Chương 1. Các Khái niệm cơ bản về Đồ thò.

Trương Mỹ Dung
1
CHƯƠNG 1.

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ.

1.1 ĐỊNH NGHĨA & THÍ DỤ.

1.1.1 ĐỊNH NGHĨA.

1.1.1.1 Đồ thò có đònh hướng.
Một đồ thò G = G(X,U) được xác đònh bởi
§
Tập hữu hạn X = {x
1
,x
2
,…, x
n
} tập các đỉnh hay nút.
§ Tập U = {u
1
,u
2
,…,u
n
}

⊂ X x X tập các cung (cạnh).


Một cung (x
i
, x
i
) được gọi là một
vòng
(
khuyên
).
Một p-đồ thò là một đồ thò trong đó không có quá p cung dưới dạng (i,j) giữa hai
đỉnh bất kỳ.
Thí dụ.

x1
u
4
x
4
u
8

u
7
u
1


2
, u
3
, u
4
, u
5
, u
6
, u
7
, u
8
}
Chương 1. Các Khái niệm cơ bản về Đồ thò.

Trương Mỹ Dung
2 1.1.1.2 Đồ thò không đònh hướng. Khi khảo sát một vài tính chất, sự đònh hướng của các cung không đóng một vai
trò gì. Ta chỉ quan tâm đến sự hiện diện của các cung giữa hai đỉnh mà thôi
(không cần đònh rõ thứ tự). Một cung không đònh hướng được gọi là cạnh. Đối với
một cạnh u = (x
i
,x
j

x
2
u
5
x
3

FIG. 1.3. Đồ thò xác đònh bởi (X,U),
X = {x
1
, x
2
, x
3,
x
4
, x
5
} ; U = {u
1
, u
2
, u
3
, u
4
, u
5
, u
6

Chương 1. Các Khái niệm cơ bản về Đồ thò.

Trương Mỹ Dung
3

1.1.1.3 Một số đònh nghóa cơ bản.
§ ÁNH XẠ ĐA TRỊ.
v x
j
được gọi là ĐỈNH SAU (SUCCESSEUR) của x
i
nếu (x
i
,x
j
) ∈ U;
Tập các đỉnh sau của x
i
ký hiệu là Γ(x
i
).
v x
j
được gọi là ĐỈNH TRƯỚC (PREDECESSEUR) của x
i
nếu
(x
j
,x
i

3
,x
4
} ; Γ(x
3
)={x
4
,x
5
} ; Γ(x
4
)={x
1
} ; Γ(x
5
)={x
4
}. x1
x
4 x
5 x

v Nửa bậc trong của đỉnh x
i
, ký hiệu d
-
(x
i
) là số các cung kết thúc tại
(hay đi vào từ) x
i
. Ta có d
-
(x
i
)=card(Γ
-1
(x
i
)).

v Bậc của đỉnh x
i
, d(x
i
) = d
+
(x
i
) + d
-
(x

)= 3 ; d(x
4
)=6. (Vì tại đỉnh x
4
có một vòng).
v Đỉnh có bậc = 0 được gọi là đỉnh cô lập.

v Đỉnh có bậc = 1 được gọi là đỉnh treo và cung (cạnh) tới của nó
được gọi là cạnh treo.

v ĐỊNH LÝ (công thức liên hệ giữa bậc và số cạnh).

1. Tổng bậc các đỉnh = 2 x số cạnh.

2. Xét đồ thò có đònh hướng G = (X, U). Ta có

∑ d
+
(x) = ∑ d
-
(x) = card(U) (số cung).

CHỨNG MINH
. Truy chứng theo đỉnh.

v HỆ QUẢ. Số đỉnh bậc lẻ là số chẳn.

CHỨNG MINH.

∑ d(đỉnh bậc lẻ) + ∑ d(đỉnh bậc chẳn) = 2 x số cạnh.

=(X,U
p
) là một đồ thò riêng phần của G ;

§
ĐỒ THỊ CON.
G=(X,U) và X
s
⊂ X. G
s
=(X
s
,V) là một đồ thò con của G; trong đó
V là thu hẹp của hàm đặc trưng của U trên X
s
.

V={(x,y)/(x,y)
∈
U
∩
X
s
x X
s
}.
∀
x
i


i
,x
j
) ∈ U ⇒ (x
i
,x
i
) ∈ U.

§ ĐỒ THỊ phản đối xứng : (x
i
,x
j
) ∈ U ⇒ (x
j
,x
i
) ∉ U.

§ ĐỒ THỊ phản chiếu : (x
i
,x
i
) ∈ U, ∀ x
i
∈ U.

§
ĐỒ THỊ bắc cầu : (x
i

n.§
CLIQUE :Tập các đỉnh của một đồ thò con đầy đủ.

§ ĐỒ THỊ HAI PHẦN (LƯỢNG PHÂN) G=(X,U) nếu :
1. X phân hoạch thành X
1
và X
2
.
2. ∀ (x
1
,x
2
) ∈ U thì x
1
∈ X
1,
x
2
∈ X
2
.

Nếu Card(X
1
) = n, Card(X
2
x
3

FIG. 1.5. Đồ thò phản chiếu , phản đối xứng, bắc cầu và đầy đủ.
Chương 1. Các Khái niệm cơ bản về Đồ thò.

Trương Mỹ Dung
6 1.1.2 THÍ DỤ. § THÍ DỤ 1. Đường đi ngắn nhất.

Bài toán 1. Cho một đồ thò có đònh hướng, G = (X,U), một đònh giá
v : U → R và s, t là hai đỉnh phân biệt của X.

Bài toán đặt ra. Tìm đường đi ngắn nhất giữa s và t ?

Lời giải. Thuật giải Dijkstra, Bellman-Ford (xem Chương 3). `
§ THÍ DỤ 2. Cây phủ tối thiểu.