Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu
nhiên trong không gian Banach p-trơn đều
Nguyễn Văn Quảng
(a)
, Nguyễn Trần Thuận
(b)
Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu luật mạnh số lớn cho mảng phù
hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều. Một số kết quả chúng
tôi đa ra là tổng quát hơn các kết quả trớc đó.
1 Mở đầu
Năm 1973, Smythe [8] đã thu đợc luật mạnh số lớn Kolmogorov cho mảng
nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên. Luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với mảng
nhiều chiều đợc Gut [2], Klesov [3], thiết lập. Năm 2005, L. V. Thanh [9] đã mở
rộng Luật mạnh số lớn Kolmogorov cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên (nhận
giá trị thực) trong trờng hợp không cùng phân phối. Luật mạnh số lớn cho mảng hai
chỉ số các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach Rademacher dạng
p đã đợc A. Rosalsky và L. V. Thanh nghiên cứu trong [6] và [7]. Tuy nhiên các kết
quả trên chỉ xét cho mảng nhiều chiều các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng không.
Bằng việc giới thiệu khái niệm mảng phù hợp và mảng các hiệu martingale, chúng
tôi đã thiết lập đợc luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp - một dạng mở rộng của
Luật mạnh số lớn Kolmogorov - và luật mạnh số lớn kiểu Marcinkiewicz-Zygmund
cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên.
Trong bài báo này, ta luôn giả sử (, F, P) là không gian xác suất đầy đủ cố
định. Với a, b R, max{a, b} và min{a, b} đợc kí hiệu lần lợt là a b và a b. Kí hiệu
C là một hằng số dơng, nhng hằng số đó không nhất thiết phải giống nhau trong
các lần xuất hiện. Kí hiệu log chỉ logarit cơ số 2 và log
+
x = log(1 x). Với x 0, kí
hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vợt quá x.
Định nghĩa 1.1. Không gian Banach khả li X đợc gọi là không gian Banach p-trơn
đều (1 p 2) nếu

n

i=1
S
i
S
i1

p

q/p
, n N. (1.1)
(Bất đẳng thức Marcinkiewicz - Zygmund)
1
Nhận bài ngày 01/6/2009. Sửa chữa xong 05/8/2009.
Định lý 1.3. (Assouad, Hoffmann Jrgensen [10]) Không gian Banach thực X là p-
trơn đều (1 p 2) khi và chỉ khi tồn tại số dơng L sao cho với mọi x, y X , ta
có
x + y
p
+ x y
p
2x
p
+ Ly
p
. (1.2)
Cho (, F, P) là không gian xác suất, X là không gian Banach khả li và B(X ) là
-đại số tất cả các tập Borel trong X . Cho mảng hai chiều {F
mn

mn
1
F
mn
2
.
Chú ý rằng định nghĩa mảng phù hợp ở đây của chúng tôi khác với định nghĩa mảng
phù hợp đã đợc nêu trong [4] và [5]. Trong các định nghĩa đó, khái niệm mảng phù
hợp đợc xây dựng dựa trên quan hệ thứ tự tần số trên N
2
.
Kí hiệu F

mn
= (F
m1

F
n1
) với F
n
= (

m1
F
mn
) và F
m
= (


mn
|F

mn
) = EX
mn
= 0
và {X
mn
, F
mn
; m 1, n 1} lập thành một mảng các hiệu martingale.
Ví dụ 2. Cho dãy (X
n
, F
n
, n 1) là một hiệu martingale nào đó nhng (X
n
, n 1)
không độc lập. Với mọi n 1, đặt
X
mn
= X
n
nếu m = 1 và X
mn
= 0 nếu m > 1;
F
mn
= F

các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0.
Từ hai ví dụ trên ta thấy rằng tập hợp tất cả mảng các hiệu martingale thực sự
rộng hơn tập hợp tất cả mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0.
Mảng các phần tử ngẫu nhiên {X
mn
, m 1, n 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử
ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số C < thỏa mãn
P{X
mn
> t} CP{X > t}, với mọi t 0, m 1, n 1.
Từ điều kiện trên chúng ta dễ dàng thấy rằng nếu {X
mn
, m 1, n 1} là mảng
các phần tử ngẫu nhiên cùng phân phối thì nó bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu
nhiên X
11
và khi đó C = 1.
Bổ đề sau đây cho ta một cách chứng minh sự hội tụ hầu chắc chắn của mảng các
phần tử ngẫu nhiên và nó rất hay đợc sử dụng trong quá trình chứng minh sự hội
tụ hầu chắc chắn của mảng các phần tử ngẫu nhiên.
Bổ đề 1.4. Giả sử {X
mn
, m 1, n 1} là mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên.
1. Với > 0 bất kì, nếu


m=1


n=1

(X
mn
> ), k 1,
khi đó dãy {A
k
(), k 1} là dãy giảm các biến cố, đặt
A() =


k=1
A
k
() và A =

>0
A() =


l=1
A

1
l

.
1. Với mọi k 1, vì chuỗi kép


m=1


mnk
X
mn
> } = 0,
điều này kéo theo P(A(
1
l
)) = 0 với l 1. Do đó ta có P(A) = 0.
Nếu / A thì / A(
1
l
) với l 1, từ đây ta suy ra rằng ứng với mỗi l N, tồn tại
k
l
sao cho X
mn
()
1
l
với mọi m n k
l
, điều này kéo theo lim
mn
X
mn
() = 0.
Vì P(A) = 0 nên X
mn
0 h.c.c khi m n .
2. Với p > 0, do chuỗi kép

1

p


m=1


n=1
EX
mn

p
< . (do giả thiết)
Theo ý thứ nhất ta suy ra X
mn
0 h.c.c khi m n .
2 Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên
trong không gian Banach p-trơn đều
Bổ đề sau sẽ thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng các hiệu martingale trong
không gian Banach p-trơn đều.
Bổ đề 2.1. Cho 0 < p 2. Cho {X
ij
; 1 i m, 1 j n} là họ mn phần tử ngẫu nhiên
trong không gian Banach khả li. Khi 1 < p 2 ta giả thiết thêm {X
ij
, F
ij
; 1 i m, 1
j n} là mảng các hiệu martingale trong không gian Banach p-trơn đều thì


p
, (2.1)
với hằng số C không phụ thuộc vào m và n.
Chứng minh. Trong trờng hợp 1 < p 2 :
Đặt S
kl
=

k
i=1

l
j=1
X
ij
, Y
l
= max
1km
S
kl
với mỗi l = 1, 2, , n. Nếu
l
là -đại số sinh
bởi {X
ij
; 1 i m, 1 j l} thì
l
F

kl
|
l
) + E(X
1 l+1
|
l
) + ã ã ã + E(X
k l+1
|
l
) = S
kl
h.c.c.
Suy ra {S
kl
,
l
; 1 l n} là martingale. Vì {S
kl
,
l
; 1 l n} là martingale dới
không âm với mỗi k = 1, 2, , m nên { max
1km
S
kl
= Y
l
,

k=1
là martingale nên {S
kn
, F

k+1 1
}
m
k=1
là martingale dới
không âm. Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Doob ta có
EY
p
n
= E

max
1km
S
kn


p
CES
mn

p
. (2.3)
Ta lại có {S
ml

l=1
(S
ml
S
m l1
)



p
C
n

l=1
ES
ml
S
m l1

p
= C
n

l=1
E



m



i=1
l

j=1
X
ij




p
E

max
1km
1ln
k

i=1
l

j=1
X
ij


p
= E


ij
; i 1, j 1} là mảng phù hợp
trong không gian Banach p-trơn đều X . Nếu


i=1


j=1
EX
ij

p
(i

j

)
p
< , (2.5)
thì
1
m

n

m

i=1
n


lập thành mảng các hiệu martingale.
Theo Định lý 1.3 và sử dụng bất đẳng thức Jensen cho kì vọng có điều kiện ta có
EX
ij
E{X
ij
|F

ij
}
p
E

2X
ij

p
+ LE{X
ij
|F

ij
}
p

2EX
ij

p

ij
|F

ij
}

và T
kl
= max
2
k
m<2
k+1
2
l
n<2
l+1




S
mn
m

n


S
2

l
(2
αk
2
βl
)




> ε


∞

k=1
∞

l=1
1
(2
αk
2
βl
)
p
ε
p
ES
2

αk
2
βl
)
p
(do (2.4))
 C
∞

k=1
∞

l=1

2
k
i=1

2
l
j=1
EX
ij

p
(2
αk
2
βl
)


j=1
EX
ij

p
(2
α[logi]
2
β[logj]
)
p
 C
∞

i=1
∞

j=1
EX
ij

p
(i
α
j
β
)
p
< ∞. (theo (2.5))

2

+ P

max
2
k
m<2
k+1
2
l
n<2
l+1
S
mn

m
α
n
β
>
ε
2

 P

S
2
k
2

>
ε
2

 P

S
2
k
2
l
 >
(2
αk
2
βl
)ε
2

+ P

max
1m2
k+1
1n2
l+1
S
mn
 >
(2

βl
)
p
ε
p
E

max
1m2
k+1
1n2
l+1
S
mn


p

C2
p
(2
αk
2
βl
)
p
ε
p
2
k

ij

p
(do Bæ ®Ò 2.1 vµ (2.7))
 C
2
k

i=1
2
l

j=1
EX
ij

p
(2
αk
2
βl
)
p
+ C
2
k+1

i=1
2
l+1

p
.
Điều này kéo theo


k=1


l=1
P{|T
kl
| > } C


k=1


l=1
2
k+1

i=1
2
l+1

j=1
EX
ij

p

m < 2
k+1
và 2
l
n < 2
l+1
ta có
S
mn

m

n





S
mn
m

n


S
2
k
2
l

2
k
2
l
2
k
2
l



. (2.10)
Khi cho k l thì m n .
Kết hợp (2.8) và (2.9) với (2.10) ta có (2.6).
Hệ quả sau đây đợc suy trực tiếp từ Định lý 2.2.
Hệ quả 2.3. Cho > 0, > 0 và 1 p 2. Cho {X
ij
, F
ij
; i 1, j 1} là mảng các hiệu
martingale trong không gian Banach p-trơn đều X . Nếu


i=1


j=1
EX
ij


0.
Nhận xét 2. Khi = = 1 và X = R (tơng ứng p = 2), Định lý 2.2 chính là một mở
rộng đối với dạng hai chỉ số của định lý Kolmogorov đã đợc Smythe [8] chứng minh.
Định lý tiếp theo sẽ thiết lập kiểu luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund cho
mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên.
Định lý 2.4. Cho 1 < r < p 2 và {X
mn
, F
mn
; m 1, n 1} là mảng phù hợp trong
không gian Banach p-trơn đều X . Giả sử {X
mn
, m 1, n 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi
phần tử ngẫu nhiên X. Nếu EX
r
log
+
X < thì
1
(mn)
1
r
m

i=1
n

j=1

X

).
Khi đó với mỗi i và j ta có
X
ij
E{X
ij
|F

ij
} = (X

ij
E{X

ij
|F

ij
}) + (X

ij
E{X

ij
|F

ij
}). (2.13)
Đầu tiên ta chứng minh rằng
1

= O(i
1
p
r
log i) ta có các đánh giá


i=1


j=1
EX

ij

p
(ij)
p
r
C


i=1


j=1
1
(ij)
p
r

r
k

i=1

i
1
r
(i1)
1
r
x
p
dF (x) = C


i=1



k=i
d(k)
k
p
r


i
1
r

1
r
(i1)
1
r
x
p
(x
p
r
1
)
r
log
+
x dF (x)
C


0
x
r
log
+
x dF (x) CEX
r
log
+
X < .
Theo Định lý 2.2 khi = =

1
r
= O( n
1
1
r
log n) ta có các đánh giá


i=1


j=1
EX

ij

(ij)
1
r
C


i=1


j=1
1
(ij)
1

1
r


(i+1)
1
r
i
1
r
|x|dF (x) C


i=1
i
1
1
r
logi

(i+1)
1
r
i
1
r
|x|dF (x)
C



[7] A. Rosalsky and L. V. Thanh, On almost sure and mean convergence of normed
double sums of Banach space valued random elements, Stochastic Analysis and Ap-
plications, 25, 2007, pp. 895-911.
[8] R. T. Smythe, Strong law of large numbers for r-dimensional arrays of random
variables, Ann. Probab 1, 1973, pp. 164-170.
[9] L. V. Thanh, Strong law of large numbers and L
p
-convergence for double arrays
of independent random variables, Acta Math Vietnam, 30, No. 3, 2005, pp. 225-232.
[10] W. A. Woyczynski, Geometry and martingale in Banach spaces II. Independent
increments, Marcel Dekker, Press New York, 1978.
Summary
strong law of large numbers for adapted double arrays
of random elements of p-uniformly smooth Banach space
In this paper, we study the strong law of large numbers for adapted double arrays
of random elements in a p-uniformly smooth Banach space. Some our results are more
general than well-known ones.
(a) Khoa To¸n, tr−êng §¹i häc Vinh
(b) 46A To¸n, tr−êng §¹i häc Vinh.