trường đại học sư phạm hà nội 2
khoa toán
----------o0o----------

NGUYỄN THỊ THU HÀ

PHÂN TÍCH THỐNG KÊ QUÁ TRÌNH
ĐIỂM POISSON

khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Người hướng dẫn khoa học
Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội – 2008

Mục lục
Trang
Mở đầu……………………………………………………………….
-1-

1


Bảng kí hiệu…………………………………………………………

3

Chương 1: Quá trình điểm Poisson………………………………..

4

-2-


Tài liệu tham khảo………………………………………………...
35

-3-


mở đầu
Xác suất thống kê là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện
tượng ngẫu nhiên. Nói một cách khác thì hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng
không thể nói trước được nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần
quan sát. Tuy nhiên nếu thực hiện quan sát nhiều lần một hiện tượng ngẫu
nhiên trong những hoàn cảnh như nhau thì trong nhiều trường hợp ta có thể
rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này.
Trong thời đại khoa học kĩ thuật ngày nay, Xác suất thống kê là lĩnh vực
toán học có cơ sở lý thuyết chặt chẽ và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
hoạt động khác nhau của con người từ âm nhạc tới vật lý, từ văn học tới thống
kê xã hội, từ cơ học tới thị trường chứng khoán, từ dự báo thời tiết tới kinh tế,
từ nông học tới y học.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bộ môn toán ứng dụng, dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Trung Dũng, em đã chọn đề tài: “Phân tích
thống kê quá trình điểm Poisson”.
Nội dung của khoá luận gồm 2 chương:
Chương 1: Quá trình điểm Poisson.
Trong chương này, trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản của quá
trình điểm Poisson như mômen và độ đo mômen, các phân phối đối với quá
trình Poisson...
Chương 2: Phân tích thống kê quá trình điểm Poisson.

: {x 

d

: Thể tích hình cầu đơn vị trong d

r}

(, A, P) : Không gian xác suất cơ bản
B

d

:  - đại số Borel trên

d
d

d

: Độ đo Lebesgue trên 

1B

: Hàm chỉ tiêu của tập B


Chương 1. Quá trình điểm Poisson
1.1. các Định nghĩa


ánh xạ 


(B) là

đo được với mọi tập Borel B.
Định nghĩa 1.2. Phân phối P của quá trình điểm được xác định
bởi
P(B) P (B) P ( : ()
B), B
N
(1.1)
Định nghĩa 1.3. Quá trình điểm hoặc phân phối P của nó được
gọi là:


dừng (hay thuần nhất) nếu các đặc trưng của nó là bất biến dưới phép

dịch chuyển, tức là 
x 

d

.

 x n 
và

x  x n  x




x khẳng định điểm x thuộc dãy ngẫu nhiên và trong
trường hợp

này ta kí hiệu

 x n  .

 (B) khẳng định tập B chứa n điểm của .
n


Từ Định nghĩa 1.1 và Định nghĩa 1.4 ta thấy rằng nếu là
một quá

trình điểm trên  thì là độ đo ngẫu nhiên
d
d
trên 

do đó các kết quả của

độ đo ngẫu nhiên cũng được áp dụng vào lý thuyết quá trình điểm.
Định nghĩa 1.5. Hệ thống xác suất
P ((B1) n1,(B2 ) 
n2,...,(Bk ) nk )
trong đó

B1,B2 ,...,Bk là các tập Borel giới nội

trong S. Khi đó ta có:
1. Giả sử

 2 là hai quá trình điểm đơn giản trên S . Khi
đó 1
1 và

và
có cùng phân phối nếu và chỉ nếu P (1(B)

 0) P
2
BS

*

(2 (B)
 0) ,

.

2. Giả sử

 2 là hai quá trình điểm đơn giản hoặc là các
độ đo
1 và

ngẫu nhiên khuếch tán trên S và với c > 0 cố định bất kì. Khi đó

cùng phân phối nếu và chỉ nếu E e

BS

*

.

Nhận xét 1.1. Từ định lý trên nếu là quá trình điểm đơn giản thì
phân phối
P của nó được xác định duy nhất bởi các giá trị của

k ,


K K - là họ tất cả

các tập compact trong □ d .
Định nghĩa 1.7. Quá trình điểm được gọi là quá trình điểm
Poisson với
cường độ ( 0 
d
) trên 


nhiên

nếu thoả mãn các điều kiện sau:

d

Nếu B ,B ,...,B

có phân phối Poisson với trung bình


Tính chất 1.1. Quá trình điểm Poisson định nghĩa như trên là bất biến chuyển
động.
Thật vậy, với mọi BB

d

thì
trung bình

.d  B  . Mặt
khác,

Poisson với trung bình

giới nội  B có phân phối Poisson
với

x


có

d

.d Bx 
.d B



o  1  B  

P   B 1 = od  B
Chứng
minh
Với BB
thì

d B.

d

giới nội 

Theo khai

có phân phối Poisson với trung bình

B
triển

P   B  0 = e

Taylor ta

có





khi d  đủ nhỏ.
B

P   B 1 =1- P   B 0 - P   B 1
= 0  d  B  
khi

d  đủ nhỏ.
B

Nhận xét 1.2. Giả sử B là tập Borel với

d  B =1. Khi đó
E B  . Như

vậy chính là số điểm trung bình của trong tập có thể tích đơn
vị.
Định nghĩa 1.7. Độ đo cường độ của quá trình điểm được
xác định bởi
(B) E (B)  (B)P(d), BB

d

(1.4)
Tính chất 1.3. Nếu là quá trình điểm dừng thì độ đo cường độ
 thoả
mãn

(B) .d (B), 0 .

1
vị thể
tích. Ta luôn giả thiết 0 
.

HB (đối với tập tiêu chuẩn B ) của

Định nghĩa 1.9. Hàm phân phối tiếp
xúc quá trình điểm được xác
định bởi
HB(r)
1 P  (rB) 

với r 0 ,

0,
d

trong đó BB với và
0B
d

(B) 0 .

Chú ý 1.3. Giả sử f là hàm đo được trên


d

d





f
(x)(dx).
Giá trị trung bình của tổng ở trên được viết như sau:



E

f

f (x),

hoặc

(x)P(d)
x





 f

(x)(dx)P(d) .

x


nd

xác định trên B

 f (x1, x2,..., xn
)

bởi

(n) (d(x , x ,..., x ))
1 2
n







f (x1, x2,..., xn )
x1,x2 ,..., Pd()
xn

=E


trong đó f là một hàm đo được không âm trên



ì  (B ) E (B) .
Như vậy,
 Bn B

Nế
u

mômen cấp n của biến ngẫu
nhiên



(

cho

n)

(B) .

Trường hợp đặc biệt:
+ Với n = 1:

+ Với n = 2:

(1)

d

(B) E (B) (B), BB .

Nếu là quá trình điểm dừng
thì 

(n)

(n)

 (B1 B2
...Bn ) 

(n)

là bất biến dịch chuyển, tức là
d

(B1 x) ... (Bn x), x  .


Định nghĩa 1.11. Độ đo mômen giai thừa cấp n (factorial moment measure)
của quá trình điểm kí
hiệu là

nd

 xác định trên B bởi
(n)

 f (x1, x2,..., xn )

(n)

d

B1,B2 ,...,Bn B đôi một rời nhau thì


(n)

(n)

(B1 B2
...Bn )


 Với n = 2 thì 

(2)

(B1 B2 ... Bn )

(B1 B2 ) (B1  B2 ) 

(2)

(B1

d

B2 ), B1, B2 B .
Điều này được chỉ ra từ định nghĩa của 
, 

1
2


B1 B2 B thì (n)(B n ) E (B)n ,
n
...
còn (n) (Bn ) =E (B)((B) 1)...((B) n 1).
Đại lượng trong ngoặc của kì vọng là giai thừa cấp n của biến ngẫu nhiên
(B) , vì vậy, người ta dùng thuật ngữ “độ đo mômen giai thừa”.
1.2. Một số tính chất cơ bản của quá trình điểm Poisson

Tính chất 1.4. Nếu B ,B ,...,B là các tập Borel giới nội rời nhau thì ta có
1 2
k
P   B n1,B2 n2,...,  Bk

nk 
k

i1ni

 1  B1  



n1,n2,...,nk
trong đó  0.




Chứng minh
Vì B1,B2,...,Bk là các tập Borel rời nhau cho nên từ điều kiện thứ nhất
của định nghĩa của quá trình Poisson ta có

  B1  ,...,
  Bk

là các biến ngẫu



nhiên độc lập do đó với n ,n ,...,n 0 thì
1 2
k
k

P    B1 n1,B2 n2,...,  Bk
 PBi ni .

nk

i1

Mặt khác, từ điều kiện thứ hai của Định nghĩa 1.7 ta có

 B i
1,k

 ,i

i1


i1ni
k

 1  B1  


d



n

...d  Bk


ex
n1 ! n2 !...nk !

nk



k


p  i
 i

Tính chất 1.6. Hàm phân phối tiếp xúc cầu

HS  r của quá trình điểm

Poisson cho bởi


HS r 1exp

 .dr d , r 0

(1.7)
Đây chính là hàm phân phối của khoảng cách từ 0 đến điểm gần nhất của
.


Định nghĩa 1.12. Cho W là tập compact trong
gọi là có phân phối đều trong W nếu
P  A

 d
A 

(1.8)

d

với mọi tập con Borel A trong W.

 W

P   i A



(1.9)

d

A 
d  W 
Ta kí hiệu quá trình điểm nhị thức của n điểm trong tập compact W là

 n . Với mỗi tập con Borel A của W ta đặt



n A



W

W




rơi vào A.




0, W
và

n



W
 A2

A1



n

n

A   A
1



W

2

W



n

 W


d  A 

.

d  W 

W

n
W   K 




2. Xác suất trống
n

(1.10)

  K

k  P 




là các tập Borel rời nhau và A1  A2  ...  A k =
thì

n
 n

P





A

A
n

1
k
k
W
n1,...,W


 A n1 ...  nk
n!
A
d
k


k , K là tập compact của W, của quá trình 
trên W

  W có dạng (1.10). Thật vậy, với mỗi tập con compact

K của W ta có  n






P   K 0  W n =
0,  W n
 
P

W 

P   K

n



P   K  0P .  W K  n

P    W n



X1, X 2,...là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối đều trong W. Khi
đó tập ngẫu nhiên
 X i ,1i N
là một quá trình Poisson với cường độ .
Chứng minh
Giả sử B ,B ,...,B
1 2
n
B

d là các tập con rời nhau của W. Ta đặt

Bn1 W \ n
 Bi .
i1

Chú ý rằng với N = k thì    B1  ,  B 2

trong đó  B i
là số

 B n  1  

,...,

điểm của rơi
vào Bi




d

.

 W 

l

 d

k1

kn1

 B1   d  Bn1  
...