VNU

J O U R N A L OF SCIEN C E. N a t . S c i . . . \

XV. n‘^5 - 1999

ON U N IF O R M STA BILITY OF TH E C H A R A T E R IS T IC
SP E C T R U M FO R SEQ U EN C ES OF L IN E A R
D IF FE R E N T IA L EQ U ATIO N S Y S T E M ’

N guyen T he H oan
Facility o f Mỉitheiiìatic^, Mechanics and InibriuHtics

College of Natiiial Scicjices - V N Ư
D a o T h i L ie n
TeHchei \s Trying Coilege. Thai N guy en U n i v e r s it y

A b s t r a c t: / / ? t/u.s paper we gwe a covdition for which the charateristic spectrum
of tÃc sequence of l i n t a r drjfereĩittaỉ equation systeTUS are stable .This condition IS
imposed 071 the coeffi.cemts of sys tems . The obtained results are applied f o r studying

un tfon n roìighĩiess.
I.

INTRODUCTION

C o n s i d e r a s e q i i e i i c e o f s y s t f ' i n s f o n s i s t i i i g OÍ l i n e a r c l i f f e r e i i t i a l e q u a t i o n

T e n '\

^ = .4 „ ( n .T ,

the chaiatoristic spectrum of th e system (1).

Let MS as s o c ia t e w i t h (1) a s c q u e u r e of non-liiu'ar syyteiiis
^

= A „(/).r + /„ (/,.'■ )

(if
p ertu rb ed by the function ỷ n ự - x ) satisfying the relation
| / n ( ^ - r ) l | < e iiiiifonuiy ìỉ ppcỉ-stỉihỉe if for

Huy g i v e n e > i) t h e r e e x i s t s Ò = ố{ f ) Sììch t h a t the H s sỉ uii ptỉ un (4) i m p l i e s

^ < Aj

// -

|| ữ „ (/) |ị
plyiiig P fM o n ’s tiansfoiin ation
■r^U„{t)y,

(8)

where ư„{t ) is an orthogonal m atrix, tlu' system (1) is reduced to the triangular one

§
wliere Pn{t) =

{f ) A„{t ) Un{t ) -

= p»(')!/-

(9)



K(t) =
V

0

Q „ (0 = Q n(0 +
Obviously, if



I

P„(.s)i/.s)//(/)

Ita


\ Vi ^ ) ~ P2 2 Ì ^ ) = P n ^ ( ^ ) - P 2 2 ^ ( 0 = < 'o s 2 < ^ o ^ "> (f)Ịn ị"’ ( f ) - a ị 2 ’ ( 0 ì + ^ in 2 ự > < " > ( f ) la ị'Ị ^ + o . ị: ^ > ( f )

/ 4 2 V ) V , ”*(o = /íÌ2V)-PÍ"V) = cos2^<”)(0[o.i:]>(0-«iiV)l-sni2v^('')(0[4i^+«i”V )
Th(MefoK\
p'j;'(n-/:;>it) = ựíi^lVí') -

+ [ « y ; ' + , / , ' ; ' ( 0 P ) ^ < ™ | 2 i ' " ' ( / i + 4-,.{()

in which


Pn { r ) d T ) Qn { f ) e x p

Ị
''to

Pn{r)dT

< A/;jV^.

(16)


N g u y e n The H o a n , D a o T h i L ie n

32
T he inqualities (13)-(16) imply th at
ex p (-/

PuHT)dT)yi(t)



’ ^1

by

g i v i n g a l o w e r V)Ouiul f o r

For

^7-2

denote the spectra of th(' adjoint syisteiiis conosponding to (1) and (7). Then hv P m o i r s
theorem and Lyapunov's iiioqiiality W ( ' liaví'
A‘" ) + 7 Í ” ^ = 0 , Ã Í ''’ + f , " > > ().
Applying (20) to the bigger charateristic exponent it yields
7',” ’



f.

P r o p o s i t i o n 2. . AssuiiiJiie that there is ÍÌ11 iiitei vai ( a , /3) co/itaiiiiiig zeio, such that
either
or

( - 0 0 , /?) n An — 0
(a, -f-0 0 ) n

=0

n - 1,2,...
1)

= 1, 2,...

Moreover, s ỉ i p p o s c th a t the characteristic s p e c t n u n o f (24) is ỉi/]jfoiiijiy stnhle.

Then the a/jove systeij] is lUiiforiJiIy lOiigh.
Proof.
The proof follows directly from its hypothe'ses and definition, ộ
Consider now the case in = 2. T h e proposition 2 and the proved theorem give us:


On unifoT'rn sta b i li t y o f the c h a r a t e r i s t ic s p e c t r u m f o r . . .

35

C o r o l l a r y . Suppose tb^t there is iiii iỉitcivíìl { nj 3) conti^ìiiiiĩig zero Ỉìiiiỉ satisfying conditioii o f proposition 2 for the CHse Iii^2. Moicovct , suppose tỉiHt:

sian ).
T A P CHÍ K H O A H OC Đ H Q G H N , K H T N , t . x v , n^5 - 1999

Sir ON ĐỊNH DEIJ CƯA PIIO DẶC TRƯNG CỦA DAY
ÍỈẺ P H r ơ N C TRÌNH VI I^HAX TUYEN TÍNH

/ v i j Or i

T lip H o iin
Tuííii - Cơ- Tin học - Dại học K H Tì/ Iihiẻĩi - DH QG

H à

Nội

Đ à o T h i L iê u
Khoíì Toán, Đại Ỉ Ì Ọ C Sìĩ phạm Thái Ngĩìvèn
Trong bài báo này, chung tôi đ ư a ra một điều kiện ổn định của phổ đặc trư n g của
một (lảy hè phvrưiig tiìn h vi phản tuyến tính. Điều kiện này đư ợc đ ặ t lên các hệ số của
he p h ư an g trình tư a n g ứĩig. Kết quả nhận đư ự c ílirợc áp (lụng cho việc nghiên cứu sự
thò đều.