BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC TRẦN THỊ MƠ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC
TRONG LƯỢNG GIÁC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Sơn La, tháng 5 năm 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các
bạn sinh viên để khóa luận của tôi thêm hoàn thiện.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013
Người thực hiện khóa luận
Trần Thị Mơ
MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn khóa luận 1
2. Mục đích nghiên cứu 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
4. Giả thiết khoa học 1
5. Đối tượng nghiên cứu 1
6. Phương pháp nghiên cứu 2
7. Đóng góp của khóa luận 2
8. Cấu trúc của khía luận 2
PHẦN NỘI DUNG 3
Chương 1: SỐ PHỨC 3
1.1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức 3
1.2. Các dạng biểu diễn số phức 4
1.2.1. Biểu diễn số phức dưới dạng cặp 4
1.2.2. Biểu diễn số phức dưới dạng đại số 7
1.2.3. Biểu diễn hình học của số phức 7
1.2.4. Biểu diễn số phức nhờ ma trận 8
1.2.5. Số phức dưới dạng lượng giác 10
1.2.5.1. Argument của số phức 10
1.2.5.2. Dạng lượng giác của số phức 10
1.2.5.3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác 11

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn khóa luận
Số phức ra đời do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những phương
trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ và
giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật. Đối với học sinh bậc
Trung học phổ thông thì số phức là một nội dung còn mới mẻ.Với thời lượng
không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức còn rất cơ bản của số
phức. Việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt việc sử
dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán lượng giác là một vấn đề
khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất định, biết vận dụng kiến
thức đa dạng của Toán học. Có nhiều tài liệu nghiên cứu về số phức nhưng tài
liệu ứng dụng nó trong lượng giác thì chưa nhiều và chưa đưa ra đầy đủ về một
vấn đề cụ thể mà chỉ trên cơ sở lí thuyết chung chung và tổng quát.Với mong
muốn tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản về số phức và tìm hiểu sâu hơn các
ứng dụng của số phức vào giải các bài toán trong lượng giác. Do vậy tôi chọn
khóa luận: “Số phức và ứng dụng của số phức trong lượng giác”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu số phức, các dạng biểu diễn của số phức, ứng dụng số phức
để giải một số dạng bài toán trong lượng giác.
- Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về số phức và ứng dụng của số phức trong lượng giác cụ thể
là nghiên cứu kỹ cơ sở lý thuyết của số phức, sử dụng số phức vào giải một số
bài toán lượng giác, phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho
từng dạng cụ thể.
4. Giả thiết khoa học
Nếu biết cách phân loại các bài toán trong lượng giác và sử dụng số
phức hợp lý sẽ giúp học sinh giải các bài toán lượng giác một cách đơn giản và
dễ dàng hơn.

3
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: SỐ PHỨC
1.1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức
Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỷ XVI. Đó là thời kì Phục Hưng của toán
học châu Âu sau đêm dài trung cổ. Các đại lượng ảo:

1,b 1,a b 1   

xuất hiện đầu tiên từ thế kỷ XVI trong các công trình của các nhà toán học Italy
như: công trình: “ Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số” (1545) của
G.Cacrdano (1501-1576) và công trình: “Đại số” (1572) của R.Bombelli(1530-
1572).
Khi giải phương trình bậc hai của G.Cacrdano và R.Bombelli đã đưa vào
xét kí hiệu
1
là lời giải hình thức của phương trình
2
x 1 0
, xét biểu thức
b1
là nghiệm hình thức của phương trình
22
x b 0






Cardano đã tìm được nghiệm
55
và
55
và ông đã gọi nghiệm
này là “âm thuần túy” hay gọi là “nghiệm âm ngụy biện”.
Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại
chính là nhà toán học Italy R Bombelli. Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã
định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo
nên lý thuyết các số “ảo”.

4
Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K.Gaus (năm 1831). Vào thế
kỉ XVII- XVIII nhiều nhà toán học khác cũng nghiên cứu các tính chất của đại
lượng ảo (số phức!) và khảo sát ứng dụng của chúng. Chẳng hạn, L.Euler mở
rộng khái niệm logarit cho số phức bất kỳ (năm 1738), còn A.Moivre nghiên
cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736).
Lý thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số
thực có thứ tự
(a;b); a ; b
được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là
W.Hamilton (1837). Ở đây đơn vị “ ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ
tự - cặp
(0;1)
. Cho đến thế kỷ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận

a;b
gọi là các thành
phần của chúng. Người đầu tiên cố gắng nêu rõ đặc trưng của các phép toán
bằng ngôn ngữ các thành phần không cần nhắc đến kí hiệu “nghi vấn” i là
Hamilton. Cụ thể ông đã diễn tả mỗi số phức bởi một cặp số thực (có thứ tự)
thông thường.

5
Định nghĩa 1.1. Một cặp số thực có thứ tự (a;b), a

, b

được gọi là một
số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phép cộng và phép
nhân được đưa vào theo các định nghĩa (tiên đề) sau đây:
i) Quan hệ đồng nhất trong tập số phức:
ac
(a;b) (c;d)
bd







Chú ý: Hai số phức bằng nhau
(a;b)
và
(c;d)

(ac bd;ad bc)
và cặp
(ac bd;ad bc)
được gọi là tích của các cặp
(a;b)
và
(c;d)
.
iv) Số thực trong tập số phức: Cặp
(a;0)
được đồng nhất với số thực a,
nghĩa là:
(a;0): a
hay là
(a;0) a
.
Tập hợp các số phức được kí hiệu là .
Như vậy, mọi phần của định nghĩa số phức đều được phát biểu bằng ngôn
ngữ số thực và các phép toán trên chúng.
Trong định nghĩa này ba tiên đề đầu thực chất là định nghĩa khái niệm
bằng nhau, khái niệm tổng và khái niệm tích của các số phức. Tiên đề iv) tương
thích với tiên đề i),ii) ,iii). Thật vậy:
i)-iv): Giả sử hai số thực a và b bằng nhau như những cặp dạng đặc biệt
đồng nhất với chúng:
(a;0) (b;0)
. Khi đó theo tiên đề i) ta có:

(a;0) (b;0) a b  

tức là chúng bằng nhau theo nghĩa thông thường.

iii)-iv): Theo tiên đề iii), tích các số thực
a
và
b
được xét như những cặp
(a;0)
và
(c;0)
là bằng cặp:

(ac 0.0;a.0 0.c) (ac;0)  

và theo tiên đề iv) ta có
(ac;0) ac
. Như vậy

(a;0)
(c;0)
=
(ac;0) ac

tức là đồng nhất bằng tích a với c theo nghĩa thông thường.
Như vậy tiên đề iv) tương thích với các tiên đề i), ii), iii).
Lưu ý: Các công thức sau đây được suy ra trực tiếp từ iii) và iv):

(a;b) ( a; b), .    

Vai trò đơn vị trong tập hợp số phức là cặp
(1;0)
vì:


  


Như vậy tập hợp các số phức lập thành một trường. Trường đó có tính
chất:
(a)
.

(b) Phương trình
2
x 1 0
có nghiệm trong . Đó là cặp
(0;1)
và
(0; 1)
.
Dưới dạng cặp các phép toán trên được thực hiện theo các quy tắc:
(i)
1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
(a ;b ) (a ;b ) (a a ;b b ); (a ;b ) (a ;b ) (a a ;b b ).       

(ii)
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
(a ;b )(a ;b ) (a a b b ;a b a b ).  

(iii)
1 1 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2

Biểu thức
 
a;b a bi
được gọi là dạng đại số của số phức.
Số phức
z a bi

 
a;b
: a được gọi là phần thực của số phức đó
và kí hiệu Rez; b được gọi là phần ảo của số phức đó và kí hiệu là Imz.
Các phép toán (i)-(iii) đối với các số phức viết dưới dạng đại số
1 1 1 2 2 2
z : (a b i); z : (a b i)   
được định nghĩa như sau:

*
(i )

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z (a b i) (a b i) (a a ) (b b )i,        1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z (a b i) (a b i) (a a ) (b b )i,        *
(ii )


,

z z 2
i
Imz
,

2
zz z
, trong đó
22
z r z.z a b   

Số
22
z r z.z a b   
được gọi là module của số phức
z
. Đối với
số phức
12
z ;z 
, ta luôn có:

1 2 1 2 1 2
z z z z z z    
.
1.2.3. Biểu diễn hình học của số phức
Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm
M(a;b)

tử của trường được gọi là mặt phẳng phức.
Trục hoành của mặt phẳng tọa độ gọi là trục thực (do các điểm của nó
tương ứng với các số
(a;0) a
) còn trục tung gọi là trục ảo (do các điểm
của nó tương ứng với các số thuần ảo (0; b) = bi).
Số phức
z a bi
cũng có thể biểu diễn bởi một vectơ đi từ gốc tọa độ
với các hình chiếu a và b trên các trục tọa độ. Như vậy, vectơ
z a bi
bằng
bán kính vectơ của điểm z.
Với cách biểu diễn số phức dưới dạng vectơ đi từ gốc tọa độ, các phép
cộng và trừ các số phức được thực hiện theo phép cộng và trừ các vectơ. Nhưng
phép nhân và phép chia cần thực hiện theo quy tắc
*
(ii )
và
*
(iii )
vì trong đại số
vectơ không có các quy tắc tương tự trực tiếp như vậy.
1.2.4. Biểu diễn số phức nhờ ma trận
Xét tập hợp các ma trận cấp hai dạng đặc biệt trên trường số thực

ab
M: a;b
ba






cd
dc





=
a c b d
(b d) a c



  

(1.2)

ab
ba




.
cd
dc

M
:=
a0
a
0a








là đẳng cấu với tập hợp các số thực trong . Trong phép đẳng cấu này mỗi số
thực a tương ứng với ma trận
a0
0a



.
Từ đó có thể đồng nhất ma trận
a0
0a



với số thực a.
Nếu ta xét một ma trận tùy ý của M thì


.
Từ đó, ma trận
01
j
10





có vai trò như đơn vị ảo.

10
1.2.5. Số phức dưới dạng lượng giác
1.2.5.1. Argument của số phức
Cho số phức
z a bi 0  
. Với
22
r : z a b  
ta có:

22
ab
1
rr
   

   
   







và
0

được gọi là argument chính của số phức z. Kí hiệu: argz.
Ta nói mọi số thực

sao cho:
 
z r cos isin  
được gọi là argument
của số phức z.
Nếu

là một argument của z thì mọi argument của z có dạng
k2  
,
k
.
Tập hợp tất cả các argument của z được kí hiệu và xác định:

 
Argz= argz k2 :k  
.
Argz có các tính chất sau:

rcos
, Imz = b =
rsin
.
Trong đó: (a) độ dài bán kính véctơ r :=
22
z zz a b  
,
(b) góc cực
Arg
được gọi argument của z.
Biểu thức (1.4) được gọi là dạng lượng giác hay dạng cực của số phức
z a bi
.

11
1.2.5.3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Ta đã biết công thức nhân và chia số phức dưới dạng đại số. Sau đây là
định lí nêu lên công thức nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác; chúng cho
các quy tắc tính toán đơn giản về nhân và chia số phức.
Định lí 1.1. Nếu
 
z r cos isin  
,

 
' ' ' '
z r cos isin   

 


     


 
' ' ' ' '
rr cos cos sin sin i sin cos cos sin

           
   
' ' '
rr cos isin

       

.
Mặt khác, ta có:
   
11
cos isin
zr
   



z
. Ta nói w là căn bậc n của z nếu:

n
wz
.
Với
z0
, đặt
 
z r cos isin  
và
 
w cos +isin   
. Khi đó:

12

   
n
cosn isinn r cos isin       
.
Từ đó ta có:
n
r2k
n
  




.
1.2.6. Dạng mũ của số phức
Với mọi số thực

:
i
cos isin e

  
(1.5)
Dạng lượng giác (1.4) được biến đổi thành dạng mũ
i
z re



đó là dạng số mũ của số phức
z0
.
Dễ thấy: nếu
1
i
11
z re


và


ii
ii
1
cos (e ie )
2
1
sin (e e )
2i
  
  

  




  


(1.6)
Các công thức (1.6) được gọi là công thức Euler.
1.2.7. Biểu diễn số phức trên mặt cầu Riemann
Trong không gian Euclide ba chiều với hệ tọa độ Đềcác vuông góc
( ; ; )  
ta xét mặt cầu với tâm tại điểm (0; 0;
1
2
) với bán kính bằng
1

Ta xét phép chiếu

với cực bắc tại điểm P(0; 0; 1). Giả sử
z
là điểm tùy ý.
Nối điểm
z
với cực bắc P bằng đoạn thẳng, đoạn thẳng này cắt mặt cầu S tại
điểm A(z). Và ngược lại, giả sử A

S là một điểm tùy ý của mặt cầu. Khi đó PA
sẽ cắt mặt phẳng phức tại điểm z. Hiển nhiên đó là một phép đơn trị một-một.
Định nghĩa 1.3. Phép tương ứng
: z A(z) S  

như đã mô tả ở trên được gọi là phép chiếu nổi với cực tại điểm P. Điểm A(z)


S được gọi là ảnh nổi hay là ảnh cầu của điểm z.
Định lý 1.2. Trong phép chiếu nổi
: z A(z) S  

điểm
z x iy  
sẽ tương ứng với điểm A(z)

S có tọa độ là

2
2 2 2

     
(1.8)
Nếu
22
2
2
z
(1 )
  


và
2
22
11
24

      


thì
2
z
1



,
và do đó
2


) được gọi là mặt phẳng phức mở rộng và kí hiệu là .
1.2.8. Khoảng cách trên
Ta đưa vào trong hai mêtric, trong mêtric thứ nhất khoảng cách giữa
hai điểm
12
z ,z 
được giả thiết bằng:

22
1 2 1 2 1 2 1 2
d d (z ;z ): z z (x x ) (y y ) .      

Mêtric này là mêtric Euclide thông thường trong mặt phẳng
2
. Trong
mêtric thứ hai (gọi là mêtric cầu) khoảng cách giữa hai điểm
12
z ;z 
được
hiểu là khoảng cách (trong không gian
;;  
) giữa các ảnh cầu của chúng.
Khoảng cách này được gọi là khoảng cách cầu hay khoảng cách Jordan giữa hai
điểm
12
z ;z 
:
12
d def d (z ;z )

2
1
1
d (z ; )
1z


(1.10)
và khoảng cách cầu thỏa mãn các tiên đề thông thường của một mêtric.
Chứng minh
Thật vậy, từ công thức (1.7) ta có:

1
2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
d (z ;z ) [( - ) +( - ) +( - ) ]      

=
1
2 2 2 2 2 2
2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
[ 2 2 2 ]                   1
2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2


22
12
12
2 2 2 2
1 2 1 2
zz
yy
(1 z )(1 z ) (1 z )(1 z )






   



 
1
2 2 2 2 2 2
2
1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
22
12
z (1 z ) z (1 z ) 2(x x y y ) 2 z z


12
22
12
zz
1 z 1 z




Vậy
12
12
11
22
22
12
zz
d (z ;z )
(1 z ) .(1 z )



.
Ta được điều phải chứng minh.
Trường hợp:
2

d (z ;z ) d (z ;z )
.Ta phải chứng minh:

1 3 1 2 2 3
d (z ;z ) d (z ;z ) d (z ;z )
.
Đối với
1 2 3
z ;z ;z
ta có:

1 2 3 3
(z z )(1 z z )
1 3 2 3 3 2 1 3
(z z )(1 z z ) (z z )(1 z z )     
.

16
Từ đó:
 
2
1 2 3 1 3 2 3 3 2 1 3
z z (1 z ) z z 1 z z z z (1 z z )       
(1.11)
Vì
22
(1 uv)(1 uv) (1 u )(1 v )    
cho nên:

2
17
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC

2.1. Tính toán và biểu diễn một số biểu thức
Trong phần này, ta xét một số tính toán trên các số phức cụ thể.
2.1.1. Kiến thức sử dụng
+) Số phức
z a bi

 
a;b
: a được gọi là phần thực của số phức đó và kí
hiệu Rez; b được gọi là phần ảo của số phức đó và kí hiệu là Imz.
+) Dạng
 
z r cos sin  
với r > 0 là dạng lượng giác của số phức
z a bi 0  

 
a;b
.Trong đó: r là môđun của z,

z r cos isin  
,
 
' ' ' '
z r cos isin   

 
'
r 0,r 0
,
ta có:
   
' ' ' '
zz rr cos isin

       

,

   
''
''
zr
cos isin
zr

       

(khi
r0

cosnx
,
sinnx
,
tannx

Theo công thức Moivre ta có:
 
n
cosnx isinnx cosx isinx  
.
Mặt khác theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

   
n
nk
k n k
n
k0
cosx isinx C cos x isinx




.
Ta có:
4m
i1
,
4m 1

2
1 sin x
nếu n chẵn, A =
 
n1
n 1 n 1
2
n
1 C cosxsin x



nếu n lẻ.



1 n 1 3 n 3 3
nn
sinnx C cos xsinx C cos xsin x B

   
,
với
 
n2
n 1 n 1
2
n
B 1 C cosxsin x


+) Tuyến tính hóa
n
sin 
và
n
cos 

Giả sử
z cos isin  
. Khi đó:
1
1
z cos isin
z

    
.
Do đó:
1
2cos z
z
1
2isin z
z

  







.



2m 2m 2m 1 2m 2
2m
2m 2m 2
11
2 cos z C z
zz


   
      
   
   
m 1 2 m
2m 2m
2
1
C z C
z


  


.

 
m1
2m 1
2m m k
2m 2m
k0
1
cos 2 C C cos 2 m k
2




     



.

19
Vậy
 
n
1
n
2
n1
nk
2
nn

2 1 sin z C z
zz


   
      
   
      
m 1 m
m 1 2 m
2m 2m
2
1
1 C z 1 C
z



    


.

 
 
1
2m


.

 
 
 
m
m1
2m 1
2m m m k k
2m 2m
k0
( 1)
sin 2 ( 1) C ( 1) C cos 2 m k
2





       



.
Vậy
 
n
n
1

.



2m 1 2m 1 2m 1 1 2m 1
2m 1
2m 1 2m 1
11
2 cos z C z
zz
   


   
      
   
   
m
2m 1
1
C z
z





.

 

2
n (n 1) k
n
k0
cos 2 C cos n 2k



   

.



 
m
2m 1 2m 1 2m 1 1 2m 1
2m 1
2m 1 2m 1
11
2 i 1 sin z C z
zz
   


   
       
   
   



1
2m 1
2i sin(2m+1) C sin(2m 1)


      
mm
2m 1
( 1) C sin


  

.

     
 
m
mk
2m 1 2m k
2m 1
k0
sin 2 1 1 C sin 2m 1 2k











.
Lời giải
Ta có:
1
z cos isin cos +isin
3 3 3 3
   
   
    
   
   
,

2
z 3 i 2 cos sin
66


   


,

2 cos isin
66
33
2 cos isin
44
   
   
  
   

   






