SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2017-2018
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 a + 2018
a − 2018  a + 1
−
.
Câu 1 (2,0 điểm). Rút gọn biểu thức P = 
÷
a −1 ÷
 a+ 2 a +1
 2 a

Câu 2 (2,0 điểm). Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x + y =
và y ≠ z. Chứng minh đẳng thức

(
y+(
x+

)
z)

x− z
y−

(

Câu 7 (2,0 điểm). Cho hình thoi ABCD có góc ·BAD = 500 , O là giao điểm của hai đường chéo.
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M
(điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM
song song với đường thẳng AN.
a) Chứng minh rằng: MB.DN = BH .AD
b) Tính số đo góc ·MON
Câu 8 (2,0 điểm). Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường
tròn ( O ). Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B và C),
M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng
AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên
đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định.
1 1 1
Câu 9 (2,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện + + ≤ 2 . Chứng minh
a b c
1
1
1
2
+
+
≤ .
rằng:
5a 2 + 2ab + 2b 2
5b 2 + 2bc + 2c 2
5c 2 + 2ca + 2a 2 3
Câu 10 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều
kiện:
1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.
1
2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng .

1
a
+
2
a
+
1


Nội dung trình bày
a > 0
Điều kiện: 
a ≠ 1

Điểm
0,5
0,5

 a + 2018
 a +1
a − 2018
−
Khi đó: P = 

2
( a − 1 )( a + 1 )  2 a
 ( a + 1)
=

( a + 2018 )( a − 1 ) − ( a − 2018 )( a + 1 ) a + 1


=

x− z

2

2

2

2

)

2

, x+ y≠ z

x− z
.
y− z

Nội dung trình bày

2

x+ y− z

2

Điểm
0,5

2

0,5

2

=

x− z
.
y− z



0,5

0,5


Câu 3(2,0 điểm).Tìm số tự nhiên abcd sao cho abcd + abc + ab + a = 4321.
Nội dung trình bày
( 1)
Ta có: abcd + abc + ab + a = 4321 ⇔ 1111a + 111b + 11c + d = 4321
Vì a,b,c,d ∈¥ và 1 ≤ a ≤ 9,0 ≤ b,c,d ≤ 9 nên 3214 ≤ 1111a ≤ 4321
⇒ a = 3 . Thay vào (1) ta được: 111b + 11c + d = 988 ( 2 )

Điểm

( m − 1)( 2 − 2 y ) + y = 2
⇔ ( 2m − 3 )y = 2m − 4 (3)
Hệ có nghiệm x, y là các số nguyên ⇔ ( 3 ) có nghiệm y là số nguyên.
2m − 4
Với m ∈ ¢ ⇒ 2m − 3 ≠ 0 ⇒ ( 3 ) có nghiệm y =
2m − 3
1
= 1−
2m − 3
 2m − 3 = 1
y ∈¢ ⇔ 
 2m − 3 = −1
m = 2
⇔
m = 1
Vậy có 2 giá trị m thoả mãn là 1; 2.

Câu 5(2,0 điểm).Giải phương trình 1 − x + 4 + x = 3.
Nội dung trình bày
1 − x ≥ 0
⇔ −4 ≤ x ≤ 1 ( * )
4 + x ≥ 0

Điều kiện xác định 

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


0,25

0,25


Câu 6(2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 16cm . Gọi I là giao điểm các
đường phân giác trong của tam giác ABC , M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng
đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI.

Nội dung trình bày
Điểm
0,5
Ta có BC = AB + AC = 20cm . Gọi E là giao điểm của BI với AC.
0,25
AE EC AE + EC 1
=
=
=
Theo tính chất đường phân giác ta có:
AB BC AB + BC 2
0,25
BC
⇒ EC =
= 10cm
2
∆
ICE
= ∆ICM ( c − g − c ) do: EC = MC = 10 ; ·ICE = ·ICM ; IC chung.
0,25


MB BH
=
AD DN
⇒ MB.DN = BH .AD ( 1 )
⇒

0,25

BH OB
=
⇒ DO.OB = BH .AD ( 2 )
DO AD
MB OB
=
Từ (1) và (2) ta có: MB.DN = DO.OB ⇒
DO DN
Ta lại có: ·MBO = 1800 − ·CBD = 180 0 − ·CDB = ·ODN
nên ∆ MBO ∽ ∆ODN ⇒ ·OMB = ·NOD.
0
0
Từ đó suy ra: ·MON = 180 − ·MOB + ·NOD = 180 − ·MOB + ·OMB

b) Ta có: ∆OHB ∽ ∆ AOD ⇒

(

)

(



Điểm
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25


Câu 9(2,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện
1

minh rằng:

5a + 2ab + 2b

+

1

+

1

5b + 2bc + 2c
5c + 2ca + 2a
Nội dung trình bày

1 1 1 1
⇒
≤  + + ÷.
x+ y+z 9x y z
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
Ta có: 5a 2 + 2ab + 2b 2 = ( 2a + b )2 + ( a − b )2 ≥ ( 2a + b )2

Điểm
0,25

0,5

1
11 1 1
≤  + + ÷
2
2
2a + b 9  a a b 
5a + 2ab + 2b
Đẳng thức xảy ra khi a = b
1
1
1 1 1 1
≤
≤  + + ÷
Tương tự:
2
2
2b + c 9  b b c 
5b + 2bc + 2c

1

≤

Đẳng thức xảy rakhi a = b = c =

3
. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
2



0,25

0,25

0,25


Câu 10 (2,0 điểm).Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều
kiện:
1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.
1
2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng .
3
Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.

Nội dung trình bày
Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là a ( a>0). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
AB, BC, CD, DA. Gọi d là một đường thẳng bất kỳ trong 2018 đường thẳng đã cho thỏa

Lấy F, H trên đoạn NQ và G trên đoạn MP sao cho FN = GP = HQ =



0,5

0,5