trờng đại học s phạm hà nội
Khoa toán
-----------***----------
Đề tài
Một số phơng trình quy về
phơng trình bậc hai
Giáo viên hớng dẫn:
Ngời thực hiện:
hảii dơng, năm 2006
Lời nói đầu
Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chơng trình là một nhiệm vụ
quan trọng của mỗi ngời giáo viên đứng lớp. Tuy nhiên, việc bồi dỡng cho học
sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải đợc tiến hành thờng xuyên
ở trong các nhà trờng phổ thông trung học cơ sở. Việc bồi dỡng giúp cho học
sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản mà còn có thói
quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợp logíc tìm ra đợc
lối giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí thông minh sáng tạo, có hứng thú
trong khi học môn toán.
Đối với môn toán lớp 9, phần phơng trình bậc hai, phơng trình quy
về phơng trình bậc hai là phần kiến thức trọng tâm, là phần kiến thức thờng
xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp ,thi học sinh giỏi và thi vào trung
học phổ thông. Do đó, theo tôi học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng kiến thức
này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ về phơng trình
quy về phơng trình bậc hai. Sau khi nghiên cứu khá nhiều tài liệu tham khảo
viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đa ra các bài toán rất đa dạng và
phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm trong nhiều tài liệu khác
nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy của giáo viên và của học sinh.
Trớc tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn đa ra
một hệ thống kiến thức nói về phơng trình quy về phơng trình bậc hai với
một mong ớc là làm tài liệu ôn tập, nhàm tạo điều kiện thuận lợi hơn cho ngời
dạy và ngời học trong việc bồi dỡng học sinh khá giỏi.

đời sống con ngời, trong việc nghiên cứu khoa học. Khi học toán các em sẽ
năm sbắt đợc nhiều phơng pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng tính toán,
phân tích tổng hợp, giải quyết đợc nhiều bài toán thực trong cuộc sống.
Việc bồi dỡng học sinh giỏi là một việc làm rất cần thiết trong các nhà
trờng THCS. Để là học sinh giỏi, các em cần đợc rèn luyện, phát triển t duy
sáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức.
Sự phân hoá đối tợng trong học sinh hiện nay về năng lực nổi lên rất rõ.
số học sinh các lớp chuyên, chọn chiếm một tỷ lệ tơng đối lớn, do đó nhu cầu
đợc nâng cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn.
Căn cứ vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức về phơng trình và ph-
ơng trình đa về phơng trình bậc hai ở chơng trình THCS cha đợc đề cập đến
nhiều. Đội ngũ giáo viên cha đợc chuẩn bị chu đáo để bắt tay vào dạ bồi dỡng
cho học sinh khá giỏi, do đó đòi hỏi ngời giáo viên phải tự biên soạn, su tầm,
lựa chọn tài liệu cho riêng mình. chính vì thế nội dung bồi dỡng phần kiến thức
này cha có sự thống nhất, gây không ít khó khăn cho ngời học và ngời dạy .
Nghiên cứu sách giáo khoa và chơng trình hiện hành ta thấy: SGK đại số
9 đã đa ra cho học sinh một số laọi phơng trình quy về phơng trình bậc hai nh:
phơng trình chứa ẩn ở mẫu, phơng trình vô tỷ, phơng trình trùng phơng, đa vào
ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ dừng lại ở mức độ
nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn với các em học sinh ở các lớp
chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thì cha đủ, vì vậy cũng cần hệ
thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng kiến thức phơng trình quy
về phơng trình bậc hai.
B. Một số kiến thức và kỹ năng cần thiết khi học về giải ph ơng trình:
Khi học về giải phơng trình học sinh cần nắm đợc một số kiến thức và kỹ
năng sau:
+ Các quy tắc tính toán với các biểu thức đại số (các phép tính cộng, trừ,
nhân, chia)
+ Các hằng đẳng thức đáng nhớ
+ Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử


<0: Phơng trình bậc hai vô nghiệm.
+ Nếu

=0: Phơng trình bậc hai có nghiệm kép:
x
1
=x
2
=
a
b
2

+ Nếu

>0: Phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt
x
1,2
=
a
b
2

Khi b chẵn, hay b=2b

(b




+bx+c=0 (a

0) có nghiệm số x
1
;x
2
(


0)
thì:
x
1
+x
2
=
a
b

x
1
.x
2
=
a
c
Tr ờng hợp đặc biệt:
+ Nếu a+b+c=0 thì phơng trình có nghiệm là: x1=1; x
2
=

2
- 4ac

0
x
1
.x
2
>0
0
>
a
c
x
1
+x
2
>0
0
>

a
b
+ Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi:


0 hay b
2
- 4ac


<0
0
<
a
c
x
1
+x
2
=0 hay
0
=

a
b
+ Phơng trình có hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm số dơng có trị tuyệt
đối lớn hơn khi:
0
<
a
c
0
>

a
b
+ Phơng trình có hai nghiệm trái dấu nhng nghiệm số âm có trị tuyệt đối
lớn hơn khi:
0
<

21
2
2
2
1
2
.2)(2)(
a
acb
a
c
a
b
xxxxx

=

=+=+
x
22
2
21
22
2
2
1
4
2
4
1

Giải và biện luận theo a và b phơng trình:
2
=

+

ax
b
bx
a
(1)
Điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt:
Giải Điều kiện: x
:, bxa

Ta có: (1)
)()())((2 bxbaxabxax
+=
02)(32
222
=++++
abbaxbax
0)()(32
22
=+++
baxbax
2
)( ba
+=
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt là

0
32
1
672
4
4
1
12832
4
2223
=
+
+
++



+
x
xxxxxx
Phân tích mẫu thành nhân tử ta có:
(**)
0
32
1
)32)(2(
4
)2)(2(
1
)32)(2)(2(

Khử mẫu ta có: 4-(2x+3)-4(x-2)+(x-2)(x+2)
0484324
2
=++
xxx
056
2
=+
xx
Giải phơng trình : x
2
-6x+5=0 ta đợc 2 nghiệm: x
1
=1, x
2
=5
Đối chiếu với TXĐ ta thấy x
1
= 1 và x
2
= 5 là 2 nghiệm của pt (**)
c. Nhận xét:
+ Loại phơng trình chứa ẩn ở mẫu là loại thờng gặp ở trờng phổ thông.
+ Khi giải loại này cần lu ý: Cần so sánh các giá trị tìm đợc của ẩn với
TXĐ trớc khi kết luận về nghiệm của phơng trình.
2. Ph ơng trình bậc ba
Phơng trình bậc ba (một ẩn số) là phơng trình có dạng tổng quát:
ax
3
+bx

2
-x+1)+7x(x+1)=0

(x+1)(2x
2
+5x+2=0

x+1=0 (1)
2x
2
+5x+2=0 (2)
Phơng trình (1) cho nghiệm x=-1
Phơng trình (2) cho nghiệm x=-2 và x=-
2
1
Vậy phơng trình (8) có nghiệm S= -
2
1
;2;1

Ví dụ 2:
Cho phơng trình x
3
-(2a+1)x
2
+(a
2
+2a-b)x-(a
2
-b)=0 (1)

(1) Có ba nghiệm phân biệt: x=1; x=a+

; x=a-

;
c. Nhận xét:
Giải phơng trình bậc ba ở THCS ta chủ yếu dùng phép phân tích đa thức
thành nhân tử để đa phơng trình về dạng phơng trình tích. Khi đó, ta có một hệ
thống hai phơng trình bao gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình
bậc hai.
+ Ta cần chú ý tới hai tính chất của phơng trình bậc ba:
ax
3
+bx
2
+cx+d=0
Nếu a+b+c+d=0 thì trong các nghiệm của phơng trình ban đầu sẽ
có nghiệm là x=1.
Nếu a-b+c-d=0 thì trong các nghiệm của phơng trình ban đầu sẽ
có một nghiệm là:x=-1.
Khi biết trớc một nghiệm, ta chia vế trái của phơng trình cho đa thức x-1
hoặc x+1 để phân tích vế trái của phơng trình thành nhân tử.
+ Với phơng trình bậc ba có các hệ số nguyên, nếu có nghiệm nguyên thì
nghiệm nguyên đó phải là ớc số của hạng tử tự do d (Theo định lý về sự tồn tại
nghiệm nguyên của phơng trình với hệ số nguyên).
3. Những ph ơng trình bậc cao quy đ ợc về ph ơng trình bậc hai
3-1 Ph ơng trình trùng ph ơng
Phơng trình trùng phơng là phơng trình có dạng: ax
4
+bx


0 phơng trình (**) trở thành:
t
2
t 6 = 0
Giải phơng trình t
2
-t-6=0 ta đợc t
1
=-2;t
2
=3
+ Với t=-2(loại vì t<0)
+ Với t=3
3
=
x
Vậy phơng trình (**) có hai nghiệm: S = -
3;3
Ví dụ 2:
Giải phơng trình
x
4
-2(m-1)x
2
-(m-3)=0 (***)
Với giá trị nào của tham biến m thì phơng trình trên
a) Có 4 nghiệm phân biệt.
b) Có 3 nghiệm phân biệt.
c) Có hai nghiệm

1
x
2
>0 m-3<0