ( ) ( )
1 2000 2 1999 999 1000y x x x x x x= − + − + − + − + + − + −

( )
[ ]
1 1
1 2000 1999 min 1999 1;2000y x x y x= − + − ≥ ⇒ = ⇔ ∈

( )
[ ]
( )
[ ]

−
=
1 2x
−
+
2 3x
−

≥

1 2 2 3x x
− + −
= 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
( ) ( )
1 3
1 2 2 3 0
2 2
x x x− − ≥ ⇔ ≤ ≤
Vậy min A = 2 dấu “=” xảy ra

1 3

2 2
x⇔ ≤ ≤

VD 4: Tìm GTNN của biểu thức sau
K =
( ) ( )
2 1 1 2 1 1x x x x+ + + + + − +

1,y ≥ 2 , z ≥ 3

Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm 1 và x - 1 ta có:

( )
( )
1
1 1 1
1. 1
2 2 2
x
x x
x
x
−
+ −
− ≤ = ⇒ ≤
(1)
Tương tự :
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
14
Khóa luận tốt nghiệp

( )
( )
( )
2
2 2
1 2 2 1

y
x z x y z
A
x y z x
y z
−
− −
= + + ≤ + + = + +

Dấu "=" xảy ra
1 1
2 2
3 3
x
y
z
− =


⇔ − =


− =


2
4
6
x
y


1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
+ + +
Giải
Sử dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si

n i
n
a a a n a i n
a a a
 
+ + + + + + ≥ ∀ > =
 ÷
 
L L
2
1 2
1 2
1 1 1
( ) vôùi 0, 1,
Ta phân tích:

1
1
1 1
x

x y z
x y z
x y z
 
+ + + + + + + ≥ 
 ÷
 
+ + +
 
 
⇔ + + + + + ≥
 ÷
+ + +
 

1 1 1 9
1 1 1 4x y z
 
⇔ + + ≥
 ÷
+ + +
 
(2) ( do
1x y z+ + =
)
Thay (2) vào (1) ta có

1 1 1 9 3
3 3
1 1 1 4 4

4
x y x y> + =
,
4 1
4
S
x y
= +
Tìm GTNN của S
Giải
Vận dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si ta có

( )
1 1 1 1 1
4 25
4
x x x x y
x x x x y
 
+ + + + + + + + ≥
 ÷
 

( )
( )
4 1
4 4 25
4
4 1 25
5

 
Vậy
1
minS 5; 1,
4
x y= = =
VD 8 : Cho
, , 0x y z >
,
x y z y z z x x y
P
y z z x x y x y z
+ + +
= + + + + +
+ + +
Tìm GTNN của P
Giải
Ta có :
x y z y z z x y x
P
y z z x x y x x y y z z
 
   
= + + + + + + + +
 ÷  ÷
 ÷
+ + +
   
 


= + + + + + + + −
 
 ÷
 
+ + +
 
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si ta có

( ) ( ) ( )
1 1 1
9
1 3
9 3
2 2
y z x z x y
y z x z x y
x y z
y z x z x y
 
+ + + + + + + ≥ 
 ÷
 
+ + +
 
⇒ + + ≥ − =
+ + +
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô-si

2; 2; 2

x y z
P
x y z
= =

⇒ = ⇔

>

VD 9: Cho
, 0;
1
a b
a b
>


+ =


2 2
1 1
A
ab a b
= +
+
Tìm GTNN của A
Giải
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si
i

+ + +
+
(1)
Mặt khác : Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

( )
2
2
2
2 2
2
1 1
2 2
2 2
a b
ab
a b
ab
ab
ab
+
≥
+
 
⇔ ≤
 ÷
 
⇔ ≤ ⇒ ≥
(2)
Cộng (1) và (2) ta có

Vậy MinA= 6
1
2
a b
⇔ = =
VD 10: Cho
x y z
x y z

>


+ + =


, , 0
1 1 1
4
.
Tìm GTLN của
P
x y z x y z x y z
= + +
+ + + + + +
1 1 1
2 2 2
.
Giải :
Ta tách các số
x x x= +2

2 16 16
( 3)
Cộng (1)(2)(3) ta được

P
x y z x y z x y z
 
     
≤ + + + + + + + +
 
 ÷  ÷  ÷
     
 
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
16

x y z x y z
   
≤ + + = + + =
 ÷  ÷
   
1 4 4 4 1 1 1 1
1
16 4
( với
1 1 1
4
x y z
+ + =
)


x y z x x y z x x y z
x y z
x yz
+ + = + + + ≥
⇒ ≤
+ +
4
2
4
2 4 . . .
1 1
2
4
,
Mặt khác:
x x y z x x y z
 
≤ + + +
 ÷
 
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. . .
4

x y z x y z
 
⇒ ≤ + +
 ÷

 
≤ + + =
 ÷
 
. ( với
1 1 1
4
x y z
+ + =
)
Dấu “=” xảy ra khi
3
1 1 1
4
4
x y z
x y z
x y z
= =



⇔ ⇔ = = =
 
+ + =




1MaxP

3 3
3 3
x y z s
xyz
+ +
   
≤ =
 ÷  ÷
   
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
s
x y z
= = =
Lúc đó, GTLN(xyz) =
3
3
s
 
 ÷
 
Xét trường hợp
3
s
a >
Theo bất đẳng thức cô-si, ta có :
2
2
x y
xy

(2)
Từ (1),(2) và áp dụng dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :

2 2 2 2
x y x y x y x y
xyz z a z a
+ + + +
     
≤ ≤ + −
 ÷ ÷  ÷ ÷
     

2
2
2 2
2 2
x y x y
z a
s a
a
 + + 
  
+ −
 ÷ ÷
 ÷
−
 
  
 ÷
≤ =

zyxP
++=
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân
21
Khóa luận tốt nghiệp
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski đối với
),,( zyx
và
),,( xzy
22222222222
)(1))(()(1 zyxxzyzyxzxyzxy
++≤⇒++++≤++=

)1(
Mặt khác,áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski đối với
)1,1,1(
và
2 2 2
, , ),x y z
ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4
(1. 1. 1. ) (1 1 1 ) .( )x y z y z x+ + ≤ + + + +
)2(
Từ
)1(
và
)2(
suy ra:
4 4 4

2 3
6
x y
x y
>



+ =


Tìm
min A x y
= +
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

( )
( )
2
2
2 3 2 3
2 3 . .x y x y
x y
x y
 
 
+ = + ≤ + +
 ÷
 ÷

x y
x y
x y
x y



=



=
+ +
  
⇔ ⇔ ⇔ = =
  

 

+ =
 
+ =



3
2
2 3
2 6 3 6
;

1 1 1
.
Tìm GTNN của P
Giải:
Ta thấy P là biểu thức đối xứng với
x y z, ,
. Ta dự đoán minP đạt được khi
x y z= = =
1
3
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
( )
x x
x
x
β
α β α
   
+ + ≥ +
 ÷  ÷
   
2
2 2 2
2
1
với
,
α β
là những số thỏa mãn
x

Tương tự :

( )
y y y y
y y
y y
 
   
+ + ≥ + ⇒ + ≥ +
 ÷
 ÷  ÷
   
 
2
2 2 2 2
2 2
1 9 1 1 9
1 9
82
(2)

( )
z z z z
z z
z z
     
+ + ≥ + ⇒ + ≥ +
 ÷  ÷  ÷
     
2

+ +
1 1 1 9
9

Ta tách
x y z x y z
x y z x y z x y z
     
+ + + + + = + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
1 1 1 1 1 1 1 80 1 1 1
( ) 9 ( )
9 9
1 1 1 1 80 1 1 1 2 1 1 1 80 9
( ) ( ) 82
9 9 3 9
x y z x y z
x y z x y z x y z x y z
     
+ + + + + + + + ≥ + + + + + ≥
 ÷  ÷  ÷
+ +
     
Vậy
82P ≥
, dấu “=” xảy ra
x y z
x y z
x y z

bc ca ab
P
a b a c b c b a c a c b
= + +
+ + +
.
Tìm MinP
Giải
Đặt :
Ta có:
P
α β γ
βγ γα αβ
β γ γ α α β
α β α γ β γ β α γ α γ β
= + + = + +
+ + +
+ + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
 
1 1 1 1 1 1
Cách 1: Theo bất đẳng thức bunhiacopski

( )
α β γ
α β γ β γ α γ α β
β γ α γ α β
 

+ + +
 
2 2 2
2( )

( )
( )
P
α β γ
α β γ
α β γ
β γ α γ α δ α β γ
+ +
⇒ = + + ≥ = + +
+ + + + +
2
2 2 2
1
2( ) 2

αβγ
≥ =
3
3 3
2 2
(Với
1
αβγ
=
)

+ + +
2 2 2
1
4 4 4 2

( )
α β γ β γ α γ α β
α β γ
β γ γ α α β
     
+ + +
= + + + + + − + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
2 2 2
1
4 4 4 2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
( )
P
α β γ β γ α γ α β
α β γ
β γ γ α α β
     
+ + +
= + + + + + − + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷

3
2
P
⇒ ≥
Dấu “=” xảy ra
1
1
α β γ
α β γ
αβγ
= =

⇔ ⇔ = = =

=


1a b c
⇒ = = =

3
1
2
MinP a b c
⇒ = ⇔ = = =
VD 16: Cho
( )
{ }
, , / 0 2;0 2;0 2; 3D x y z x y z x y z= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + + =
GVHD : Th.s Nguyễn Quốc Tuấn SVTH : Nguyễn Thị Vân