Rèn luyện kỹ năng giải toán tự luận & trắc nghiệm
HH 11 – Chương 2: Đt và mp trong không gian. Quan hệ song song

ÔN TẬP “CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG”
Sưu tầm & biên soạn: CAO VĂN TUẤN – SĐT: 0975306275
GV luyện thi THPT Quốc Gia môn Toán, Lí tại HN:
Số nhà 93, ngõ 173, đường Hoàng Hoa Thám

BÀI TOÁN 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

 A   P   Q 
  P    Q   AB
Cách 1: Tìm hai điểm chung phân biệt: 
B

P

Q






Cách 2: Tìm phương của giao tuyến.
+ Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng (giả sử điểm M).
+ Áp dụng định lí về giao tuyến để tìm phương giao tuyến (giả sử giao tuyến //  ).
Khi đó, giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung M và song song với đường
thẳng  ).
Một số định lí về giao tuyến và kết quả cần nhớ:



 M   P   Q 

 a //  P 
  P    Q   Mx // a.

a //  Q 
 P  //  Q 


 P  //  Q 
 a //  Q  .
  R    P   a  a // b.
* 
a   P



 R    Q   b
BÀI TOÁN 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho đường thẳng d   P  , để tìm giao điểm của
đường thẳng d và mặt phẳng  P  ta có 2 cách làm sau:

Q

 Bước 1: Chọn một mặt phẳng  Q  chứa d (mặt
d

phẳng này thường được xác định bởi d và một

phẳng phân biệt (do đó chúng cùng nằm trên
giao tuyến của hai mặt phẳng đó).
 Cách 2: Dùng tính chất của hình học phẳng.
Chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy
a   P 
 Bước 1: Chứng minh 
.
b   Q 
P
Gọi M  a  b  M   P   Q   1

b
M
a

/>
 Bước 2: Chứng minh    P   Q   2 
Từ  1 và  2   M   hay a, b,  cùng đi qua điểm M   đpcm .
BÀI TOÁN 4: TÌM THIẾT DIỆN DO MẶT PHẲNG CẮT HÌNH CHÓP
S

Thiết diện của hình chóp với một mặt phẳng là phần
chung của hình chóp với mặt phẳng đó.
Để tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng, ta lần
lượt tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng đó với các
mặt của hình chóp.

N

M

a

b

c

M
 

R
 R    Q   b
c
 P  R c
P
   

 P    Q    R 
c // a // b


 P   a // b   Q   c  a // b .

c  b // a

 P    Q   c

+

2






a

b
P

+

a

a //  P 

 a // b.
a //  Q 

 P    Q   b

Q

b

+

 P  //  Q 

 R    P   a  a // b.



 P  //  Q 
 a //  P  .
Cách 3: 
a

Q





Q

P

BÀI TOÁN 7: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
 P   a //  Q 

Cách 1:  P   b //  Q    P  //  Q  .

a  b  M

a
P

b
M

Q


/>
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy AD là đáy lớn. Gọi
O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của
OD , SD và SA .
a) Chứng minh rằng: SO //  IMN  .
b) Xác định giao điểm của CI với  SBD  .
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng  IMN  . Thiết diện là hình
gì?
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB // CD và AB  2CD .
SM 1
Gọi M là điểm trên cạnh SA sao cho
 và O là giao điểm của hai đường chéo
MA 2
AC và BD .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  MCD  và  SAB  .
b) Chứng minh rằng: OM // SCD  .
c) Tìm giao điểm I của đường thẳng SD và mặt phẳng  MBC  . Tính tỉ số

SI
.
ID
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD,
O là giao điểm của AC và BD.
a) Tìm giao điểm I của BN và  SAC  ; giao điểm J của MN và  SAC  .

b) Giả sử K là giao điểm của DM và AC. Chứng minh CJ, SO, BN đồng quy.
c) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng  BCN  .
Bài 4. Cho tứ diện ABCD, gọi I, J, K, E lần lượt là trung điểm của AB, BC, DA, CD. Gọi

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của
SC, N là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Chứng minh SB //  AMN  .

b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng  AMN  với mặt phẳng  SAB  .
c) Tìm giao điểm I  SD   AMN  .
d) Gọi Q là trung điểm của ID. Chứng minh QC // mp  AMN  .
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M, N là hai điểm
trên cạnh SA sao cho SM  MN  NA.
a) Chứng minh GM // SBC  .
b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua G. Chứng minh  MCD  //  NBG  .
c) Gọi H  MD  SBC  . Chứng minh H là trọng tâm của tam giác SBC.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm của AB, AD, SC.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng  MNP  với các mặt phẳng SDC  , SAC  .
b) Gọi d  SBD    MNP  . Chứng minh d // MN .
c) Tìm giao điểm của SO với mặt phẳng  MNP  .
Bài 10.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của AD, BC, SC.
a) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  MNP  .
b) Gọi Q  SD   MNP  ; I  MQ  NP . Chứng minh SA //  MNP  và tứ giác SINB là
hình bình hành.
c) Gọi H là trung điểm của MC, K  MP  NQ . Chứng minh K SH.

5

/>
CK là giao tuyến của  KPQ  và  SCD  .



phẳng   thỏa mãn điều kiện đó?
Bài 16.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng  P  lần
lượt cắt các cạnh SA, SB, SC tại A, B, C. Gọi O  AC  BD , I  AC  SO .
a) Tìm giao điểm D của  P  với cạnh SD.
SA SC
SO

2
.
SA SC
SI
SA SC SB SD
c) Chứng minh rằng:



.
SA SC SB SD

b) Chứng minh rằng:

6


Rèn luyện kỹ năng giải toán tự luận & trắc nghiệm
HH 11 – Chương 2: Đt và mp trong không gian. Quan hệ song song
Bài 17.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Cho AB  a ,
AD  SA  b ; SC  SD  b 3 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC.
a) Chứng minh  MNP  // SDC  .



b) Chứng minh:

b) M là một điểm di động trên cạnh AD, mặt phẳng   đi qua M song song với SA
và CD. Xác định thiết diện của hình chóp với   , thiết diện là hình gì? Chứng
minh giao điểm của hai cạnh bên của thiết diện thuộc đường thẳng cố định.
Bài 23.Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Mặt
phẳng  P  qua IJ cắt các cạnh AB, AC, DC, DB tại M, N, P, Q.
a) Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui hoặc song song và MNPQ thường là hình
thang cân.
b) Đặt AM  x, AN  y . CMR: a  x  y   3xy. HD: SDAMN  SAMI  SANI .
Suy ra:

4a
3a
 xy  .
3
2

c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và s  x  y. ĐS:

2a  s 2 8as
. s 
.
4
3
7

/>
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp  MNP  . Thiết diện là hình gì?




.
 P  // SEF  . Gọi G  AC  BD . Chứng minh: SA
SA SC SB SD
SG

c)

a2 3
.
32
Bài 25.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. M và P là hai điểm lần lượt di
MA PS
động trên AD và SC sao cho:

 x,  x  0  .
MD PC
a) Chứng minh rằng: MP luôn song song với một mặt phẳng cố định  P  .
d) SABCD 

b) Tìm giao điểm I của  SBD  với MP.
c) Mặt phẳng qua M và song song với  P  cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện
và cắt BD tại J. Chứng minh IJ có phương không đổi. Tìm x để PJ song song với
SAD  .
d) Tìm x để diện tích thiết diện bằng k lần diện tích DSAB,  k  0  . .
HD:

1 k  1 k

c) k  3  1;

a2 6
.
9


Rèn luyện kỹ năng giải toán tự luận & trắc nghiệm
HH 11 – Chương 2: Đt và mp trong không gian. Quan hệ song song
Bài 27.Cho lăng trụ ABC.ABC. Gọi M, N, P là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 đoạn
AM CN CP
AB, AC, BC sao cho


 x.
AB AC CB
a) Tìm x để  MNP  //  ABC  . Khi đó hãy tính diện tích của thiết diện cắt bởi

mp  MNP  , biết tam giác ABC là tam giác đều cạnh a.
b) Tìm tập hợp trung điểm của NP khi x thay đổi.

1 2a2 3
HD: a) x  ;
b) Đoạn thẳng nối trung điểm của CC và AB.
.
3
9
Bài 28.Cho lăng trụ ABCD.ABCD , có đáy là hình thang với AD  CD  BC  a ,
AB  2a . Mặt phẳng  P  qua A cắt các cạnh BB, CC, DD lần lượt tại M, N, P.


C. Tứ diện có đáy là tam giác đều là tứ diện đều.
D. Hình chóp tam giác đều là tứ diện đều.
9

/>
a) Tứ giác AMNP là hình gì? So sánh AM và NP.
b) Tìm tập hợp giao điểm của AN và MP khi  P  di động.


/>
Cao Văn Tuấn – 0975306275
Câu 5. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của
đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
B. Một đường thẳng đi qua một điểm của mặt phẳng thì đường thẳng đó nằm
trong mặt phẳng.
C. Đường thẳng và mặt phẳng không thể song song với nhau.
D. Đường thẳng và mặt phẳng cho trước luôn có ít nhất hai điểm chung.
Câu 6. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Trong không gian nếu hai đường thẳng không có điểm chúng thì chúng song
song với nhau.
B. Trong không gian nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng chéo
nhau.
C. Trong không gian nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng chéo
nhau hoặc song song với nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt nếu không song song thì chéo nhau.
Câu 7. Cho tứ diện ABCD và ba điểm E, F, G lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC, AD mà
không trùng với các đỉnh. Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt  EFG  là
A. Một đoạn thẳng.
B. Một tam giác.

A. Tam giác.
B. Tứ giác.
C. Hình thang.
D. Hình bình hành.

10


Rèn luyện kỹ năng giải toán tự luận & trắc nghiệm
HH 11 – Chương 2: Đt và mp trong không gian. Quan hệ song song
Câu 13. Hình hộp có
A. 8 cạnh và 4 mặt.
B. 8 cạnh và 6 mặt.
C. 12 cạnh và 8 mặt.
D. 12 cạnh và 6 mặt.
Câu 14. Chỉ ra mệnh đề sai.
A. Bốn đường chéo của hình hộp đồng quy tại trung điểm của mỗi đường.
B. Hai mặt đối diện của hình hộp luôn song song với nhau.
C. Hai đáy của hình hộp là hai hình chữ nhật bằng nhau.
D. Các mặt bên của hình hộp là các hình bình hành.
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên cạnh
SA. Từ A kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại P. Chỉ ra mệnh đề sai.
A.  MNP  // SD.
B.  MNP  // CD.
D.  MNP  // SB.

Câu 16. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau có
tâm lần lượt là O và O’. Kết qua nào sau đây là sai?
A. CE //  AOO’ .
B.  ADF  //  BCE  .

tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.

11

/>
C.  MNP  // SC.


Cao Văn Tuấn – 0975306275
Câu 20. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Hình chiếu song song của một đường tròn là một đường tròn.
B. Hình chiếu song song của một đường tròn là một đường tròn hoặc elip.
C. Hình chiếu song song của một đường tròn là một đường tròn hoặc elip hoặc là
một đoạn thẳng.
D. Hình chiếu song song của một đường tròn là một đường tròn hoặc elip hoặc là
một đoạn thẳng hoặc là một điểm.
A

/>
Câu 21. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là
trung điểm của AC, BC và BD (như hình vẽ bên). Giao
tuyến của hai mặt phẳng  ABD  và  IJK  là

I

A. KD.
B. KI .
C. đường thẳng qua K và song song với AB.
D. không có.


C
A'

Câu 23. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC . Gọi I, J
lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ABC .
Thiết diện tạo bởi mặt phẳng  AIJ  với hình lăng trụ đã

C'
J

B'

cho là
A. tam giác cân.
C. hình thang.

A

B. tam giác vuông.
D. hình bình hành.

C
I

B
Sử dụng giả thiết sau cho câu 24 và 25:
Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của đoạn AB , M là điểm di
chuyển trên đoạn AI . Qua M vẽ mặt phẳng   song song với  SIC  .

Câu 24. Thiết diện tạo bởi   và tứ diện SABC là