đại học tháI nguyên
TRNG I HC KHOA HC

Lý minh thùy Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn
trong không gian hilbert luận văn thạc sĩ toán học TháI nguyên, 2014
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Danh mục ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu.
Tác giả
Lý Minh Thùy
2
DANH MỤC KÝ HIỆU
X Không gian Banach thực
H Không gian Hilbert thực
∅ Tập rỗng
∀x Với mọi x
∃x Tồn tại x
D(T ) Miền xác định của toán tử T
Fix(T ) Tập các điểm bất động của toán tử T
x
n
→ x Dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x
x
n
 x Dãy {x
n
} hội tụ yếu tới x
3
MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác
nhau của toán học như giải tích số, phương trình vi phân, phương
trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, bài toán
chấp nhận lồi, bài toán cân bằng . . . .
Cho H là một không gian Hilbert thực;C là một tập con lồi,đóng,khác
rỗng của H; T : C → H là một ánh xạ phi tuyến. Điểm x

Bài toán điểm bất động của ánh
xạ không giãn
Trong chương này, trước hết chúng tôi giới thiệu về không gian
Hilbert thực, ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert nhằm trang
bị những kiến thức cần thiết cho việc trình bày phương pháp xấp xỉ
điểm bất động của ánh xạ không giãn. Tiếp đó, chúng tôi trình bày về
bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn và một số phương pháp
lặp cổ điển giải bài toán này như phương pháp lặp Mann, phương pháp
lặp Ishikawa và phương pháp lặp Halpern. Các kiến thức của chương
này được tham khảo trong các tài liệu [1]-[7].
1.1 Không gian Hilbert
Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số kết quả về
không gian Hilbert thực H.
Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính trên R. Một
tích vô hướng trong H là một ánh xạ, ký hiệu ·, · : H × H → R thỏa
mãn các điều kiện sau:
6
i) x, x > 0, ∀x = 0, x, x = 0 ⇔ x = 0;
ii) x, y = y, x, ∀x, y ∈ H;
iii) αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R;
iv) x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ H.
Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng ·, · được gọi là
không gian tiền Hilbert.
Nhận xét 1.1. i) Không gian tiền Hilbert là một không gian định
chuẩn với chuẩn:
||x|| = x, x
1
2
, ∀x ∈ H.
ii) Đẳng thức hình bình hành luôn thỏa mãn trong không gian tiền

[a, b] là các không gian Hilbert với
7
tích vô hướng được xác định tương ứng là:
x, y =
n

i=1
x
i
y
i
, x = (x
1
, x
2
, , x
n
), y = (y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ R
n
;
x, y =
b

a

} ⊂ C đều có giới hạn thuộc C, tức là
∀{x
n
} ⊂ C : x
n
→ x ⇒ x ∈ C.
Ví dụ 1.3. Hình cầu đóng B(x, r) tâm x, bán kính r là tập đóng.
Bổ đề 1.1. Giả sử H là không gian Hilbert thực, C là một tập con
lồi, đóng trong H và các điểm x, y, z ∈ H. Với một số thực a bất kỳ,
tập hợp
v ∈ C : y − v
2
≤ x − v
2
+ z, v + a
là tập lồi đóng trong H.
8
1.2 Ánh xạ không giãn
Cho H là không gian Hilbert thực, T : H → H là một ánh xạ với
miền xác định là D(T ), miền giá trị là R(T ).
Định nghĩa 1.6. Ánh xạ T : H → H được gọi là liên tục Lipschitz
nếu tồn tại một hằng số L > 0 thỏa mãn
T x − T y ≤ Lx − y, ∀x, y ∈ D(T ). (1.1)
Số L được gọi là hằng số Lipschitz của T .
Nếu L < 1 thì T là ánh xạ co và nếu L = 1 thì T là ánh xạ không
giãn, nghĩa là:
T x − T y ≤ x − y, ∀x, y ∈ D(T ). (1.2)
Sau đây là khái niệm và một số tính chất của phép chiếu mêtric.
Định nghĩa 1.7. Cho C là một tập con lồi ,đóng của không gian
Hilbert thực H, phép chiếu mêtric P

2
+ y
2

với mọi x, y ∈ C.
Do đó
x − y
2
= 2

x
2
+ y
2

− 4





x + y
2





2
(1.3)

0
nói trong định lý, nếu tồn tại, là duy nhất. Do định nghĩa của d, tồn
tại một dãy phần tử x
n
của C sao cho lim
n→∞
x
n
 = d. Theo (1.4), với
mọi n ta có
x
n
− x
m

2
≤ 2x
n

2
+ 2y
n

2
− 4d
2
.
Do đó lim
m,n→∞
||x

C
(x) với mọi x ∈ H;
(ii) P
C
là ánh xạ đơn điệu mạnh, nghĩa là:
x − y, P
C
(x) − P
C
(y) ≥ P
C
(x) − P
C
(y)
2
, ∀x, y ∈ H;
10
(iii) P
C
là ánh xạ không giãn, nghĩa là :
P
C
(x) − P
C
(y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H;
(iv) P
C
là ánh xạ đơn điệu, nghĩa là
P
C

C
(x) với mọi x ∈ H.
(ii) Với mọi x, y ∈ H, ta có
x − P
C
(x) , P
C
(x) − P
C
(y) ≥ 0
và
y − P
C
(y) , P
C
(x) − P
C
(y) ≥ 0.
Điều đó kéo theo
x − y, P
C
(x) − P
C
(y) ≥ P
C
(x) − P
C
(y)
2
.

0
− z ≥ 0 với mọi z ∈ C.
11
1.3 Bài toán điểm bất động
1.3.1 Bài toán điểm bất động
Định nghĩa 1.8. Phần tử x ∈ D(T ) trong không gian Hilbert H
được gọi là một điểm bất động của ánh xạ T : D(T ) ⊆ H → H nếu
x = T x.
Ký hiệu tập các điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ). Chú ý rằng
tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T : D(T ) ⊆ H → H trong
không gian Hilbert H, nếu khác rỗng, là một tập con lồi và đóng của
H.
Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau: Cho C là một tập
con lồi của không gian Hilbert H, T : C → H là một ánh xạ.
Hãy tìm phần tử x
∗
∈ C sao cho T x
∗
= x
∗
. (1.5)
Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.5) tương đương với
việc giải phương trình toán tử
T x − x = 0. (1.6)
Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của
Banach vào năm 1922. Nó được sử dụng để thiết lập sự tồn tại nghiệm
của phương trình tích phân. Kể từ đó, vì sự đơn giản và hữu dụng,
Định lý điểm bất động Banach đã trở thành một công cụ rất phổ biến
trong việc giải quyết các vấn đề tồn tại trong nhiều ngành của toán
học giải tích.

n−1
, x
n
)
≤ λ
2
d(x
n−2
, x
n−1
)
≤ . . .
≤ λ
n
d(x
0
, x
1
).
Lấy m > n, suy ra
d(x
n
, x
m
) ≤ d(x
n
, x
n+1
) + d(x
n+1

1 − λ
d(x
0
, x
1
) → 0 khi n → ∞.
Do đó {x
n
} là dãy Cauchy trong không gian mêtric đầy đủ X. Suy ra
dãy {x
n
} hội tụ tới ¯x ∈ X. Với mỗi n ta có:
0 ≤ d(¯x, T ¯x) ≤ d(¯x, x
n
) + d(x
n
, T ¯x)
= d(¯x, x
n
) + d(T x
n−1
, T ¯x)
≤ d(¯x, x
n
) + λd(x
n−1
, ¯x).
Vì dãy {x
n
} hội tụ về ¯x ∈ X nên d(¯x, x

,
x
2
= T x
1
= 1,
x
3
= T x
2
= 0,
.
.
.
x
2n
= T x
2n−1
= 1,
x
2n+1
= T x
2n
= 0,
.
.
.
không hội tụ tới điểm bất động duy nhất
1
2

, x
n
=
n

k=1
x
k
k
, n ≥ 0 (1.7)
hội tụ tới một điểm bất động của T .
Hầu hết các nghiên cứu về phương pháp lặp Mann với dãy {x
n
}
được xác định bởi:











x
0
∈ K,
x

α
n
= ∞.
Người ta gọi (1.7) là dãy lặp Mann tổng quát và (1.8) là dãy lặp
Mann.
Nakajo và Takahashi [7] đã đề xuất một cải tiến của phương pháp
lặp Mann cho trường hợp T là một ánh xạ không giãn trong không
15
gian Hilbert như sau:






















= {z ∈ C : ||y
n
− z|| ≤ ||x
n
− z||};
Q
n
= {z ∈ C : x
n
− z, x
0
− x
n
 ≥ 0};
x
n+1
= P
C
n
∩Q
n
(x
0
), n ≥ 0,
(1.9)
ở đây P
C
là phép chiếu mêtrix từ H lên tập con lồi ,đóng C của H.
Họ đã chứng minh được rằng nếu dãy {β
n












x
0
∈ C,
y
n
= (1 − β
n
) x
n
+ β
n
T x
n
,
x
n+1
= (1 − α
n
) x

)
∞

n=1
α
n
β
n
= ∞.
Chú ý rằng, ánh xạ T : K → K được gọi là giả co nếu
T x − T y
2
≤ x − y
2
+ (I − T )x − (I − T )y
2
, ∀x, y ∈ D(T )
trong đó I là toán tử đồng nhất. Từ định nghĩa này ta thấy mọi ánh
xạ giả co đều là ánh xạ không giãn.
• Phương pháp lặp Halpern
Phương pháp lặp Halpern được Halpern đề xuất năm 1967 trong
[4] dạng:
x
n+1
= α
n
u + (1 − α
n
)T (x
n

trong đó I là toán tử đơn vị trong H, và ông đã chứng minh rằng nếu
dãy số thực dương {µ
n
} được chọn sao cho µ
n
→ 0 khi n → ∞ và dãy
{x
n
} bị chặn, thì:
(i) tồn tại một điểm tụ yếu ¯x ∈ C của {x
n
};
(ii) tất cả các điểm tụ yếu của {x
n
} thuộc Fix(T );
(iii) nếu Fix(T ) chỉ gồm một điểm, tức là Fix(T ) = {¯x} thì dãy
{x
n
} hội tụ yếu đến ¯x.
17
1.4 Một số bổ đề bổ trợ
Bổ đề 1.3. Cho H là không gian Hilbert thực. Khi đó
||x − y||
2
= ||x||
2
− ||y||
2
− 2x − y, y, ∀x, y ∈ H.
Bổ đề 1.4. (Nguyên lý nửa đóng) Nếu C là tập con lồi, đóng ,khác

= x
n
− x, x
n
− x
= ||x
n
||
2
− 2x
n
, x + ||x||
2
= ||x
n
||
2
+ ||x||
2
− 2x
n
, x
−→ 2||x||
2
− 2||x||
2
= 0.
18
Chương 2
Xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ
































n
= β
n
x
0
+ (1 − β
n
)P
C
T z
n
;
H
n
= {z ∈ H : ||y
n
− z||
2
≤ ||x
n
− z||
2
+ β
n
(||x
0
||
2
+2x
n

được loại bài toán này.
Sự hội tụ mạnh của phương pháp (2.1) được trình bày trong định
lý sau đây:
Định lý 2.1. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không
gian Hilbert thực H và T : C → H là ánh xạ không giãn sao cho
Fix(T ) = ∅. Giả sử {α
n
} và {β
n
} là các dãy số trong [0, 1] thỏa mãn
α
n
→ 1 và β
n
→ 0. Khi đó, dãy {x
n
}, {y
n
} và {z
n
} được định nghĩa
bởi (2.1) hội tụ mạnh tới điểm u
0
= P
Fix(T)
(x
0
) khi n → ∞.
Chứng minh. Trước hết ta có bất đẳng thức
||y

, z ≤ x
n
− y
n
, x
n

−
1
2
||y
n
− x
n
||
2
+
β
n
2
||x
0
||
2
.
Vì vậy, H
n
là một nửa không gian.
Rõ ràng,
Fix(T

(p) ta có
||z
n
− p||
2
= ||α
n
P
C
(x
n
) − p + (1 − α
n
)P
C
T P
C
(x
n
)||
2
= ||α
n
(P
C
(x
n
) − P
C
(p))

≤ ||x
n
− p||
2
.
Bằng cách biến đổi tương tự và sử dụng Bổ đề 1.3 với x = x
0
− p và
y = x
n
− p ta nhận được
||y
n
− p||
2
= ||β
n
x
0
+ (1 − β
n
)P
C
T z
n
− p||
2
≤ β
n
||x

0
− p||
2
+ (1 − β
n
)||x
n
− p||
2
= ||x
n
− p||
2
+ β
n
(||x
0
− p||
2
− ||x
n
− p||
2
)
= ||x
n
− p||
2
+ β
n

i
∩ W
i
, với
i > 0. Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử x
i+1
∈ H
i
∩ W
i
sao cho
x
i+1
= P
H
i
∩W
i
(x
0
). Theo Bổ đề 1.2 suy ra
x
i+1
− x
0
, p − x
i+1
 ≥ 0 với mỗi p ∈ H
i
∩ W

(x
0
), ta được
||x
n+1
− x
0
|| ≤ ||z − x
0
||, ∀z ∈ H
n
∩ W
n
.
Vì u
0
∈ Fix(T ) ⊂ W
n
, nên
||x
n+1
− x
0
|| ≤ ||u
0
− x
0
||, n ≥ 0. (2.2)
Suy ra dãy {x
n

0
). Vì x
n+1
∈
H
n
∩ W
n
, nên
||x
n+1
− x
0
|| ≥ ||x
n
− x
0
||, n ≥ 0.
Vì vậy, dãy {||x
n
− x
0
||} là dãy không giảm và bị chặn. Do đó tồn tại
22
giới hạn hữu hạn lim
n→∞
||x
n
− x
0

2
= ||x
n
− x
0
||
2
− 2x
n
− x
0
, x
n+1
− x
0

+ ||x
n+1
− x
0
||
2
≤ ||x
n+1
− x
0
||
2
− ||x
n

(x
n
)|| = lim
n→∞
(1 − α
n
)||P
C
(x
n
) − P
C
T P
C
(x
n
)||
= 0.
(2.4)
Mặt khác, vì x
n+1
∈ H
n
, nên
||y
n
− x
n+1
||
2

n→∞
||y
n
− x
n
|| = 0. (2.6)
Chú ý rằng
P
C
T z
n
= y
n
− β
n
(x
n
− P
C
T z
n
) + β
n
(x
n
− x
0
)
23
nên

T z
n
|| ≤
1
1 − β
n
(||x
n
− y
n
|| + β
n
||u
0
− x
0
||).
Vì β
n
→ 0 (β
n
≤ 1 − β với β ∈ (0, 1)), (2.6) và bất đẳng trên ta nhận
được
lim
n→∞
||x
n
− P
C
T z

C
P
C
(T z
n
)||
≤ ||z
n
− P
C
(x
n
)|| + ||x
n
− P
C
T z
n
||.
Từ (2.4), (2.7), bất đẳng thức cuối suy ra
lim
n→∞
||z
n
− P
C
T z
n
|| = 0. (2.8)
Do {x

j
||
≤ lim sup
j→∞
||x
0
− x
n
j
|| ≤ ||x
0
− u
0
||.
Vì vậy, ta được
lim
j→∞
||x
0
− x
n
j
|| = ||x
0
− u
0
|| = ||x
0
− p||.
24