PHÒNG GD&ĐT
TP. BẮC GIANG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2016-2017
Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (5 điểm)
a a b b
a
b
với a, b > 0 và a  b


ab
a b
b a
Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết 1  a 1  b   2 ab  1

a. Cho biểu thức M=

5
4

 18 2  3
a b 2 a b 2
c. Cho a, b, c thỏa mãn a  b  c  7 ; a  b  c  23 ; abc  3
1
1
1

1
1
3



ab  a  2
bc  b  2
ca  c  2 2

Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa
nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao cho AM > R. Từ M vẽ
tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vuông góc với AB, CE vuông góc với AM.
Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BC tại N. Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt
tại Q, K, P.
a. Chứng minh MNCO là hình thang cân
b. MB cắt CH tại I. Chứng minh KI son song với AB
c. Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE. Chứng minh PG vuông góc với QF
Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 427 + 42016 + 4n là số chính phương
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Họ tên thí sinh..........................................................................SBD:................................


HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-207
MÔN: TOÁN LỚP 9

Câu
Bài 1
a/
1,5đ


a b

ab
1
a b

0,25

+ Nếu a>b>0
 a  b  a  b  0; ab  0 


ab
0
a b

ab
ab
ab


1 M 1
a b
a b
a b

0,25

+ nếu 0
0,5

 18a 2 2  36b2 2  9b 2  3a 2  6b2  a
 18a 2  36b2  9b  2  3a 2  6b2  a

3a 2  6b2  a
18a 2  36b2  9b
3a 2  6b2  a
 Q  2  Q  Vô lý vì 2 là số vô tỉ
Vì a, b nguyên nên
18a 2  36b2  9b
3
 2
2
2
2

3
18a  36b  9b  0
3a  6b  b
2
2
-Vây ta có 18a  36b  9b  0   2


a

b
2


0,25

0,75


c/
2đ

Ta có



a b c



2

 abc2



ab  bc  ca



0,25

mà a  b  c  7 ; a  b  c  23 nên ab  bc  ca  13
Ta có a  b  c  7  c  6   a  b  1


c 1

1
1
1


ab  c  6
bc  a  6
ca  b  6
1
1
1
=


a 1 b 1
b 1 c 1
a 1 c 1

Vậy H=



=

=
Bài 2
a/



c 1



a  b  c 3

 

a b c 

2( 4  3  4  3 )

N=



1,0

8  2 13

73
 1
3  7  13  1

4,5 đ
0,25

 25  10 2  2


 5 2  2 5 2  5

2
2
(GT)   a  b   2(ab  1)  (a  b) 2  1  ab   0



  a  b   2(a  b) 2 (1  ab)  (1  ab) 2  0
4

0,5
0,25
0,5

2

2
  a  b   (1  ab)   0  (a  b) 2 -(1  ab)=0



 (a  b) 2  1  ab  a  b  1  ab  Q;vi:a;b  Q.KL

c/
1,5đ

Đi u ki n: x  1 (*).
x 2  x  4  2 x  1 1  x 


1  x  3
x  x 1  3  x 1  3  x  
2
 x  1  9  6x  x
1  x  3
1  x  3

 2
  x  2  x  2
 x  7 x  10  0
 x  5


0,5

Vậy phương trình có nghi m x  2.

Bài 3
a/
1,75đ

0,25
3,5 đ

Ta có x5  y 2  xy 2  1   x5  1   xy 2  y 2   0

  x  1  x 4  x 3  x 2  x  1  y 2  x  1  0   x  1  x 4  x 3  x 2  x  1  y 2   0

x 1  0


Vậy ta có (2 x 2  x)2   2 y  *
2

Ta có  2 x 2  x  2  (2 y )2  5x 2  0 , Vậy ta có  2 y    2 x 2  x  2  **
2

2

2

1đ

Từ * và ** ta có

(2 x 2  x )2   2 y    2 x 2  x  2    2 y    2 x 2  x  1 ;
2

2

2 y 

2

  2 x2  x  2

2

2


2

0,25
0,5


1
1
1
1
1
1




 3



ab  a  2
bc  b  2
ca  c  2
 ab  a  2 bc  b  2 ca  c  2 
1
11 1
2
-Với x,y>0 ta có x  y  2 xy   x  y   4 xy 
   
x y 4 x y

1 
Vây ta có
 


ab  a  2 4  c  1 a  1 
1
1 a
1 
1
1 b
1 
Tương tự ta có
 

 

;
 nên
bc  b  2 4  a  1 b  1  ca  c  2 4  b  1 c  1 


1
1
1


3



0,25
6đ

Bài 4
N

M

E

Q

F

K

A

C
I
T

G

O

H

B


 CHB

MAO 

CH HB HB


MA AO
R

-Ta có CH  AB (gt) ; MA  AB (...)  CH // MA  IH // MA 

IH HB HB


MA AB 2 R

CH HB
HB
IH 2 IH

 2
 2

 CH  2 IH  IC  IH .
MA
R
2R
MA MA
-Chi ra KI là đường trung bình của tam giác ACH  KI // AB

Ta có 1  41989  4n27 > 4n27  (2n27 )2
*mà 1  41989  4n27 là số chính phương nên ta có

0,5

1  41989  4n27   2n27  1  2n27  23977  n  4004
2

Với n=4004 ta có A= A  427  42016  44004   227  24004  là số chính phương
2

Vậy n=4004 thì A=427+42016+4n là số chính phương

0,25