Trường THPT Tân Quới 2008-2009
PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
A. Phương trình - bất phương trình chứa căn thức
I. Phương pháp biến đổi tương đương
1. Kiến thức cần nhớ:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 1 2 1
2 2
2 1 2 1
1.
2. 0
3. ,
4. 0
5. ,
n
n
n n
n n
n n
n n
a a
a b a b ab
a b a b a b
a b a b
a b a b a b
+ +
+ +

( )
( )
0
0
g x
f x

<


≥


TH2:
( ) ( )
2
( ) 0g x
f x g x
≥



>


* Dạng 3:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
( ) 0

có nghiệm x=
α
thì chia vế trái cho cho x–
α
ta được
( )
( )
1 2
0 1 2 1
0
n n
n n
x b x b x b x b
α
− −
− −
− + + + + =L
, tương tự cho bất phương
trình.
* Phương trình−bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng,
nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm
số không được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác.
* Phương trình−bất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì việc giải phương trình
theo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trình−bất phương trình bậc 3
và nếu không ta phải chuyển sang hướng khác.
“Cũng như không ?!”
Ví dụ 1: Giải phương trình:
01312
2
=+−+−

(1), Với
3
2
x ≥ −
hai vế (1) đều không
âm nên ta bình phương 2 vế: x
3
– x
2
– 5x – 3
0
≥
( ) ( )
2
3 1 0x x⇔ − + ≥
b) Tương tự với 2 dạng: *
( ) ( )
f x g x≥
*
( ) ( )
f x g x<
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
( )
2
2 6 1 2 0 1x x x− + − + <
Giải
( )
2
1 2 6 1 2x x x⇔ − + < −
bất phương trình tương đương với hệ:

− < <


Ví dụ 2: Tìm m để phương trình
2
2 1 2x mx m− + = −
có nghiêm.
Giải
* Nếu m < 2 ⇒ phương trình vô nghiệm.
* Nếu m ≥ 2 ⇒ phương trình ⇔ x
2
−2mx−m
2
+4m−3=0. Phương trình này có ∆=2m
2
−4m+3>0 với mọi m.
Vậy với m ≥ 2 thì phương trình đã cho có nghiêm.
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình
2
2 3 1x mx x+ − = +
có hai nghiệm phân biệt.
Giải:
Cách 1:
( )
2
1
2 4 0,(*)
x
PT
x m x

4 4 20
m
x m m m m
m m m
≤


≥ − ⇔ − ≥ − + ⇔ ⇔ ≤ −

− ≥ − +


Chú ý: + x
1
> 0, x
2
< 0 vì x
1
> x
2
và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu.
+ Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm.
+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với
1 0x t≥ − ⇒ ≥
.
(*) trở thành:
( ) ( ) ( )
2
1 2 1 4 0t m t− + − − − =
(**). Để (*) có 2 nghiệm

−
hay
( )
2
4 12 0
1 9
0
2 2
1
2 2
m
f m
S


∆ = − + >


 
− ≥ ⇔ ≥

 ÷
 


> −


.
Chú ý : Cách 2: đặt

( ) ( ) ( )
2
1 2 2 1x x x x x− + + =
.
Giải
Điều kiện:
( )
1
2 *
0
x
x
x
≥


≤ −


=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2 2
2
1 2 2 1 2 4 2 1 2 2 1

. Kết hợp với điều kiện ta tìm
được |m| ≥ 4.
b. Chuyển về phương trình – bất phương trình tích:
- Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức
Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích...
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2
7 7x x+ + =
.
HD:
• Bình phương hai vế.
• Dùng hằng đẳng thức a
2
− b
2
=0.
• Nghiệm
1 29
2,
2
x x
−
= =
.
Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a.
( )
2
2
4
1 1

2
≥
x
, do m > 0.
( ) ( ) ( )



=−+
=
⇔−=+−⇔
)2(,326
2
242
23
mxx
x
xmxxpt
. Để chứng minh
0
>∀
m
, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì chỉ
cần chứng minh phương trình (2) có một nghiệm khác 2.
Thật vậy: đặt
( )
3 2
6 32, 2f x x x x= + − ≥
, ta có f(2) = 0,
( ) ( )

+ ± + =
Ta biến đổi thành:
( ) ( )
( )m ax b cx d ax b cx d+ ± + = + − +
Ví dụ: Giải phương trình:
3
4 1 3 2
5
x
x x
+
+ − − =
. ĐS: x=2.
- Dạng: u+v=1+uv ⇔ (u-1)(v-1)=0
Ví dụ: Giải phương trình:
3
2
3 3
1 2 1 3 2x x x x+ + + = + + +
. ĐS: x=0, x=−1.
Ví dụ: Giải phương trình:
3 24
4
1 1x x x x+ + = + +
. ĐS: x=0, x=1.
- Dạng: au+bv=ab+uv ⇔ (u−b)(v−a)=0
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +
. ĐS: x=0, x=1.

A i n≥ ≤ ≤
khi đó pt tương đương với:
, ,
1 2
0 0 0L
n
A A A= = =
.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
4 3 3 4 3 2 2 1x x x x x+ + = + + −
.
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ THÁI THANH TÙNG
3
Trường THPT Tân Quới 2008-2009
HD: Phương trình tương đương
( ) ( )
2
4 4 3 3 1 2 2 1 2 1 0x x x x x x− + + + − − + − =
. ĐS: x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2 2
4 2 4x y y x y− − + = +
.
Giải
Bình phương hai vế ta được
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2

1 2 2 3x x x− + − = −
. ĐS:
3
1; 2;
2
x x x= = =
.
e. Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu:
- TH1: Mẩu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
( )
( )
2
2 16
7
3 1
3 3
x
x
x
x x
−
−
+ − >
− −
(ĐH Khối A−2004)
Giải
ĐK:
4≥x
.

⇔

− ≥



⇔ − < ≤


− > −



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
10 34> −x
.
- TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp:
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a.
( )
2 2
3 4 9x x x− + ≤ −
b.
2
51 2
1
1
x x
x
− −
<

1 2 1 2 2 .x x x− + + ≥ −
HD: Cách 1: Đặt
4 2
2
4
1 2 1 2
16
t t
t x x x
−
= − + + ⇒ = −
. Cách 2: Bình phương rồi đưa về dạng:A
1
+A
2
= 0, với
A
1
, A
2

0
≥
.
Bài 3: Giải phương trình
4 3 10 3 2x x− − = −
. (HD: Bình phương hai lần ra phương trình bậc 4 đầy
đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức).
Bài 4: Giải phương trình
2

x
x x+ + − = −
6.
2
2 3 3 1
4
x
x x
− +
+ = + +
7.
5 3 3 1 1x x x− + − = −
. (HD:Bình phương rồi sử dụng dạng: A
1
+A
2
= 0, với A
1
, A
2

0
≥
).
Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
m x m x m+ + − =
.
Bài 8: Tìm m sao cho phương trình:
2
4x x x m− = +

3
x
x x
x
+ + =
+
.
c.
3
4 3 1 4x x
x
+ = + +
. d.
2
2 3 9 4x x x+ = − −
.
e.
2 2
2 1 4 3 1 2 2 6x x x x x x− + + + = + +
.
II. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Dạng 1:
( )
( )
0
n
F f x =
, đặt
( )
n

( )
2
2
5 2 6 1 0; 6t x x x t
 
= − − = − + ⇒ ∈
 
.
Khi đó phương trình trở thành
( )
2 2
2 5 0 * 5t mt m t m− + − = ⇔ = ±
. Phương trình đã cho có nghiệm khi (*)
có nghiệm
0; 6t
 
∈
 
hay
0 5 6 5 6 5
0 5 6 5 6 5
m m
m m
 
≤ + ≤ − ≤ ≤ −
⇔
 
≤ − ≤ ≤ ≤ +
 
 

1 2 0, 2m t t+ + − ≤
Khi đó ta có
2
2
1
t
m
t
−
≥
+
, với
1 2t≤ ≤
. Đặt
( )
2
2
1
t
f t
t
−
=
+
, dùng đồ thị ta tìm được
2
3
m ≤
.
Dạng 2: