Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

Lời cảm ơn
Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi bước đầu tập dượt nghiên
cứu đề tài khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô
giáo và các bạn trong khoa.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo PGS. TS.
GVCC Nguyễn Phụ Hy người đã trực tiếp hưỡng dẫn chỉ bảo tận tình để em
có thể hoàn thành bản khoá luận này.
Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ giải
tích, ban chủ nhiệm khoa Toán – Trường ĐHSP Hà Nội2, các cô chú trong
thư viện nhà trường đã tạo điều kiện thuận lợi để em có cơ hội để hoàn thành
công việc của mình.
Ngày

tháng 5 năm 2007
Sinh viên

Nguyễn Thị Khánh Ly

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1

K29E – Toán


Lời nói đầu
Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa

0

có thêm kiến thức về các vấn đề của giải tích,sự khác nhau của chúng trên các
không gian khác nhau, xét ở khía cạnh khác nhau.
Nội dung của khoá luận gồm 3 chương:


Chương 1: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên
không gian định chuẩn ¡ n .
.
Chương 2: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên
không gian định chuẩn lp (p 1) .
³

Chương 3: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên
không gian định chuẩn c0.
Do thời gian nghiên cứu và năng lực có hạn nên một số vấn đề đặt ra
trong khoá luận còn chưa được giải quyết triệt để. Em rất mong được sự giúp
đỡ và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn để khoá luận này được
hoàn thiện hơn.
Ngày

tháng 5 năm 2007.
Sinh viên
Nguyễn Thị Khánh Ly


Chương 1: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục
trên khôn
gian


và a Î P (P= ¡ hoặc

1

C).Ta định nghĩa hai phép toán như sau:
Ta gọi tổng của 2 phần tử x và y và kí hiệu là x + y là phần tử
n

x + y = (xi + yi )i=1
và tích của 2 phần tử x và a ,kí hiệu là a x là phần tử
n

a x = (a xi )i= .

Định lý 1.1.1
¡ đóng kín với hai phép toán cộng và nhân xác định ở trên.
n

Chứng minh:
n

+) " x = (xi i=) " y = (y )n Î ¡ n ,ta có:
i i=
n

" i = 1, n , xi Î ¡ , yi Î ¡ Þ xi + yi Î ¡ , " i= 1, n Þ (xi + yi) i= Î ¡
n

Þ x + y = (xi+ yi) i=

i=
(xi +yi)+zi= xi + (yi+zi), " i = 1, n
Þ (x + y) +z = x + (y +z)

(Tiên đề 2 thoả mãn).

3. Xét phần tử q = (0, 0,…,0) Î ¡ n , " x = (x ) i=n Î ¡ n , ta có:
i
0 +xi = xi " i = 1, n
Þ q+x=x, " x Î ¡

( Tiên đề 3 thoả mãn).

n

4. " x = (x1, x2,…. xn) Î ¡
n

Ta có:

, tồn tại phần tử – x = (-x1,- x2….- xn) Î ¡

xi + (-xi) = 0, " i = 1, n

Þ x + ( - x)= q , " x Î ¡

( Tiên đề 4 thoả mãn).

n


Vậy ¡ n là một không gian tuyến tính thực với hai phép toán cộng và
nhân xác định ở trên.


Bổ đề1.1.1.
Nếu a,b là hai số không âm; p,q là cặp số mũ liên hợp
1 1
( tức là
=
p< ¥ thì
+
1),1
0 , b > 0 ta xét hàm số:

0
+¥

+¥
+
+¥

1
Hình1.1 Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên của hàm j suy ra
min j (t) = j (1) = 1

0< t< ¥

1

- 1


q
p
Do đó j (t) ³ j (1) = 1 , " t Î (0;+ ¥ ). Chọn t = a b ta được


p

- 1

- 1


1

a q .b

1
- p

1

1

p

aq = b p
Û

=1
Û

a =b

q

1

Bổ đề 1.1.2. ( Bất đẳng thức Holder)
1

Nếu p,q là cặp số mũ liên hợp ( tức


p

x
ö÷ p
÷

æn
; B = çççå
è i= 1

i

÷÷ø

1

q

y÷÷
öq i
÷÷
ø

Nếu A.B = 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Nếu A > 0, B > 0,theo bổ đề 1.1.1 ta có
q
xi yi £ xi p + yi
p
q
A.B P.A


n

i= 1

n
n

å

i= 1

xi

p

i= 1

q.B

å

n

i= 1

p(å

Þ



n

q(å q xq ).qq

i

i= 1

æ
AB = ççå
xi

q

i= 1

+
.

xi

èç i= 1

1

+

1


å

i=
1

1

p ön÷p
q ö÷q
æ
æ
ç
£ ççå ÷÷ ç yi ÷
ø è i= 1 ø ÷

n
n

xi
yi

xi
èç i= 1

Bổ đề 1.1.3.( Bất đẳng thức Mincovxki)
Với " x = (xi)

n

i= 1,


p

æn
çç
å xy +
çç
è i= 1 i

1

æ
n

p

÷ö £ çç
yi ÷
÷
ø÷

çå
i= 1

1

æ
n

p

p- 1

(1)

÷÷ x +
(

)

y

i

i

ø
çè ÷

,1£

ø÷

i

i

i
i= 1

Mặt khác, áp dụng bổ đề 1.1.2 ta có:

i= 1

1

p

yi

ö÷p
÷
ø ÷

÷÷
÷
çç
çå
ø

n
= çæ
çå xi
èç i= 1
+

1

p

1



÷

i

æn
ø÷ y
i
è
£
çç

å

1

1

i= 1

xi +


( p- 1)q
i

y

ửữq ổ
ỗ

= ỗổ
ỗồ xi
ốỗ i= 1
+

ứữ

i

ữ

1
y

(3)

p

ửữ
iữ

p

ứữ

T (1) , (2) v (3) ta cú:

1

1

q

p

1

ổn
ị ỗỗ
ố+
ỗồ
i= 1

xi

p

yi ữ
ữữ
ứ

xi
ữữ

ồ

ờở
ổ
n

ữử Ê ỗ ỗ

ự

ộ

ờổ n

ồ

1

ổ

i= 1

1

ứữ ỳ

i= 1

ổ
n

p

ửữ + ỗ
ỗ
ố
p
xi ữ



" x = (x )n
i i=
n
¡
1

Î

1). x =

ta đặt

n

n

å

1

xi .

i= 1

2). x = max xi .
2
1£ i< n



i= 1

2. " x = (x
)n

= 0 Û x = 0, " i = 1,
i
n

Î ¡ , " l Î

Û x= q

¡ ta có

n

i i= 1

n

lx =

l xi

å

1


2

å

i n

n

å

.

i= 1
i

yi

å

2

n

å

n

i

å

i= 1

ç+çy )2 £ æ
(x
i

i

y
£

çèç

n

å
i= 1

2

2

i= 1

x
+
i

2


i= 1

2


n

Û

2

(xi + yi )

å

n

£

å

i= 1

xi

2

n

+

³

" =
0 , i 1,
=

x

n

Þ max
x
1£ i< n

³ 0 Þ

x ³ 0

i

2

Û max x
=0 Û n
x = 0, " i = 1, Û x = q .

0

2


xi + yi

." i = 1, n

+ max y , " i = 1, n
i

max
x

1£ i< n

i

+ max y , " i = 1, n


i

1£ i< n

i

Þ x+
y

£
2

Vậy

Î ¡ , ta có :
n
c.

¡ , thật vậy:
n

i i= 1

1

xi ³
0 , " i = 1, n
Þ

n
æ
ç
xi
ö
èççi= 1
p ÷÷ p
³ 0 ø÷

hay

x

3



Î ¡

, " l Î ¡ ,ta có:

n

i i= 1

1
ö
÷
l xi p p
÷
=÷ l

æ
x = çç
3
ç
è i= 1

n

3. " x = (x
)n

1

p öp
1
p ö÷ p
xi + yi p ö÷ p nç
ç
i
x
÷ +
÷
ø÷
£ èç æi


theo các chuẩn còn lại.

2

Giả sử: (x (k) )¥
k= 1 là một dãy cơ bản bất kỳ trong ¡
(k )

(

( k)

( k)

( k)

)

n

n

với


x

(" e> 0) , ($ k0 Î
¥
0) ,
( $k1
(k)

(0)

xi - xi

k1 ) ta luôn có

*
Î ¥ ) ( "k


¡

n

*
¥ }

n
¡ = {x = ( x1, x2,...,xn) / xi Î ¡ ; n Î

Giả sử: trên ¡

n

đã xác định một chuẩn nào đó kí hiệu .

n

Gọi ei = ( dij )

j = 1,

trong đó:

di j = 1nếu i ¹ j, di j =0 nếu i=j; " i = 1, n
là cơ sở của không gian ¡
Với " x= ( x )n

Î

¡

¡ ) ta có
n

n

" x = (xi)
Î

i= 1

¡ ;
n

*

) (

n

*

) là không gian liên hợp của


n

f(x) = f (



n

å

fi x i

Î ¡

, " x = ( x )i=
1
n
i

i= 1

n

n

i=1

Î

¡

n

ta có



f2

n

i
n

å

f i2

=

å

fi

2

i= 1

i= 1

Suy ra
f = sup f (x )
³

n


2

i=

ta có

2

i= 1

i

n

1

i= 1

f £

Î ¡

n
i=

(3)

2

fi


fi

æn ö
ç
x . ç fi ÷÷
÷
2
,f i
çèå ø÷
i= 1

= f (ei ), i = 1, n


n

n

Mặt khác chọn x0 = (sign (fi) i= Î ¡
n

Þ

n

x0 2 = 1 và f (x0 ) =

(sign(fi )fi =



å

i= 1

fi

Từ (4) chứng tỏ f bị chặn, do đó f Î (¡ n ) và chuẩn trên
*
n *

(¡ ) xác định bởi hệ thức (6)
n

å

3

3. Giả sử x = (

i

1
p p

n
i= 1

x )


i= 1

áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:
ff (x) £

n
n

å

x
i i

Trong đó:

1

p

+

æ
£ çå x
i
çç

1

i= 1


p

ø

è i= 1

ø


1

Þ f £
q

f
ç ö÷ q
n
÷
çèç i ø÷
i=
æ

1

Mặt
khác chọn x0 = (x (0) )
¥
i

n= 1