TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KỲ 1 TOÁN 11
Năm học: 2017-2018
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Tóm tắt một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác.
1.Phương pháp:
Để tìm TXĐ của hàm số y=f(x) ta thực hiện theo các bước:
B1: Tìm điều kiện của x để f(x) có nghĩa.
B2: Kết luận TXĐ dưới dạng tập hợp.
Chú ý: Với các hàm lượng giác cơ bản ta có:
- Hàm số y=sinx và y=cosx xác định với ∀x∈ R.
π
- Hàm số y=tanx xác định khi x ≠ + kπ , k ∈ Z
2
- Hàm số y=cotx xác định khi x ≠ kπ , k∈ Z
2. Ví dụ
Câu1:Tìm tập xác định của các hàm số sau :
π
2x
π
a. y =tan (x+ )
c.y =
b. y=cot (2x+ )
4
sinx+cosx
6

+) Nếu D không phải là tập đối xứng( tức là ∃x ∈ D mà -x ∉ D ),ta kết luận hàm số không chẵn
cũng không lẻ.
B2: Xấc định f(-x), khi đó:
. Nếu f(-x) = f(x) với ∀ x ∈ D thì y =f(x) là hàm số chẵn
. Nếu f(-x) = -f(x) với ∀ x ∈ D thì y = f(x) là hàm số lẻ.
. Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Chú ý:
1. cos(-α ) =cosα ; sin(-α ) =-sinα ; tan(-α ) =-tanα ;cot(-α ) =-cotα
2. Với các hàm số lượng giác cơ bản ,ta có:
Các hàm số y = sinx, y = tanx, y = cotx là các hàm số lẻ; Hàm số y = cosx là hàm số chẵn.
3.Đồ thị hàm số lẻ có tâm đối xứng; Đồ thị hàm số chẵn có trục đối xứng.
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 1


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

2. Ví dụ
Câu3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau :
a. y= sin2x-cos2x
c. y =cosx-sin2x
b. y= sinxcos3x
d.y = sinx -cosx
Dạng 4 : Giải phương trình lượng giác :
1. Phương pháp chung:
Biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản rồi tìm nghiệm.
*) Chú ý: Pt sinx = a;cos x = a có nghiệm nếu −1 ≤ a ≤ 1 ; pt t anx = a;cot x = a luôn có
nghiệm với mọi a.
*) Các công thức lượng giác:

a
cos3a = 4cos3a - 3cosa

2 tan a
1 − tan 2 a

4.Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan

sin a =

2t

;
1+ t 2

5.Công thức hạ bậc:

cosa=

1− t 2
;
1+ t 2

tan α .cot α = 1

tana=

2t

a

π

sina.cosb= [sin(a-b) + sin(a+b)]
 sin a + cos a = 2 sin  a + ÷ =
2
4

7.Công thức biến đổi tổng thành tích.

π

2 cos  a − ÷
4

π
π


 sin a − cos a = 2 sin  a − ÷ = − 2 cos  a + ÷
4
4



Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 2


TRNG THPT YấN DNG S 3

T: TON - TIN

x = - +k2
x = + k2
(k Z)
2. cosx =cos
x =- +k2
3. tanx =tan x = + k (k Z) ;
4. cotx =cot x = + k (k Z)
2. Vớ d
Cõu 4: Gii cỏc phng trỡnh lng giỏc sau :
a. 2sin2 x 3sin x + 1 =0
b. cos2x- 3sin2x=- 2

d. 3cos2x+2 3 sinxcosx+5sin2x=2

e. 3sin7x - cos7x = 2


f. 6cos2 x+ ữ-3sinxcosx-cos2x=1
2


g. 2 - 5sinx+cos2x =0

h.sin2 3x cos2 4x = sin2 5x cos26x

i.1+cosx+cos2x+cos3x=0

2

2

+ k 2 , k ẻ Â .
C. x = k 2 , x =
D. x = + k 2 , x = + k 2 , k ẻ Â .
3
6
2
2
2
Cõu 2: Gii phng trỡnh sin x 3 sin x cos x + 2 cos x = 1 ta c tt c cỏc nghim l



A. x = + k , x = + k , k ẻ Â .
B. x = + k , k ẻ Â .
2
6
6



C. x = + k 2 , x = + k , k ẻ Â .
D. x = + k 2 , x = + k 2 , k ẻ Â .
2
6
6
Cõu 3: Hm s no sau õy l hm s l?
A. y = sin 2 x .
B. y = cos 2 x .
C. y = cos x .
D. y = sin x + 1 .

ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ố2 ứ
ố 2ữ
ứ
ố 2ứ

cng ụn thi HK1 Toỏn 11 Trang 3


TRNG THPT YấN DNG S 3

T: TON - TIN



Cõu 5: Phng trỡnh 2 cos 3 x + ữ 3 = 0 cú tt c cỏc nghim l
4


2
5
2
+k

36
3

2
5
2
+k
D. x = + k
v x =
, kẻ Â.
36
3
36
3
1
Cõu 6: Gii phng trỡnh sin x =
c tt c cỏc nghim l
2

5

5
+ k 2 , k ẻ Â . B. x = + k 2 , x =
+ k 2 , k ẻ Â .
A. x = + k 2 , x =
4
4
4
4


C. Ă \ ùớ
D. Ă \ ùớ + k2p, k ẻ Âùý .
ùợù 2
ùỵ
ùợù 2
ùỵ
ù
ù
ổ pữ
ử
2
2
0; ữ
ỗ
Cõu 9: Trong khong ỗ
ữ, phng trỡnh sin 4 x + 3sin 4 x cos 4 x 4 cos 4 x = 0 cú
ỗ
ố 2ữ
ứ
A. 1 nghim.
B. 2 nghim.
C. 3 nghim.
D. 4 nghim.
Cõu 10: Phng trỡnh cos 2 x + cos 2 2 x + cos 2 3x + cos 2 4 x = 2 tng ng vi phng trỡnh
A. cos x.sin 5 x.sin 2 x = 0 .
B. cos x.cos 5 x.cos 2 x = 0 .
C. cos x.sin 4 x.sin 2 x = 0 .
D. sin x.sin 5 x.sin 2 x = 0 .



8

3 k

D. D = Ă \ + , k Â
4
2



Cõu 13: Tỡm tp xỏc nh ca hm s y = tan(2x )
3 k

+
, k Â
2
7


A. D = Ă \

3 k

+
, k Â
5
2




2
6

π
 5π

C. D=R
D. D = R \  + k 2π ; + k 2π , k ∈ Ζ 
6
6

Câu 17: Hàm số nào sau đây không phải là hàm số lẻ?
(A) y = sinx.
(B) y = cosx.
(C) y = tanx
(D) y = cotx.
Câu 18: Gía trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y = 3− 4cos2 2x
A. min y = −1,max y = 4
B. min y = −1,max y = 7
C. min y = −1,max y = 3
D. min y = −2,max y = 7
y
=
tan
5
x
Câu 19:
là hàm số tuần hoàn với chu kì:
A. T = π


π

+ kπ , + kπ ; k ∈ ¢ 
3
 4


C. D = ¡ \ 

 3π
π

+ kπ , + kπ ; k ∈ ¢ 
5
 4


B. D = ¡ \ 

 3π
π

+ kπ , + kπ ; k ∈ ¢ 
6
 5


D. D = ¡ \ 

Câu 21: Hàm số có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng ?

Câu 24: Nghiệm dương bé nhất của phương trình 2sin x + 5sin x − 3 = 0 là
A. 3sin x − 3 = 0
B. 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0
C. tan x + 2 = 0
D. 2sin x + 3 = 0
Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình 2 cos 2 x + 3sin x − 1 = 0 là
 1
 1
A. π + arcsin  − ÷+ k 2π
B. π − arcsin  − ÷+ k 2π
 4
 4
π 1
π
 1
 1
C. − arcsin  − ÷+ kπ
D. − arcsin  − ÷+ kπ
2 2
2
 4
 4

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 5


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN


Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có :
Pn = n ! = n.(n − 1).(n − 2)...2.1
Quy ước:

0! = 1, 1! = 1 .

2. Chỉnh hợp
a. Định nghĩa

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 6


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1 ). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của
tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
đã cho.
b. Số các chỉnh hợp
k
Kí hiệu An l số các chỉnh hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n ) . Khi đó ta có :

Ank =

n!
(n − k )!

n
Chú ý : Một chỉnh hợp chập n của n phần tử là một hóan vị của n phần tử.Như vây : An = Pn = n !

n

(a + b) n = ∑ Cnk a n − k b k , 0 ≤ k ≤ n
k =0

k n −k k
Số hạng tổng quát trong khai triển triển là: Tk = Cn a b , 0 ≤ k ≤ n

VẤN ĐỀ 5: PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
1. Phép thử
Phép thử ngẫu nhiên( hay phép thử ) là một thí nghiệm hay một hành động mà
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 7


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

•

Ta không đoán trước được kết quả xảy ra

•

Tuy nhiên ta có thể liệt kê được tất cả các trường hợp có thể xảy ra của phép thử đó .

2.Không gian mẫu
Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu .
Kí hiệu : Ω
3. Biến cố

2. P (Ω) = 1
3. 0 ≤ P( A) ≤ 1, ∀A
___

4. ∀A ta có : P( A ) = 1 − P ( A)
c. Các quy tắc tính xác suất.
Qui tắc cộng: Nếu A ∩ B = ∅ ⇒ P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )
Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P ( A.B ) = P ( A).P ( B)
II.

TÓM TẮT MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

VẤN ĐỀ 1: QUY TẮC ĐẾM.
Dạng toán 1:Sử dụng quy tắc đếm để thực hiện bài toán đếm số phương án
Để sử dụng quy tắc cộng trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước sau:
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 8


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

Bước 1. Phân tích các phương án thành k nhóm độc lập với nhau.
Bước 2. Nếu nhóm 1 có n1 cách chọn khác nhau
Nhóm 2 có n2 cách chọn khác nhau
…
Nhóm k có nk cách chọn khác nhau
Bước 3. Khi đó, ta có tất cả n1+n2+...+nkphương án.
• Để sử dụng quy tắc nhân trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Phân tích một hành động H thành k công việc nhỏ liên tiếp


TỔ: TOÁN - TIN

2. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa
trên các dấu hiệu sau:
- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.
- Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
3. Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa
trên các dấu hiệu sau:
- Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.
- Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn.
Dạng toán 2:Các bài toán: rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức, chứng minh đẳng thức,
bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình trong đó có chứa các toán tử hoán vị,
chỉnh hợp, tổ hợp.
Phương pháp:
k
k
• Sử dụng thành thạo các công thức Pn , An , Cn .
k
k
• Nắm được các tính chất của Pn , An , Cn chẳng hạn:

n ! = ( n − 1) !n = ( n − 2 ) !( n − 1) n = ...
Cnk = Cnn − k , Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk

Ta thường sử dụng một trong các cách sau:
• Cách 1. Sử dụng các phép biến đổi.
• Cách 2. Sử dụng các đánh giá về bất đẳng thức.
• Cách 3. Sử dụng phương pháp chứng minh qui nạp
• Cách 4. Sử dụng phương pháp đếm.

m
+
n
m
n
m
−
n
a
= a .a ; a
= n ; ( a m ) = a m.n
a
Dạng toán 3: Tính tổng
Phương pháp giải: Sử dụng nhị thức Niu-tơn, kết hợp với việc:
- Lựa chọn giá trị thực phù hợp.
- Sử dụng các phép biến đổi đại số.
VẤN ĐỀ 5: PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
Dạng 1. Mô tả không gian mẫu. Tìm số phần tử của không gian mẫu
Phương pháp giải: Yêu cầu được chuyển thành đếm số phần tử của tập hợp, từ đó mô tả tập hợp này
bằng phương pháp liệt kê.
+ Dựa vào định nghĩa về không gian mẫu.
+ Nắm chắc các kiến thức về hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp để áp dụng tính số phần tử của không
gian mẫu.
Dạng 2. Xác định tập hợp các kết quả thuận lợi cho một biết cố. Tính số phần tử của tập hợp
này
Phương pháp giải:
+ Nắm được khái niệm về biến cố liên quan đến phép thử T .
+ Sử dụng định nghĩa một kết quả thuận lợi cho biến cố A. Tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi của
A.
+ Vận dụng kiến thức về đại số tổ hợp để tính số phần tử của không gian mẫu ΩA .


khai

triển

(

1
+ x7 )n
4
x

biết

rằng

C21n +1 + C22n +1 + C23n +1 + ... + C2nn +1 = 220 − 1 , n ∈ Z + .

Baøi 4: Tìm hệ số của x3 trong khai triển (1 + 2 x + 3 x 2 )10 theo lũy thừa của x .
Baøi 5: Tính các tổng sau:
S1 = 316 C160 − 315 C161 + 314 C162 + ... + C1616
0
2
4
2016
S 2 = C2017
+ 32 C2017
+ 34 C2017
+ ... + 32016 C2017
0


a. Cả hai xạ thủ điều bắng trúng.
b. Chỉ một trong 2 xạ thủ bắn trng.
c. Ít nhất một trong 2 xạ thủ bắn trng.
d. Cả hai đều bắn trượt.
Baøi 10: Một thầy giáo có 12 quyển sách đôi một khác nhau trong đó có 5 quyển sách Toán, 4
quyển sách Vật lý, và 3 quyển sách Hóa học.Ông muốn lấy ra 6 quyển đem tặng cho 6 học sinh
A,B,C,D,E,F mỗi em một quyển.Tính xác suất để sau khi tặng sách xong mỗi một trong ba loại
IV.

Toán, Vật lý, Hóa học đều còn lại ít nhất một quyển.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn?
A. 12

B. 24

C. 4

D. 6

C. n = 4

D. n = 6

2
n −1
Câu 2: Số tự nhiên n thỏa mãn An − Cn +1 = 5 là:



Câu 5: Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh sao
cho có đúng 3 học sinh nữ.
A. 110790

B. 119700

C. 117900

D. 110970

Câu 6: Cho 10 điểm phân biệt A1 , A2 ,K , A10 trong đó có 4 điểm A1 , A2 , A3 , A4 thẳng hàng, ngoài ra
không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi cs bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 diểm trên?
A. 96 tam giác

B. 60 tam giác

C. 116 tam giác

D. 80 tam giác

Câu 7: Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi
sao cho có ít nhất 1 viên bi màu xanh?

A. 105

B.924

C.917



3
C. C12

B. 12!

3
D. A12

Câu 11: Hệ số của x8 trong khai triển ( x 2 + 2 )  là:
10

6 4
A. C10 2

6

4

B. C10

C. C10

6

6

4

31


A. 8.

B. 120.

Câu 14: Số số hạng trong khai triển x ( 1 + x )

C. 20.
2017

D. 160.

là:

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 13


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3
A. 2017

TỔ: TOÁN - TIN

B. 2018

C. 1

D. 4034

C. 22017 − 1 .


B. 0 = Cn0 − Cn1 + Cn2 − ... + ( −1) Cnn
n

n
0
1
2
n
A. 2 = Cn + Cn + Cn + ... + Cn

C. 1 = Cn0 − 2Cn1 + 4Cn2 − ... + ( −2 ) Cnn
n

n
0
1
2
n
n
D. 3 = Cn + 2Cn + 4Cn + ... + 2 Cn

1 2
1 4
1
0
2018
Câu 18: Tính giá trị của biểu thức S = C 2018 + C2018 + C2018 + L + 2018 C2018 .
4
16
2

2016
2
2017
Câu 19: Tổng A = C2017 + 2 C2017 + 3 C2017 + ... + 2016 C2017 + 2017 C2017 bằng

A. 2016.2017.22016 .

B. 2017.2018.22015 .

C. 2016.2017.22015 .

D. 2016.2017.22017 .
n

1 

2
1
Câu 20: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển biểu thức  x x + 4 ÷ , biết Cn − Cn = 44?
x 


A. 525

B. 238

C. 165

D. 485


4

B.

1
.
420

C.

1
.
204

D.

1
.
80

Câu 23. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để mặt sáu
chấm xuất hiện ít nhất một lần.
A.

11
.
36

B.


7

người cùng ném bóng vào rổ là:
A.

12
35

B.

1
25

C.

4
49

D.

2
35

Câu 25:Gieo ngẫu nhiên 2 con xúc sắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất của biến cố A: ” Tổng số
chấm xuất hiện là 7”.
A.

1
6


30

D.

1
2

Câu 27: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3
quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau.
A.

2
7

B.

1
21

C.

37
42

D.

5
42

Câu 28: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3

B.

1
21

C.

37
42

D.

5
42

Câu 30: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ít nhất một lần xuất hiện
mặt sấp”
A. P( A) =

1
2

B. P ( A) =

3
8

C. P( A) =

7


Bước 2:Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý ( k ≥ 1) , chứng minh rằng
mệnh đề đúng với n = k + 1 .
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A ( n ) là đúng với với mọi số nguyên dương

1.2.

n ≥ p thì :
•

Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p

•

Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k ≥ p và phải chứng
minh mệnh đề đúng với n = k + 1 .

Vấn đề 2. DÃY SỐ
2.1.Định nghĩa :Dãy số là hàm số với đối số là số tự nhiên

u : N* → R
n a u ( n)

2.2. Dãy số tăng, dãy số giảm
•

( un ) là dãy số tăng

⇔ un +1 > un , ∀n ∈ N *


•

( un ) là dãy số bị chặn dưới

⇔ ∃ m ∈ R : un > m , ∀n ∈ N * .

•

( un ) là dãy số bị chặn

⇔ ∃ m , M ∈ R : m ≤ un ≤ M , ∀n ∈ N * .

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 16


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

Vấn đề 3. CẤP SỐ CỘNG
*
+ Định nghĩa :Dãy số ( un ) là cấp số cộng ⇔ un +1 = un + d , ∀n ∈ ¥

d là số không đổi , gọi là công sai của cấp số cộng .

(

)

*

(

)

n −1
*
+ Số hạng tổng quát : un = u1.q , ∀n ≥ 2 , n ∈ ¥ .

+ Tính chất :

uk2 = uk −1.uk +1 , ( ∀k ≥ 2 , k ∈ ¥ * ) .

+ Tổng n số hạng đầu tiên :
 S n = u1 + u2 + ... + un = nu1

n
 S = u + u + ... + u = u1 (1 − q )
1
2
n
 n
1− q
II.

khi q = 1
khi q ≠ 1

TÓM TẮT MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1.


TỔ: TOÁN - TIN

Để tìm số hạng tổng quát của một dãy số khi nó được cho dưới dạng truy hồi ta có rất nhiều
cách nhưng thông thường ta nên viết một số só hạng đầu , rồi dự đoán công thức và chứng
minh lại bằng quy nạp .

3.

Xét tính tăng , giảm và tính bị chặn của dãy số .

Phương pháp : Dựa theo định nghĩa :
o

( un ) là dãy số tăng

⇔ un +1 > un , ∀n ∈ ¥ *

⇔ un +1 − un > 0, ∀n ∈ ¥ *
⇔
o

un +1
> 1 , ( un > 0 , ∀n ∈ ¥ *
un

( un ) là dãy số giảm

)


un

Tìm u1 , d , q, S n của cấp số

5.

Phương pháp : Dựa vào các công thức về số hạng tổng quát , tổng của n số hạng đầu tiên của cấp
số cộng hoặc cấp số nhân để suy ra kết quả .
+ Nếu ( un ) là cấp số cộng thì :
•

un = u1 + (n − 1)d , ∀n ≥ 2 , n ∈ ¥ *

•

S n = u1 + u2 + ... + un =

n(u1 + un ) n [ 2u1 + (n − 1)d ]
.
=
2
2

+ Nếu ( un ) là cấp số nhân thì :
•

un = u1.q n −1 , ∀n ≥ 2 , n ∈ ¥ * .

•



•

2
*
Nếu ( un ) là cấp số nhân thì : uk = uk −1.uk +1 , ∀k ≥ 2 , k ∈ ¥ .

III.

(

)

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a) 2n −3 > 3n − 1 , ∀n ≥ 8
3
2
b) un = n + 3n + 5n chia hết cho 3, với mọi n ∈ ¥ *

c) Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n ∈ ¥ * :
1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) =

n(n + 1)( n + 2)
3

Bài 2: Xét tính tăng , giảm của các dãy số ( un ) biết :
2n + 1
un =


4n 2 + 2 n
2n 2 + n + 1

Bài 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( un ) biết:
5

u1 = 4
b) ( un ) : 
;
u = un + 1
 n +1
2

u1 = −1
a) ( un ) : 
un +1 = 2un + 1

Bài 5. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
 u 2 + u4 = 5
u1 + u5 − u3 = 10
u2 + u5 − u3 = 10
a) 
; b) 
; c)  2
2
u2 + u5 = 7
u4 + u6 = 26




 u1 + u3 = 10

1
7 , ( q > 0)
a)  2
;
b)  1 1
2
+
+
=
u
+
u
=
50

3
 1
u u
u3 12
2
 1

u1 = 1 , u2 = 2
Bài 10. Cho dãy số ( un ) : 
.

un+1 = 3un − 2un−1 , ( ∀n ≥ 2 )

Câu 2: Cho dãy số (un) xác định bởi: 
. Khi đó u50 bằng:
un = un−1 + 2n ví i mäi n ≥ 2
A. 1274,5

B. 2548,5

C. 5096,5

D. 2550,5

u1 = −1
Câu 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: 
. Khi đó u11 bằng:
. n−1 ví i mäi n ≥ 2
un = 2nu
A. 210.11!

B. -210.11!

Câu 4: Dãy số un =
A.

1
2

C. 210.1110

D. -210.1110


n

Câu 6: Trong các dãy số (un) sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn
A. un =

n2 + 1

C. un =2n + 1

B. un = n +
D. un =

1
n

n
n+ 1

Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 20


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

Câu 7: Cho dãy số (un) vói un = 3n. Hãy chọn hệ thức đúng:
A.

u1 + u9
= u5

là số hạng thứ bao nhiêu?
n +1
41
2

A. 10

B. 9

C. 8

D. 11

u1 = 1
Câu 10: Cho dãy số 
2 n Số hạng tổng quát của dãy số trên là?
un +1 = un + ( −1)
A. un = 1 + n

B. un = 1 − n

C. un = 1 + ( −1)

2n

D. un = n

u1 = −2

1 . Số hạng tổng quát của dãy số trên là?


n ( 2n + 1) ( n + 1)
( n − 1) n ( 2n + 2 )
B. un = 1 +
6
6

( n − 1) n ( 2n − 1)
6

D. Tất cả đều sai

Câu 13: Dãy số nào sau đây là dãy tăng:

π
n
2n
n
u n = (−1) (3 + 1)

A. u n = (−1) n +1 sin

B. u n =

2n + 3
3n + 2

C. u n =

1

2

( n + 1) ( n + 2 )
2

Câu 15: Tính tổng S ( n ) = 1.1!+ 2.2!+ ........... + 2007.2007! . Khi đó công thức của S ( n ) là:
A. 2007!

C. 2008!− 1

B. 2008!

D. 2007!− 1

u1 = 3

Câu 16: Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi: 
1
* Tìm công thức tính số
un +1 = 2 un ∀n ∈ ¥
hạng tổng quát un của dãy số
A. un =

3
2n

B. un =

3
2

A. a = 0
B. a = ±1 C. a = ± 2
D.Tất cả đều sai.
Câu 20: Cho a,b,c lập thành CSC. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. a 2 + c 2 = 2ab + 2bc
B. a 2 + c 2 = 2ab − 2bc
C. a 2 − c 2 = 2ab − 2bc
D. a 2 − c 2 = ab − bc
Câu 21: Cho CSC có u4 = −12, u14 = 18 . Khi đó số hạng đầu tiên và công sai là
A. u1 = −20, d = −3

B. u1 = −22, d = 3

C. u1 = −21, d = 3

D. u1 = −21, d = −3

Câu 22: Cho CSC có u4 = −12, u14 = 18 . Khi đó tổng của 16 số hạng đầu tiên CSC là?
A.24

B. -24

C. 26

D. – 26

Câu 23: Cho CSC có u5 = −15, u20 = 60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của CSC là?
A. 200

B. -200


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

1
1
1
1
1
1
A. q = ; u1 =
B. q = − , u1 = −
C. q = 4, u1 =
D. q = −4, u1 = −
2
2
2
2
16
16
Câu 27: Cho CSN có u1 = −1, u6 = 0, 00001 . Khi đó q và số hạng tổng quát là?
1
−1
, un = n −1
10
10
−1
1
C. q = , un = n −1


Câu 29: Cho dãy số

−1
; b , 2 . Chọn b để ba số trên lập thành CSN
2

A. b = −1

B. b = 1

C. b = 2

D. Đáp án khác

Câu 30: Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN.
1

u1 =
2
A. 
u = u 2
n
 n +1

B. un +1 = nun

u1 = 2
C. 
un +1 = −5un

3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
r
- Giả sử cho v ( a; b ) và một điểm M(x;y). Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M thành điểm M’
x ' = x + a
thì M’ có tọa độ là : 
y' = y +b
BÀI 2. PHÉP QUAY
1. Định nghĩa
Cho điểm O và góc lượng giác α. PBH biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M ≠ O thành
điểm M′ sao cho OM′ = OM và góc (OM; OM′ ) = α đgl phép quay tâm O góc α.
Điểm O: tâm quay.
Góc α: góc quay.
Kí hiệu: Q(O,α).
Nhận xét:
• Chiều quay dương là chiều dương của đường tròn lượng giáC.
• Với k ∈ Z,
– Q(O,2kπ) là phép đồng nhất.
– Q(O,(2k+1)π) là phép đối xứng tâm O.
2. Tính chất
Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì.
Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng → đường thẳng, đoạn thẳng → đoạn thẳng bằng nó, tam
giác → tam giác bằng nó, đường tròn → đường tròn có cùng bán kính.
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 24


TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG SỐ 3

TỔ: TOÁN - TIN

• Nhận xét:

– PBH có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là một phép dời hình.
2. Tính chất
Phép dời hình:
1) Biến 3 điểm thẳng hàng → 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.
2) Biến đường thẳng → đường thẳng, tia → tia, đoạn thẳng → đoạn thẳng bằng nó.
3) Biến tam giác → tam giác bằng nó, góc → góc bằng nó.
4) Biến đường tròn → đường tròn có cùng bán kính.
Chú ý:
a) Nếu PDH biến ∆ABC → ∆A′ B′ C′ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn
ngoại tiếp, nội tiếp của ∆ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn ngoại tiếp,
nội tiếp của ∆A′ B′ C′ .
b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh → đa giác n cạnh, đỉnh → đỉnh, cạnh → cạnh.
BÀI 4. PHÉP VỊ TỰ
1. Định nghĩa

uuuur
uuuu
r
• Cho điểm O và số k ≠ 0. PBH biến mỗi điểm M thành điểm M′ : OM ' = kOM đgl phép vị tự
tâm O, tỉ số k.
Kí hiệu: V(O,k).
O: tâm vị tự, k: tỉ số vị tự.
Nhận xét:
1) V(O,k): O a O
2) Khi k =1 thì V(O,1) là phép đồng nhất.
3) Khi k= –1 thì V(O,–1) = ĐO
Đề cương ôn thi HK1 Toán 11 – Trang 25