ĐỀ TÀI
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ
LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
LỜI CẢM ƠN
Trước hết em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Quốc Tuấn - người đã
trực tiếp trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận của mình.
Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Quảng Bình, toàn thể
thầy cô đặc biệt là các thầy cô giáo khoa Khoa Học Tự Nhiên đã tận tình giảng dạy và
giúp đỡ em trong 4 năm học vừa qua.
Em xin chân thành cảm ơn sự động viên giúp đỡ của gia đình và bạn bè đã tạo điều
kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.
Lời cuối em xin chúc sức khỏe tất cả các thầy các cô, chúc thầy cô luôn hoành
thành tốt các nhiệm vụ được giao.
Quảng Bình, tháng 06 năm 2014

Sinh viên
Dương Thị Lan Hương
MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Ở trường trung học phổ thông, mục đích của việc giảng dạy môn toán là dạy học
sinh kiến thức về toán, cách giải bài tập, rèn luyện kỹ năng giải toán và hình thành tư duy
logic cho học sinh. Từ đó, yêu cầu đặt ra là giáo viên phải dạy cho học sinh phương pháp
giải các dạng toán.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một trong những chủ đề quan trọng
và hấp dẫn trong chương trình giảng dạy và học tập môn toán ở trường trung học phổ
thông. Các bài toán liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thường
xuyên xuất hiện trong các kì thi. Tuy nhiên trong chương trình sách giáo khoa có rất ít các
bài tập dạng này và do những điều kiện khách quan mà sách giáo khoa không hệ thống lại
các phương pháp giải. Do đó việc cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các phương

Mục lục
A. Mở đầu
B. Nội dung
Chương 1: Cơ sở lí thuyết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2. Tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Chương 2: Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Phương pháp dùng đạo hàm
2. Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số
3. Phương pháp đưa về dạng bình phương
4. Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô-si
5. Phương pháp dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
6. Phương pháp dùng tam thức bậc hai
7. Phương pháp dùng véc tơ
8. Phương pháp dùng lượng giác
9. Phương pháp dùng tính đối xứng của biến
Chương 3: Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương
trình, bất phương trình
I. Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất
phương trình có tham số
II. Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất
phương trình không có tham số
C. Kết luận
D. Hệ thống bài tập tham khảo
E. Tài liệu tham khảo.
B. NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số

m f x
∈
=
nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

0 0
: ( )
: ( ) .x D f x m
x D f x m
∀ ∈ ≥


∃ ∈ =

2. Các tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Tính chất 1
Giả sử
( )f x
xác định trên D và A, B là hai tập con của D, trong đó
A B⊆
. Giả
thiết tồn tại
max ( )
x A
f x
∈
,

0
max ( ) ( )
x A
f x f x
∈
=
, với
0
.x A∈
Do
0
x A∈
mà
A B⊆
nên
0
.x B∈
Ta có
0
( ) max ( )
x B
f x f x
∈
≤
hay
max ( ) max ( )
x A x B
f x f x
∈ ∈
≤

f x f x
∈ ∈
≥
⇒
đpcm.
Tính chất 2
Giả sử hàm số
( )f x
xác định trên D và tồn tại
max ( )
x D
f x
∈
và
min ( )
x D
f x
∈
. Khi đó ta có:
a,
max ( ) min( ( ))
x D
x D
f x f x
∈
∈
= − −
; b,
min ( ) max( ( ))
x D


= ∈

Từ hệ trên suy ra
0
( ) ,
( ) .
f x M x D
f x M
− ≥ − ∀ ∈


− = −


Theo định nghĩa của giá trị nhỏ nhất, suy ra
min( ( )) .
x D
f x M
∈
− = −

Như vậy ta đi đến
max ( ) min( ( ))
x D
x D
f x f x
∈
∈
= − − ⇒

.
Khi đó ta có:
max ( ) max ( )
x D x D
f x g x
∈ ∈
≥
.
Chứng minh: Giả sử
0
max ( ) ( )
x D
g x g x
∈
=
, với
0
x D∈
.
Ta có:
0 0
( ) ( ), ( ) ( )f x g x x D f x g x≥ ∀ ∈ ⇒ ≥
Do
0 0
max ( ) ( ) ( ) max ( )
x D x D
f x f x g x g x
∈ ∈
≥ ≥ = ⇒
đpcm.

b,
{ }
1 2
min ( ) min min ( ), min ( )
x D x D x D
f x f x f x
∈ ∈ ∈
=
. (2)
Chứng minh :
Ta chứng minh (1). Vì
, 1,2
i
D D i⊆ =
nên theo tính chất 3, ta có:
1
max ( ) max ( )
x D x D
f x f x
∈ ∈
≤
;
2
max ( ) max ( )
x D x D
f x f x
∈ ∈
≤
(3)
Từ (3) suy ra

x
phải thuộc về ít nhất một
trong hai tập
1 2
, . D D
Từ đó có thể cho là (mà không làm giảm sự tổng quát)
0 1
x D∈
.
Từ
0 1
x D∈
nên theo định nghĩa về giá trị lớn nhất, ta có:
1
0
( ) max ( ).
x D
f x f x
∈
≤
(5)
Hiển nhiên
{ }
1 2
max ( ) max max ( ); max ( ) .
x D x D
f x f x f x
∈ ∈
≤
(6)

1 2
( ), ( ), , ( )
n
f x f x f x
cùng xác định trên miền D.
Đặt
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
n
f x f x f x f x= + + +
. Nếu tồn tại
max ( )
x D
f x
∈
,
min ( )
x D
f x
∈
,
max ( )
i
x D
f x
∈
,
min ( )
i
x D

x D x D x D x D
f x f x f x f x
∈ ∈ ∈ ∈
≤ + + +
. (2)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D∈
sao cho:
min ( ) ( ), 1,
i i o
x D
f x f x i n
∈
= ∀ =
.
Chứng minh:
Ta chứng minh (1)
Lấy tùy ý
x D
∈
. Theo định nghĩa của giá trị lớn nhất ta có:
( ) max ( ), 1, .
i i
x D
f x f x i n
∈
≤ ∀ =
( 3)
Cộng từng vế n bất đẳng thức (3), ta có:

∈
= ∀ =

Từ đó ta có
1 1 0 0 0
max ( ) max ( ) ( ) ( ) ( )
n n
x D x D
f x f x f x f x f x
∈ ∈
+ + = + + =
(6)
Do
0
( ) max ( )
x D
f x f x
∈
≤
, nên từ (6) suy ra
1
max ( ) max ( ) max ( )
n
x D x D x D
f x f x f x
∈ ∈ ∈
+ + ≤
(7)
Từ (5) và (7) suy ra trong trường hợp này xảy ra dấu bằng trong (1).
Đảo lại, giả sử dấu bằng trong (1) xảy ra, tức là

1, k n∈
mà
0
( ) max ( )
k k
x D
f x f x
∈
<
, suy ra
(*) không còn đúng nữa (vế trái lớn hơn vế phải)
Vậy tính chất 5a được chứng minh
Chứng minh tương tự
1 2
min ( ) min ( ) min ( ) min ( )
n
x D x D x D x D
f x f x f x f x
∈ ∈ ∈ ∈
≤ + + +
.
Tính chất 6
Giả sử
1 2
( ), ( ), , ( )
n
f x f x f x
cùng xác định trên miền D và ta có
( ) 0
i

1 2
( ) ( ). ( ) ( )
n
f x f x f x f x=
. Khi đó ta có:
a,
( ) ( ) ( )
1 2
max ( ) max ( ) max ( ) max ( )
n
x D x D x D x D
f x f x f x f x
∈ ∈ ∈ ∈
≤
; (1)
b,
( ) ( ) ( )
1 2
min ( ) min ( ) min ( ) min ( )
n
x D x D x D x D
f x f x f x f x
∈ ∈ ∈ ∈
≥
(2)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D∈
sao cho
0

( )g x
,
( )h x
trên D. Khi đó ta có:
a,
max ( ) max ( ) min ( )
x D
x D x D
h x f x g x
∈
∈ ∈
≤ −
; (1)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D∈
sao cho:
( )
0
max ( )
x D
f x f x
∈
=
;
0
min ( ) ( )
x D
g x g x
∈

Theo tính chất 5, ta có:
max ( ) max ( ) max( ( )).
x D x D x D
h x f x g x
∈ ∈ ∈
≤ + −
(3)
Theo tính chất 2, ta có:
[ ]
max( ( )) min ( ( )) min ( ).
x D x D
x D
g x g x g x
∈ ∈
∈
− = − − − = −
(4)
Thay (4) vào (3) ta có
max ( ) max ( ) min ( ).
x D
x D x D
h x f x g x
∈
∈ ∈
≤ −
Vậy (1) đúng.
Vẫn theo tính chất 5 thì dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D∈
sao

( )g x
là hai hàm số cùng xác định và dương khi
x D∈
. Đặt
( )
( )
( )
f x
h x
g x
=
. Nếu tồn tại các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số
( )f x
,
( )g x
,
( )h x
trên D. Khi đó ta có:
max ( )
max ( )
max ( )
x D
x D
x D
f x
h x
g x
∈
∈
∈

x D
g x g x
∈
=
.
Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi tồn tại
0
x D∈
sao cho:
0
min ( ) ( )
x D
f x f x
∈
=
;
0
max ( ) ( )
x D
g x g x
∈
=
.
Chứng minh:
Tính chất 8 suy ra trực tiếp từ tính chất 6 với chú ý rằng (do
( ) 0f x >
,
( ) 0g x >
,
x D∀ ∈

.
b, Giả sử
( )f x
là hàm số xác định trên D và
( ) 0f x ≥
,
.x D∀ ∈
Khi đó, với mọi n
nguyên dương, ta có:

2
2
max ( ) max( ( ))
n
n
x D x D
f x f x
∈ ∈
=
;

2
2
min ( ) min( ( ))
n
n
x D x D
f x f x
∈ ∈
=

max ( ) max max ( ) ; max( ( ))
x D x D x D
f x f x f x
∈ ∈ ∈
= −
(2)
Lấy tùy ý
0
x D∈
, khi đó xảy ra hai khả năng sau:
1. Nếu
0
( ) 0f x ≥
. Khi đó ta có
0 0
( ) ( ) max ( ) max ( ) .
x D x D
f x f x f x f x
∈ ∈
= ≤ ≤
(3)
Từ (3) hiển nhiên suy ra
{ }
( ) max max ( ) ; max( ( )) .
x D x D
f x f x f x
∈ ∈
≤ −
(4)
2. Nếu

(6)
Không giảm tính tổng quát có thể cho là:
{ }
max max ( ) ; max( ( )) max ( )
x D x D x D
f x f x f x
∈ ∈ ∈
− =
(7)
Giả sử
0 0
max ( ) ( ) ,
x D
f x f x x D
∈
= ∈
(8)
Từ (7), (8) suy ra

{ }
0
( ) max max ( ) ; max( ( ))
x D x D
f x f x f x
∈ ∈
= −
(9)
Từ (6), (9) và theo định nghĩa giá trị lớn nhất của hàm số, ta có ngay

{ }

1
x
,
2
x
, ,
n
x D∈
sao cho
'
( ) 0f x =
.
Lập bảng biến thiên.
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )y f x=
.
Chú ý:
1, Nếu
( )f x
có tập xác định
[ ]
; D a b=
, thì không cần lập bảng biến thiên, chỉ cần:
- Tìm các điểm
1
x
,
2
x
, ,


n
x a b
f x f a f b f x f x f x
∈
=[ ]
{ }
1 2
;
min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )n
x a b
f x f a f b f x f x f x
∈
=
.
2, Nếu hàm số
( )y f x=
liên tục và có đạo hàm trên
[ ]
; D a b=
. Ta có: Hàm
f

tăng (giảm) trên

=
Nếu
f
giảm trên
[ ]
; D a b=
thì:
min ( ) ( )
x D
f x f b
∈
=
,
max ( ) ( )
x D
f x f a
∈
=
.
1.2 Ví dụ áp dụng
Giải
Tập xác định:
D = ¡
.
Ta có:
2 2
'
2 2 2 2
( 1) (2 1)( 1) 2
( 1) ( 1)
1
3
−
1
0
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2
1
1
x
y
x x
+
=
+ +
.
Dựa vào bảng biến thiên ta được:
Giá trị lớn nhất của y là 1, đạt được khi
0x =
.
Giá trị nhỏ nhất của y là
1
3
−
, đạt được khi
2x
= −

2
( 1)( 3)
0
( 2)

t t
t
+ +
= >
+
với
0t ≥

Do đó
( ) 0y t ≥
. Vậy:
1
min
2
y =
khi
1x
=
.
Giải
Xét trên đoạn
[ ]
2 ; 0 −

2


1 1
ln 2
2 4
y
 
− = −
 ÷
 

Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
.
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2
ln(1 2 )y x x= − −
trên đoạn
[ ]
2 ; 0 −
.

(0) 0y =

Vậy
[ ]
2 ; 0
max ( ) 4 ln5

y x
−

 
 
.
Do đó:
1
max
4 4 2
y y
π π
 
= = +
 ÷
 min (0) 1y y= =
.
LƯU Ý:
Phương pháp đạo hàm được sử dụng rộng rãi để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số.
2. Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số
2.1 Kiến thức cơ bản
 Định nghĩa miền giá trị của hàm số:
Cho hàm số
( )y f x=
có miền xác định D. Khi đó hàm số có miền giá trị:

{ }
( ) / ( ), f D y y f x x D= ∈ = ∈¡
.

.
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
cosy x x= +
trên
0 ;
4

π
 
 
 
.
3. Nếu
0
m y M≤ ≤
thì
max ( )
x D
f x M
∈
=
và
min ( )
x D
f x m
∈
=
.
LƯU Ý:

x x
y
x x
+ +
=
+ +
(1) có nghiệm
Vì
2
2 10 0,x x x+ + > ∀
nên
2 2
0
(1) 2 7 23 ( 2 10)x x y x x⇔ + + = + +2
0 0 0
(y 2) (2 7) 10 23 0x y x y⇔ − + − + − =
(2)
Nếu
0
2y =
, khi đó (2) có dạng:
3 3 0x
− − =

1x
⇔ = −


5
max ( ) 2
2
x
f x x
∈
= ⇔ =
¡3
min ( ) 4
2
x
f x x
∈
= ⇔ = −
¡
.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
, với .
Giải
Miền xác định:
D = ¡
.
0
y
thuộc miền giá trị hàm số khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm:
0
2

0y ≠
thì (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
2 2 2
0 0 0 0
0 4( ) 0 4 4 0a y b y y by a∆ ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + + ≥

0
y
phải thay đổi từ -1 đến 4, nghĩa là tam thức
2 2
0 0
4 4 0y by a− + + ≥

phải có nghiệm là -1 và 4 (vì
4 0− <
).
Theo định lí Vi-ét ta có:
2
4
4
4
3
3
a
a
b
b

= ±


x
.
0
y
thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm:
0 0 0 0
2 cos
sin ( 1)cos 2(1 )
sin cos 2
x
y y x y x y
x x
+
= ⇔ + − = +
+ −
(1)
(1) có nghiệm
2 2 2
0 0 0
4(1 ) ( 1)y y y⇔ + ≤ + −
Ví dụ 2: Xác định các tham số a, b sao cho hàm số
2
1
ax b
y
x
+
=
+
đạt giá trị lớn nhất

y
thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình

0
cos 2sin 3
2cos sin 4
x x
y
x x
+ +
=
− +
(1) có nghiệm thuộc khoảng
( )
;
π π
−
Ta có:
(1)
0 0 0
(2 1)cos ( 2)sin 3 4y x y x y⇔ − − + = −
(2)
(2) có nghiệm
2 2 2
0 0 0
(3 4 ) (2 1) ( 2)y y y⇔ − ≤ − + +2
0 0 0

.
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
cos 2sin 3
2cos sin 4
x x
y
x x
+ +
=
− +

trong khoảng
( )
;
π π
−
.
Hàm số xác định với mọi
1x ≥ −
. Ta có:
3 3 3 3
1 2 1 1 1 2 1 1y x x x x= + + + + + + − + +
(
)
(
)
2 2
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2x x x x x x= + + + + − = + + + − + ≥ + + + − + =
Dấu “=” xảy ra khi


2
2
3 5 3 5 3
2 3sin 6sin 3 2 3 sin
2 2 2 2 2 2
B B B
 
≤ − + + ≤ − − + ≤
 ÷
 

Suy ra:
0
0
cos 1
30
5 3
2
max
2
3
120 .
sin
2 2
A C
A C
P khi
B
B

2 1 0
min 0
2 5 0
x y
A
x ay
− + =

= ⇔

+ + =

có nghiệm
1 2
0
2
D
a
−
⇔ = ≠4a
⇔ ≠ −

b, Với
4a
= −
. Khi đó
2 2

 ÷  ÷
   

Suy ra :
9
min
5
A =
khi
6 6
2 1
5 5
t x y= − ⇔ − + = −
.
Giải
Ta có:
2 2
4 5 2 2 8 2A x y xy x y= − − + + +2 2 2 2
4 ( 2 ) (4 8 ) ( 2 )x y xy x x y y= − + − − − − −

=
2 2 2
9 ( ) 4( 1) ( 1) 9x y x y− − − − − − ≤

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
0
1 1


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 2

n
a a a= = =
.
• Nếu
1 2

n
a a a P=
không đổi thì
1 2

n
a a a S+ + + =
đạt giá trị nhỏ nhất là
.
n
n P
khi và chỉ khi
1 2

n
n
a a a P= = = =

Ví dụ 4 : Tìm giá tri lớn nhất của biểu thức:
2 2

4.2 Ví dụ áp dụng
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho 2 số không âm
1
3
x+
và
2
3
x−
, ta được

1 2 1 2 3
3 3 2. 3 .3 2. 3 6 3
x x x x
y
+ − + −
= + ≥ = =

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 2
3 3 1 2
x x
x x
+ −
= ⇔ + = −1
2

 
≤ =
 
 
Dấu “=” xảy ra khi
6 2 12 3 2 3x y x y− = − = +
hay
0x =
;
2y =
.
Vậy
max 6A
=
khi
0x
=
;
2y =
.
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
, trong đó , ,.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 2
3 3
x x
y
+ −
= +
.

c
− − + −
− = = − ≤ = ⇔ ≤

Dấu “=” xảy ra khi:
2 2 4c c− = ⇔ =
.
Tương tự:
3 1
2 3
a
a
−
≤
. Dấu “=” xảy ra khi:
3 3 6.a a
− = ⇔ =

4 1 1
.
4
2 4
b
b
−
≤ =
Dấu “=” xảy ra khi
4 4 8b b− = ⇔ =
.
Vậy:

P
x y z x y z
 
= − + − + − = − + +
 ÷
+ + + + + +
 
Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si, ta có:
1 1 1
( 1 1 1) 9
1 1 1
x y z
x y z
 
+ + + + + + + ≥
 ÷
+ + +
 

1 1 1 9 9
.
1 1 1 3 4x y z x y z
⇔ + + ≥ =
+ + + + + +

Suy ra:
9 3
3 .
4 4
P ≤ − =


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 2
1 2
( 0, 1, )
n
i
n
aa a
b i n
b b b
= = = ≠ ∀ =
.
5.2 Ví dụ áp dụng
Giải
Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.
16 ( ) ( )( ) ( )xy yz zx x y z y z x x y z= + + ≤ + + + + = + +

Do đó:
2 2 2
4.x y z+ + ≥

Ví dụ 1: Ba đại lượng biến thiên
x
,
y
,
z
luôn thỏa mãn điều kiện