ĐỀ THI chän Häc Sinh giái vßng 3 hun ThiƯu ho¸
MƠN THI : TỐN
Thời gian làm bài : 150 phút
C©u 1: (3 ®iĨm) Cho x =
3
3
1
2 1
2 1
− −
−
.
TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc P = x
3
+ 3x + 2008.
C©u 2: ( 2,5 ®iĨm) H·y x¸c ®Þnh d¹ng cđa tam gi¸c ABC nÕu c¸c c¹nh x, y, z cđa nã lu«n
tháa m·n ®¼ng thøc :
xyzxy
z
zx
y
yz
x
4
1
111
=
+
+
+
+

yxx
3623
2423
223
3
3
3
C©u 7: (2,5 ®iĨm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A =
9
1227
2
+
−
x
x
§¸p ¸n
N
I
C
B
A
M
Câu
1
Đặt
vu
=

=
3

===
xx
xxvuuvvuvux

Vậy giá trị cần tìm của P là 2006
1,5
1
0,25
0,25
Câu
2
Tacó: Ap dụng BĐT
1 1 4
A B A B
+
+
với mọi A, B > 0
Và c/m CĐT này
1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )
x y z x y
yz zx xy xy yz zx yz xy zx yz zx
+ + = +
+ + + + + + + + + ( ) ( )
z
xy yz zx xy
+
+ + +
1 1 1
4 4 4
x x y y z z

INC (c-c-c) vậy
ã
MBI
=
ã
NCI
Xét tứ giác ABCI có
ã
MBI
=
ã
NCI
vậy tứ giác ABCI nội tiếp hay I thuộc đờng tròn Ngoại tiếp tam giác ABC cố
định, mà Trung trực của BC cố định Vậy I cố định hay trung trực của MN đi qua
I cố định.
0,5
1
1
Câu
4
a) Gọi giao điểm của CH với AB là I
AH với BC là K
ta có tứ giác BIHK nội tiếp 1


ã
ã
0
180IBK KHI+ =
mà



ã
ã
IBK APC=
(2)
từ (1), (2)


ã
ã
0
180APC AHC+ =


tứ giác AHCP nội tiếp
0,5
b), Tứ giác AHCP nội tiếp


ã
ã
AHP ACP=
=
ã
ACM
lại có
ã
ã
0


ã
ã
0
180AHP AHN+ =


N, H, P thẳng hàng
0,25
0,25
c)
ã
ã
ã
ã
2 ; 2MAN BAM MAP MAC= =


ã
ã
ã
ã
2( ) 2NAP BAM MAC BAC= + =
(<180
0
) không đổi
0,25
Có AN=AM=AP , cần chứng minh NP = 2.AP.sin
ã
BAC

(
)
2 2 2 2
2008 2008 2008 2008 2008x x y y x x x x+ + + + + = +
\


(
)
(
)
2 2
2008 2008 2008 2008y y x x + + = +

y = x +
2 2
2008 2008x y+ +
Tửụng tửù ta cuừng coự: x = y +
2 2
2008 2008y x+ +
Vaọy: x + y = x +
2 2
2008 2008x y+ +
y +
2 2
2008 2008y x+ +


x + y = x y


)2(3)1)(2(
)2(2)1)(2(
2)1)(2(
2
2
2
xzz
zyy
yxx
Nhân các vế của 3 phơng trình với nhau ta đợc:
0,5
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)
2
(y+1)
2
(z+1)
2
= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)

(x - 2)(y - 2) (z - 2)
[ ]
6)1()1()1(
222
++++
zyx
= 0

(x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0

x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2

2
2 2
2 2 2
4 36 4 12 9
2 3
27 12
4 4
9 9 9
x x x
x
x
x x x
+ + +
+

= =
+ + +
.
A đạt GTLN là 4
( )
2
3
2 3 0
2
x x+ = =
1,25
1,25