ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----------------o0o------------------

NGUYỄN THỊ LAN ANH

VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP
HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP
HAI

LUẬẬN VĂĂN THẠẠ
TH C SĨĨ TOÁN
HỌỌC

THÁI NGUYÊN - 2009


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----------------o0o------------------

NGUYỄN THỊ LAN ANH

VỀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CẤP
HAI VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP
HAI
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01

LUẬẬN VĂĂN THẠẠ
TH C SĨĨ TOÁN


1.2. Các tập tiếp tuyến cấp một và cấp hai..............................................

8

1.3. Điều kiện chính quy cấp hai và điều kiện tối ƣu cấp hai..................

15

Chƣơng 2
ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƢU CẤP HAI CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU ĐA
MỤC TIÊU
2.1. Kiến thức chuẩn bị...........................................................................

33

2.2. Điều kiện cần tối ƣu cho bài toán đa mục tiêu với ràng buộc tập...

37

2.3. Điều kiện cần tối ƣu Fritz John.......................................................

41

2.4. Điều kiện tối ƣu Kuhn-Tucker.......................................................

45

KẾT


và M.Castellani [4] đã nghiên cứu tập các phƣơng giảm cấp 2. Tập các
phƣơng chấp nhận đƣợc cấp 2 tập tiếp liên cấp 2 và các điều kiện chính quy
cấp 2 kiểu Abadie và Guignard. Từ đó, các tác giả dẫn các điều kiện cần tối
ƣu Fritz John cấp 2 trên cơ sở phát triển một định lý luân phiên kiểu Motzkin,
và các điều kiện cần tối ƣu Kuhn-Tucker cấp 2 với các điều kiện chính quy
cấp 2 kiểu Abadie và Guignard.
Luận văn tập trung trình bày các điều kiện chính quy cấp 2 và các điều
kiện tối ƣu cấp 2 dƣới ngôn ngữ tập tiếp tuyến cấp 2, tập tiếp liên cấp 2, tập
tuyến tính hoá cấp 2 và các đạo hàm theo phƣơng cấp 2.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chƣơng, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.


Chƣơng 1: Trình bày các nghiên cứu của J. F. Bonnans, R. Cominetti
và A. Shapiro [3] về các tập tiếp tuyến cấp 2 trong và ngoài, tập xấp xỉ cấp 2
trên, điều kiện chính quy cấp 2 và điều kiện chính quy cấp 2 ngoài. Với điều
kiện chính quy Robinson, các điều kiện cần tối ƣu cấp 2 cho bài toán tối ƣu
với ràng buộc nón không trơn đƣợc trình bày cùng với các điều kiện đủ tối
ƣu cấp 2.
Chƣơng 2: Trình bày các kết quả nghiên cứu của G. Bigi và
M.Castellani [4] về điều kiện cần tối ƣu cấp 2 cho cực tiểu yếu địa phƣơng
của bài toán tối ƣu đa mục tiêu có ràng buộc trên cơ sở phát triển một định lý
luân phiên Motzkin không thuần nhất. Các nghiên cứu về tập tiếp liên cấp 2,
tập tuyến tính hoá cấp 2, các điều kiện chính quy cấp 2 kiểu Abadie và
Guignard đƣợc trình bày cùng với các điều kiện cần cấp 2 Fritz John và
Kuhn-Tucker.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS
Đỗ Văn Lƣu, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận
văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán trƣờng Đại học

đƣợc giả thiết là khả vi liên tục hai lần. Kí hiệu

Y
: là tập chấp nhận của bài toán (P) .
1
G (K)
Một số bài toán tối ƣu có thể phát biểu dƣới dạng bài toán (P) . Khi
Y 
và

p

K 0 R
của (P) 

p q

. Tập chấp nhận đƣợc đƣợc xác định bởi

một số hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức, và (P) trở thành


bài toán quy hoạch phi tuyến.
Ví dụ khác, ta xét không gian Y 
C()

gồm các hàm liên tục :
 ¡

xác định trên không gian metric compăc trang bị chuẩn sup.

quy hoạch bán vô hạn.
Một cách tiếp cận khác để nghiên cứu điều kiện tối ƣu là xét các bài
toán tối ƣu có dạng
min g( F( x )),

(1.1)

xX

trong đó g :Y 
R

là hàm lồi chính thƣờng nửa liên tục dƣới và




F : X Y . Bài toán này tƣơng đƣơng với bài toán tối ƣu sau
(xem [7]):
min c,

(1.2)

( x,c )X R

( F( x ),c )
epi( g ),

trong đó



h ( y;d ) :t0
lim

h( y td ) h( y )
.
t

Nhắc lại [5] rằng nếu h(.) lồi, giá trị hữu hạn tại y, chính thƣờng trên
Y, ydom
h thì

'

h ( y;d ) tồn tại và hữu hạn.

Ta cũng sử dụng đạo hàm theo phƣơng dƣới sau:


h ( y;d ) 
liminf

h( y td')
h( y )
.
t

t0

d ' d



Khi h' ( y,d ) tồn tại và là hữu hạn, ta kí hiệu h '' ( y
;d ,) và


''

h( y
;d , )

là đạo hàm parabolic cấp hai trên và dƣới [3], tƣơng ứng của

h tức là
''

h ( y ;d
,) :


liminf
t0

1 2
'
h( y td  t ) - h( y ) - th ( y,d )
2
1 2
2t


và hữu hạn với mọi

trƣờng

hợp này, giá trị chung đó đƣợc ký hiệu h'' ( y ;d ,)
. Khi h( y
)
và


h ( y,d hữu hạn, đạo hàm parabolic cấp hai dƣới đƣợc định nghĩa nhƣ sau
)
1 2 '
h( y td  t  ) h( y )

th ( y,d )

2
liminf
h ( y ;d
t0 ,
1 2
,) :
'
2t



Chú


là không gian đối ngẫu của Y và

hàm tuyến tính

A: X

Y

*

y

*
Y

ta kí hiệu

*

*

y , y giá trị y ( y ) của

tại y Y . Với ánh xạ tuyến tính liên
tục

*

*


.

yT

Ký hiệu

dist .,T là hàm khoảng cách


dist y,T :inf
zT

y z .


2
Df ( x ),D f ( x ) tƣơng ứng là đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai

của hàm f ( x ); BY : y
Y : y

y : ty : t
R


1

là hình cầu đơn vị trong

Y;


x y Y : xn x0 , yn
 xn , yn y.
liminf

xx 0

Theo định nghĩa của giới hạn tập hợp dƣới, ta có thể viết
TK y 
liminf
t0

K
.
yt

Ta biết rằng khi K là lồi thì cũng có

(1.4)


T ( y ) lim sup
K y
K

t0

.

( 1.5)


1 2
2t

t0
2

O ( y,d ) :lim sup
K

K y td

.

(1.7)

1 2
2t

t0

Ta gọi T 2( y,d ),O2 ( y,d ) tƣơng ứng là các tập tiếp tuyến cấp hai
K
trong và ngoài. Các tập tiếp tuyến này có thể viết dƣới dạng sau:
2

T
 ( y,d )
K


n

2

n

n





Từ định nghĩa trên ta thấy rằng T 2( y,d ) O2 ( y,d ), và các
tập
tiếp
K
tuyến
2

cấp

hai

này

khác

rỗng

chỉ



( x ) ( x ),
( 0 ) 0,
và với dãy đơn điệu giảm đến không xk nào đó, hàm (
x)
trên mỗi đoạn

x

x

 , ( x )
, x 2

k 1 k

( xk ,( xk
)) và

k

x

là tuyến tính

và đƣờng thẳng đi qua các điểm
k

là tiếp xúc với đƣờng cong y 2x2 .

k 1

xk 0 .
ta có

Đặt K :( x, y )R : y ( x ) . Khi đó với
2

phƣơng d :( 1,0 )
2

T ( 0,d ) 
K

x, y : y 4,

OK ( 0,d ) ( x, y ) : y 2 .
2

Với mỗi
R ,



'' (

0;1,)=2

và 
( 0;1,

đó

h:Y
R
 

là hàm lồi chính thường. Giả sử h( y )
0 ,


h y,d 0 , và giả sử rằng tồn tại y sao cho
h( y ) 0


(điều kiện Slater).

Khi đó,
2

OK


( y,d ) 

.



: h



0
,


và

chọn dãy

K

y t d
1 2
 t 
n

2
n

n

n

K , và do đó,
h( y t d
1 2
 t 
n

Khi đó,




Ngƣợc lại, giả sử h

đó, với

0 .

n

t2
n

( y ;d ,)

n

với n đủ lớn.

n

Vì vậy,
y t d
1 2
 t 
n

Từ đó suy ra

2

n

K .

n

KO2 ( y,d ).


Bây giờ giả sử h
( y;d ,)=0 , và do đó t
và n


n

n

n

: ( y y ) . Do tính
lồi của h , với
'


'
1
t 
đủ
nhỏ
ta
có
1
0
2

'

h( y t d
1 '
'
 t 2 
2
trong đó

2

1
)

1

d

1


2

1
( 1

) 1 .'
t)
t


'

 2

2

2


n

Khi đó,
y t d
( t'' ) h(
1
2
,  t 
n

n
n

2

n

) ( t 2 ) .
n

n

n

n

n


Bởi vì t

K

2

O ( y,d ) đóng, cho
K



ta nhận đƣợc


0

KO2 ( y,d ). Do đó (1.8) đƣợc chứng minh.
Nếu h(.) là lồi và liên tục tại


''

h ( y,d ,.),h (
y,d ,.)

y , thì các đạo hàm cấp hai

là nhƣ nhau. Khi đó, từ mệnh đề trên, với điều kiện

Slater, ta suy ra K là khả vi theo phƣơng cấp hai tại điểm y theo phƣơng
d khi và chỉ khi các tập mức


)
2

(d),


2

2

O ( y,d ) T ( d ) O ( y,d ) T
K
T (y)
T (y
(1.12) K
K

Nhắc lại [5] rằng tập A
X
phƣơng d 0 ,
nếu

(d).

K

lồi khác đƣợc gọi là lùi xa
theo

A d A 0  .