ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DƯƠNG VIỆT THÔNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ
KHÔNG GIÃN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DƯƠNG VIỆT THÔNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ
KHÔNG GIÃN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62460102
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS. TS. Nguyễn Bường
2. GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2015

tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tổ chức.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các phản biện độc lập về những nhận xét
quý báu, nhờ đó mà bản thảo lần này đã có những cải thiện đáng kể.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Bộ môn Giải
tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo Sau đại học cùng toàn thể
2


các thầy giáo, cô giáo, cán bộ và nhân viên của Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Trường ĐHKHTN đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian tác
giả hoàn thành luận án của mình.
Tác giả xin được bày tỏ sự biết ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Kinh
tế Quốc dân, các Thầy Cô trong Bộ môn Toán cơ bản, Khoa Toán Kinh tế
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập,
nghiên cứu cũng như giảng dạy trong Nhà trường.
Xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến toàn thể bạn bè và người thân, những
người đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu
và hoàn thành luận án này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

3


Mục lục

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



27

1.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Chương 2. PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1. Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ không giãn . . . . .

38

2.2. Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ giả co chặt . . . . .

47

2.3. Kết luận

54

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 3. PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1. Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ không giãn

56

3.2. Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz 67
3.3. Phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số . . . . . . . . . . . . .


R

tập số thực

N

tập số tự nhiên

⇀

hội tụ yếu

w∗

⇀

hội tụ * yếu

F (T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

ωw (xn )

tập các điểm tụ yếu của dãy xn

F (T (t))
t≥0

tập điểm bất động chung của họ ánh xạ {T (t) : t ≥ 0}


δ(ǫ)

môđun lồi của không gian Banach

J

ánh xạ đối ngẫu của không gian X

Jλ = (I + λA)−1
1
Aλ = (I − Jλ )
λ
., .

giải thức của toán tử A
xấp xỉ Yosida
giá trị của cặp đối ngẫu hoặc tích vô hướng
6


MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động do L. E. J. Brouwer khởi xướng năm 1912 đến
nay đã được hơn 100 năm tuổi. Đó là một chương quan trọng của Giải tích
phi tuyến, sâu sắc về lý thuyết, phong phú trong ứng dụng, gắn liền với tên
tuổi của các nhà Toán học lớn như: E. Picard, L. E. J. Brouwer, S. Banach, J.
Schauder, S. Kakutani, A. N. Tikhonov, Ky Fan, F. E. Browder,...
Trong sáu thập kỷ qua, nghiên cứu điểm bất động của lớp ánh xạ không
giãn là một trong những chủ đề được quan tâm rộng rãi của giải tích phi tuyến.


∂f (x) := {j ∈ X ∗ : f (y) − f (x) ≥ y − x, j ∀y ∈ X} ∀x ∈ X.
Nếu f là nửa liên tục dưới và lồi chính thường trong không gian Banach thực
phản xạ thì ∂f là đơn điệu cực đại [28]. Dễ thấy rằng 0 ∈ ∂f (x) nếu và chỉ nếu

x=argmin{f (y) : y ∈ X}. Như vậy vấn đề tìm cực tiểu của hàm lồi dẫn đến

tìm không điểm của toán tử đơn điệu. Mối quan hệ giữa toán tử đơn điệu và

ánh xạ không giãn là dựa trên sự kiện sau: nếu T là ánh xạ không giãn trong
không gian Hilbert thì A := I − T là toán tử đơn điệu và tập điểm bất động

của ánh xạ không giãn T trùng với tập không điểm của toán tử đơn điệu.

H. Brezis, M. G. Crandall và A. Pazy đưa ra khái niệm giải thức của toán tử
đơn điệu trong không gian Banach trong [17]. Họ đã thiết lập các tính chất cơ
bản của giải thức và đặc biệt điểm bất động của giải thức liên quan đến không
điểm của toán tử đơn điệu. Trong không gian Banach X cho A : X → 2X là

toán tử đơn điệu cực đại. Khi đó giải thức Jλ của toán tử A là ánh xạ đơn trị
và được xác định theo công thức Jλ = (I + λA)−1 , ∀λ > 0. Chúng ta biết rằng
A−1 0 = F (Jλ ). Hơn nữa, Jλ là ánh xạ không giãn. Suy ra vấn đề tìm không

điểm của toán tử đơn điệu cực đại A tương đương với vấn đề tìm điểm bất
động của ánh xạ không giãn Jλ .
Giữa lớp ánh xạ không giãn và toán tử tăng trưởng là lớp ánh xạ giả co.
Ánh xạ T : X → X trong không gian Banach X được gọi là ánh xạ giả co nếu

∀x, y ∈ X tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho


2136-2157.
[9] P. K. Anh, C.V. Chung (2104), "Parallel hybrid methods for a finite family
of relatively nonexpansive mappings", Numer. Funct. Anal. Optim., 35, pp.
649-664.
[10] P. N. Anh (2012), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and Ky Fan inequalities", J. Optim. Theory Appl., 154, pp. 303-320.
[11] P. K. Anh, D.V. Hieu, "Parallel and sequential hybrid methods for a finite
family of quasi ϕ- asymptotically nonexpansive mappings", J. Appl. Math.
Comput., DOI: 10.1007/s12190-014-0801-6.
[12] G. V. R. Babu, K. N. V. V. Vara Prasad (2006), "Mann iteration converges
faster than Ishikawa iteration for the class of Zamfirescu operators", Fixed
Point Theorey and Applications, vol. 2006, Article ID 49615, 6 pages.
[13] J. Banasiak, L. Arlotti (2006), Perturbations of Positive Semigroups with
Applications, Springer, London.
[14] V. Berinde (2007), Iterative Approximation of Fixed Points, Spinger Verlag, Lectures Notes in Mathematics, 1912.
[15] V. Berinde (2004), "On the convergence of the Ishikawa iteration in
the class of quasi contractive operators", Acta Mathematica Universitatis
Comenianae, 73, pp. 119-126.
[16] V. Berinde (2004), "Picard iteration converges faster than Mann iteration for a class of quasi-contractive operators", Fixed Point Theorey and
Applications, 2, pp. 97-105.

88


[17] H. Brezis, M. G. Crandall, A. Pazy (1970), "Perturbations of nonlinear
maximal monotone sets in Banach spaces", Comm. Pure Appl. Math., 23,
pp. 123–144.
[18] F. E. Browder (1967), "Convergence of approximants to fixed points
of nonexpansive non-linear mappings in Banach spaces", Arch. Rational
Mech. Anal., 24, pp. 82-90.
[19] F. E. Browder, W.V. Petryshyn (1967), "Construction of fixed points of

nonexpansive mappings and monotone mappings", J. Math. Anal. Appl.,
334, pp. 1450-1461.
[31] R. Chen, Y. Song, (2007), "Convergence to common fixed point of nonexpansive semigroups", J. Comput. Appl. Math., 200, pp. 566-575.
[32] R. D. Chen, Y. S. Song, H. Zhou (2006), "Convergence theorems for implicit iteration process for a finite family of continuous pseudocontractive
mappings", J. Math. Anal. Appl., 314, pp. 701-706.
[33] C. E. Chidume, M. Abbas, B. Ali (2007), "Convergence of the Mann
iteration algorithm for a class of pseudocontractive mappings", Appl. Math.
Comp., 194, pp. 1-6.
[34] C. E. Chidume, N. Shahzad (2010), "Weak convergence theorems for a
finite family of strict pseudocontractions", Nonlinear Anal., 72, pp. 12571265.
90


[35] P. Cholamjiak, S. Suantai (2013), "Iterative methods for solving equilibrium problems, variational inequalities and fixed points of nonexpansive
semigroups", J. Glob. Optim., 57, pp. 1277-1297.
[36] Dr. Christian, O. Ewald (2007), Games, Fixed Points and Mathematical
Economics, Lecture Notes for a course in Game Theory.
[37] C. S. Chuang, L. J. Lin, W. Takahashi (2013), "Halpern’s type iterations with perturbations in Hilbert spaces: equilibrium solutions and fixed
points", J. Glob. Optim., 56, pp. 1591-1601.
[38] V. Colao, G. Marino, H. K. Xu (2008), "An iterative method for finding
common solutions of equilibrium and fixed point problems", J. Math. Anal.
Appl., 344, pp. 340-352.
[39] K. Deimling (1974), "Zeros of accretive operators", Manuscripta Math.,
13, pp. 365-374.
[40] K. Goebel, W. A. Kirk (2008), "Some problems in metric fixed point
theory", J. Fixed point Theory Appl., 4, pp. 13-25.
[41] J. P. Gossez, E. Lami Dozo (1972), "Some geometric properties related to
the fixed point theory for nonexpansive mappings", Pacific J. Math., 40,
pp. 565-573.
[42] C. W. Groetsch (1972), "A note on segmenting Mann iterates", J. Math.


[55] M. A. Krasnoselskij (1955), "Two remarks on the method of successive
approximations", Uspekhi Mat. Nauk., 10, pp. 123-127.
[56] P. Kumam (2009), "A new hybrid iterative method for solution of equilibrium problems and fixed point problems for an inverse strongly monotone
operator and a nonexpansive mapping", J. Appl. Math. Comput., 29, pp.
263-280.
[57] T. Laokul, B. Panyanak (2009), "Approximating fixed points of nonexpansive mappings in CAT(0) spaces", Int. Journal Math. Analysis, 3, pp.
1305-1315.
[58] H. Y. Li, H. Z. Li (2009), "Strong convergence of an iterative method for
equilibrium problems and variational inequality problems", Fixed Point
Theory and Applications, vol. 2009, article ID 362191, 21 pages.
[59] W. R. Mann (1953), "Mean value methods in iterations",Proc. Amer.
Math. Soc., 4, pp. 506-510.
[60] G. Marino, H. K. Xu (2007), "Weak and strong convergence theorems for
strict pseudo-contractions in Hilbert spaces", J. Math. Anal. Appl., 329,
pp. 336-346.
[61] A. Moudafi (2013), "A relaxed alternating CQ-algorithm for convex feasibility problems", Nonlinear Anal., 79, pp. 117-121.
[62] A. Moudafi (2000), "Viscosity approximating methods for fixed point
problems", J. Math. Anal. Appl., 241, pp. 46-55.
[63] K. Nakajo, W. Takahashi (2003), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups", J. Math. Anal. Appl.
279, pp. 372-379.

93


[64] W. Nilsrakoo, S. Saejung (2008), "Weak and strong convergence theorems
for countable Lipschitzian mappings and its applications", Nonlinear Anal.,
69, pp. 2695-2708.
[65] W. Nilsrakoo, S. Saejung (2011), "Strong convergence theorems by
Halpern-Mann iterations for relatively nonexpansive mappings in Banach

pseudo-contractive mappings", Nonlinear Anal., 67, pp. 3058-3063.
[87] Y. Su, X. Qin (2008), "Monotone CQ iteration processes for nonexpansive
semigroups and maximal monotone operators", Nonlinear Anal., 68, pp.
3657-3664.
[88] Y. Su, M. Li, H. Zhang (2011), "New monotone hybrid algorithm for
hemi-relatively nonexpansive mappings and maximal monotone operators",
Appl. Math. Comp., 217, pp. 5458-5465.
96


[89] T. Suzuki (2005), "Strong convergence of Krasnoselskii and Mann’s type
sequences for one- parameter nonexpansive semigroups without Bochner
integrals", J. Math. Anal. Appl., 305, pp. 227-239.
[90] T. Suzuki (2003), " On strong convergence to common fixed points of
nonexpansive semigroups in Hilbert space", Proc. Amer. Math. Soc., 131,
pp. 2133-2136.
[91] W. Takahashi (2000), Nonlinear Functional Analysis, Fixed Point Theory
and Its Applications, Yokohama Publishers, Yokohama, Japan.
[92] W. Takahashi, Y. Takeuchi, R. Kubota (2008), "Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert
spaces", J. Math. Anal. Appl., 341, pp. 276-286.
[93] S. Thianwan (2009), "Common fixed points of new iterations for two
asymptotically nonexpansive nonself mappings in a Banach space", J. Comput. Appl. Math., 224, pp. 688-695.
[94] N. T. T. Thuy (2103), "A new hybrid method for variational inequality
and fixed point problems", Vietnam J. Math., 41, pp. 353-366.
[95] N. T. T. Thuy (2014), "A strongly convergent shrinking descent-like
Halpern’s method for monotone variational inequality and fixed point problems", Acta Math. Vietnam, 39, pp. 379-391.
[96] N. T. T. Thuy (2015), "An iterative method for equilibrium, variational inequality, and fixed point problems for a nonexpansive semigroup in hilbert
spaces", Bull. Malays. Math. Sci. Soc., 38, pp. 113-130.
[97] Z. M. Wang, Y. Su, S, Y. Cho, W. Lou (2011), "A new iterative algorithm
for equilibrium and fixed point problems of nonexpansive mapping", J.

der Mathematik, 23, pp. 292-298.
[112] S. S. Zhang (2009), "Convergence theorem of common fixed points
for Lipschitzian pseudo-contraction semi-groups in Banach spaces", Appl.
Math. Mech. -Engl. Ed., 30, pp. 145-152.
[113] S. S. Zhang (2010), "Weak convergence theorem for Lipschitzian pseudocontraction semigroups in Banach spaces", Acta Mathematica Sinica,
Einglish Series, 26, pp. 337-344.
[114] H. Zhou (2008), "Convergence theorems of common fixed points for a
finite family of Lipschitz pseudocontractions in Banach spaces", Nonlinear
Anal., 68, pp. 2977-2983.

99