i

LỜI CAM ĐOAN

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng
dẫn của GS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Tôi xin cam đoan đây là công trình
nghiên cứu của tôi. Các kết quả được trình bày trong luận án là trung
thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công
bố trước đó.
Tác giả

Phạm Trí Nguyễn


ii

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn
Văn Quảng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy-người
đã đặt bài toán, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình và chu đáo trong suốt quá
trình tác giả học tập và thực hiện luận án.
Tác giả xin cảm ơn TS. Dương Xuân Giáp và ThS. Nguyễn Trần Thuận
về những thảo luận và góp ý trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài
luận án.
Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự động viên
và quan tâm của PGS. TS. Nguyễn Thành Quang, TS. Nguyễn Trung Hòa,
TS. Nguyễn Thị Thế, PGS. TS. Lê Văn Thành, PGS. TS. Kiều Phương
Chi, TS. Nguyễn Thanh Diệu, TS. Võ Thị Hồng Vân, TS. Lê Hồng Sơn,
TS. Nguyễn Văn Huấn cùng các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả
xin chân thành cảm ơn về những sự giúp đỡ quý báu đó.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi . . . . 17
1.3. Biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp lồi . . . . . . . . 24
Chương 2. Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng tam giác
các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp
lồi

30

2.1. Luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc
đôi một theo khối nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi

. . . . . 30

2.2. Sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác các
biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi

. . . . . . 43

Chương 3. Một số dạng luật số lớn cho dãy, mảng tam giác và
mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian
tổ hợp lồi

52

3.1. Khái niệm CUI (α, α+ )-từng mức và Cesàro CUI bậc r (α, α+ )từng mức đối với họ các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ hợp
lồi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

N0
R
(X, d)
[., .]
c(X)
dH
coA
coA
clA
(Ω, A, P )
BX
Bc(X)
F(X)

K(X)
I
I{A}
card{A}
CUI
m∨n
m∧n
log+ a
x u0
A {u0 }
a+
a−
✷

Tập hợp các số nguyên dương
Tập hợp các số nguyên không âm

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
1.1. Trong mấy thập kỷ gần đây, một số kết quả về các định lý giới hạn
dạng luật số lớn đối với họ các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không
gian metric đã được một số tác giả nghiên cứu và thiết lập. Năm 1992,
Herer [12] đưa ra khái niệm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong
không gian metric đầy đủ và khả ly (X, d) có độ cong âm. Từ đó, Herer
chứng minh luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng
phân phối. Năm 1997, sử dụng định nghĩa của Herer trong [12] về kỳ vọng
của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong X, bằng phương pháp xấp xỉ bởi
dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc, Fitte [8] đã chứng minh định lý ergodic
và luật mạnh số lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên khả tích. Một số định
lý giới hạn đối với martingale nhận giá trị trong không gian metric cũng
được thiết lập trong các công trình của Herer [12, 13] và Sturm [35]. Năm
2006, Terán và Molchanov [40] đưa ra khái niệm về không gian tổ hợp lồi,
đó là không gian metric mà trên đó được trang bị phép toán tổ hợp lồi. Từ
đó Terán và Molchanov đã xây dựng định nghĩa về kỳ vọng của biến ngẫu
nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi và thu được luật mạnh số
lớn cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng phân phối. Như vậy,
việc nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật số lớn cho các biến ngẫu
nhiên nhận giá trị trong không gian metric đang là vấn đề có tính thời sự
của lý thuyết xác suất.
1.2. Các định lý giới hạn dạng luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ cũng được
nghiên cứu cho mảng hai chiều và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên. Có
thể tìm thấy các kết quả cơ bản nhất của lĩnh vực này trong cuốn sách
chuyên khảo của Klesov [21]. Chú ý rằng, khi mở rộng các định lý giới


3


4

dạng luật số lớn cho các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian metric là
hướng nghiên cứu có nhiều ý nghĩa và giá trị.
Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án
của mình là: “Một số dạng luật số lớn cho dãy và mảng các biến
ngẫu nhiên trong không gian tổ hợp lồi”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là thiết lập luật mạnh số lớn đối với dãy các biến
ngẫu nhiên và mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không gian tổ
hợp lồi, thiết lập sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam
giác các biến ngẫu nhiên và mảng tam giác các biến ngẫu nhiên mờ, sự hội
tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên mờ
trong không gian tổ hợp lồi dưới các giả thiết khác nhau.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên, mảng hai chiều các
biến ngẫu nhiên mờ.
- Sự hội tụ đầy đủ và luật mạnh số lớn đối với mảng tam giác các biến
ngẫu nhiên, mảng tam giác các biến ngẫu nhiên mờ.
- Sự hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với dãy các biến ngẫu
nhiên mờ.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án tập trung nghiên cứu một số dạng hội tụ của dãy và mảng tam
giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi; dãy,
mảng tam giác và mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên mờ trong không
gian tổ hợp lồi. Các dạng hội tụ được xét đến là hội tụ hầu chắc chắn, hội
tụ đầy đủ, hội tụ theo trung bình và hội tụ theo xác suất.



n < 2k+1 } là

độc lập nếu j − i > m. Khi đó điều kiện
∞

n=1

EXn2

nhận giá trị trong không gian tổ hợp lồi. Từ đó, các tác giả đã mở rộng
luật mạnh số lớn của Etemadi [7] cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập đôi
một cùng phân phối sang không gian tổ hợp lồi.
Tiếp tục hướng nghiên cứu của mình về xác suất trên không gian tổ
hợp lồi, Terán và Molchanov trong [41] đã chứng tỏ rằng nếu (X, d) là


Luận án đầy đủ ở file: Luận án full