KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT
NĂM HỌC 2017 – 2018

UBND TỈNH HÒA BÌNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 15/12/2017.
Thời gian làm bài 180 phút.

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01trang)

Họ tên thí sinh:…..………………………………………………
Số báo danh:…………............ Phòng thi:………………………
Câu 1: (3,0 điểm):
a) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số f ( x) = 1 + 3x2 - 2 x3 .
b) Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y =

2 x - mx 2 + 1

(x - 1)

2

có đường tiệm cận đứng.

Câu 2 (5,0 điểm):
a) Tính tổng các nghiệm x    ;   của phương trình:

2(cosx  3 sin x) cos x  cos x  3sinx  1.

c) Tính cosin góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( BKH ) .
Câu 4 (4,0 điểm):
æ 2 2 ö÷n
ççç x - ÷÷ , x ¹ 0
xø
è

7

a) Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của
, biết rằng n là số
3
2
3
nguyên dương thỏa mãn 4Cn+1 + 2Cn = An .
b) Cho đa giác lồi có 14 đỉnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác
đã cho. Chọn ngẫu nhiên trong X một tam giác. Tính xác suất để tam giác được chọn không có
cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho.
Câu 5 (2,0 điểm):
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm K (-2; -5) và đường tròn (C) có phương
trình ( x - 1) + ( y - 1) = 10 . Đường tròn (C 2 ) tâm K cắt đường tròn (C) tại hai điểm A , B sao
2

2

cho dây cung AB = 2 5 . Viết phương trình đường thẳng AB .
Câu 6 (2,0 điểm):
2

(

UBND TỈNH HÒA BÌNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án gồm có 03trang)

Câu

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT
NĂM HỌC 2017 – 2018
Môn thi: TOÁN.
Ngày thi: 15/12/2017

Nội dung

Điểm

Tập xác định của hàm số D =  . f ʹ ( x) = 6 x(1 - x)
1a
(2đ)

0,5

f ʹ ( x) = 0 khi x = 0, x = 1

1,0

Xét dấu f ʹ ( x) .
Kết luận đồ thị hàm số có một điểm cực đại có tọa độ (1; 2) và một cực tiểu (0;1) .

0,5


Khi m = 3 , ta có lim y = lim
x1

x1

2 x - 3x2 + 1
2

(x - 1)

= lim

x2 - 1

x1 æ

2
ö
ç2 x + 3 x 2 + 1÷÷( x - 1)
çè
ø

0,5

x +1
= ¥
æ
ö
x1


2b
(1,5đ)

2c
(2đ)

æ 3 + 5 ö÷x æ 3 - 5 ö÷x
÷÷ + çç
÷÷ = 7 . Đặt
Đưa PT về dạng ççç
ç
èç 2 ÷ø÷ èç 2 ø÷÷

æ 3 + 5 ö÷x
çç
÷
çç 2 ÷÷÷ = t với t > 0 .
è
ø

2
1
7  3 5 æç 3  5 ö÷÷
2
Ta có PT t + = 7  t - 7 t + 1 = 0  t =
= çç
÷
çè 2 ÷ø÷
t





x  7  3  x2  2x  8

x6
 x 1

  x  2 

 x  4  0
x7 3
 x22

x  2
 x 1
x6
 

 x  4  0  *
x7 3
 x  2  2
Chứng minh phương trình (*) vô nghiệm
x2  x6
x6
1
 x2



Gọi O = AC Ç BD . Ta có SO ^ ( ABCD) .

OA =

3b
(1đ)

AC a 3
3a 2 13a 2
a 13
=
=
 SO =
. SO 2 = SA 2 - OA2 = 4a2 .
2
2
4
4
2

1 a 13
a3 . 26
VS. ABCD = .
.a 2.a =
3 2
6
2
S xq   .DC. AC   a 6.
Chỉ ra được K là trọng tâm tam giác BCD , KA = 2 KC .
Chứng minh được SA ^ ( BKH ) .

Tính được BK =

=
và cos SBH
4a

0,5

0,5

BH
7
=
.
SB
4

Từ 4Cn3+1 + 2Cn2 = An3 . Điều kiện n Î  * , n ³ 3 . Tìm được n = 11 .

1,0


(2đ)
Khai triển

æ 2 2 ö÷11
çç x - ÷ =
çè
x ø÷



0,5

5

5
Vậy hệ số x7 là C11
(-2) = -14784
3
Tính số phần tử của không gian mẫu: n()  C14
 364 .
Gọi A là biến cố : “ Tam giác được chọn trong X không có cạnh nào là cạnh của đa giác
”
Suy ra A là biến cố : “ Tam giác được chọn trong X có ít nhất một cạnh là cạnh của đa
giác ”

4b
(2đ)

TH 1: Nếu tam giác được chọn có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác thì có 14 tam giác thỏa
mãn.
TH 2: Nếu tam giác được chọn có đúng một cạnh là cạnh của đa giác thì có 14.10=140
tam giác thỏa mãn.
Suy ra n( A)  14  140  154
Vậy số phần tử của biến cố A là: n( A)  n()  n( A)  210
n( A) 15
Suy ra P ( A) 

n() 26
Gọi H là giao điểm IK và AB .


0,5

2

(a + b)

(

)

³ 4 ab > 0; a 2 + b2 ³ 2 ab > 0

0,5

Nhân các vế tương ứng hai bđt trên, suy ra điều phải chứng minh.
1
1
8
1
1
8
với a , b > 0 nên
.
Theo phần a) ta có
+ ³
+
³
2
2

³
+ +
xz y 3 ( x - z)2 xz y 3
2

m2 n2 (m + n)
+
³
với a , b , m , n > 0
Ta chứng minh được bất đẳng thức :
a
b
a+b
6b
(1,5đ)

a
b
đẳng thức xảy ra khi
= . Ta có:
m n

0,5

(1 + 2)
4
9
+
³
=

3
çç( x - z)
4 xz ÷÷ y
y
y
x
+
z
y
1
(
)
(
)
è
ø
æ 1ö
36
1
Xét hàm số f (t) =
với 0 < t < 1 . Ta được min f (t ) = f çç ÷÷ = 216
+
2
3
ç
è 3 ÷ø
(0;1)
(1 - t) t
2
1