CHỦ ĐỀ
8.

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Bài 01
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu u ≠ 0 và giá của u song song
hoặc trùng với ∆ .
Nhận xét. Một đường thẳng có vơ số vectơ chỉ phương.

2. Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 ( x 0 ; y0 ) và có VTCP u = (a; b )
 x = x 0 + at

→ phương trình tham số của đường thẳng ∆ có dạng 

 y = y0 + bt

t ∈ ℝ.

b
Nhận xét. Nếu đường thẳng ∆ có VTCP u = (a; b ) thì có hệ số góc k = .
a

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu n ≠ 0 và n vng góc với vectơ
chỉ phương của ∆ .
Nhận xét.
● Một đường thẳng có vơ số vectơ pháp tuyến.

x
y
+ =1
a0 bo

với a0 = −

C
C
, b0 = − .
A
B

Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng
này cắt Ox và Oy lần lượt tại M (a0 ;0) và N (0; b0 ).

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng có phương trình tổng qt là


∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0

và

∆2 : a2 x + b2 y + c 2 = 0 .

a1 x + b1 y + c1 = 0
Tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình: 
.


a1
b
≠ 1 thì ∆1 cắt ∆2 .
a2 b2

6. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 có VTPT n1 = (a1 ; b1 ) ;

∆2 : a2 x + b2 y + c 2 = 0 có VTPT n2 = (a2 ; b2 ) .
Gọi α là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 . Khi đó

(

)

cos α = cos n1 , n2 =

n1.n2
n1 . n2

=

a1.a2 + b1.b2
2
1

a + b12 . a22 + b22

.


NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH
Đăng ký mua trọn bộ trắc nghiệm 10 FILE WORD
Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975120189
/>Khi mua có sẵn File đề riêng;
File đáp án riêng để thuận tiện cho việc dạy học


CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM
Vấn đề 1. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG – VECTƠ PHÁP TUYẾN

Câu 1. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox ?
A. u1 = (1;0 ) .

B. u2 = (0;−1).

C. u3 = (−1;1).

D. u4 = (1;1).

Lời giải. Trục Ox: y = 0 có VTCP i (1; 0) nên một đường thẳng song song với Ox cũng có
VTCP là i (1;0). Chọn A.
Câu 2. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Oy ?
A. u1 = (1; −1).

B. u2 = (0;1).

C. u3 = (1;0 ).

D. u4 = (1;1).

A. u1 = (a;−b ) .

B. u2 = (a; b ) .

C. u3 = (b; a ) .

D. u4 = (−b; a ) .

Lời giải. AB = (−a; b) 
→ đường thẳng AB có VTCP: AB = (−a; b) hoặc u = − AB = (a; −b).
Chọn A.
Câu 6. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường phân giác góc phần tư thứ
nhất?
A. u1 = (1;1).

B. u2 = (0;−1).

C. u3 = (1;0).

D. u4 = (−1;1).

Lời giải. Đường phân giác góc phần tư (I): x − y = 0 
→ VTPT: n (1; −1) 
→ VTCP: u (1;1).
Chọn A.
Câu 7. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox ?
A. n1 = (0;1).

B. n2 = (1;0 ).



Lời giải. AB = (2; −2) 
→ đường thẳng AB có VTCP u (1; −1) 
→ VTPT n (1;1). Chọn C.
Câu 10. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và
điểm A (a; b ) ?
A. n1 = (−a; b ).

B. n2 = (1;0 ).

C. n3 = (b;−a ).

D. n4 = (a; b ).

Lời giải. OA = ( a; b) 
→ đường thẳng AB có VTCP u = AB = (a; b) 
→ VTPT n (b; −a ).
Chọn C.
Câu 11. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm phân
biệt A (a;0) và B (0; b ) ?
A. n1 = (b; −a ).

B. n2 = (−b; a ).

C. n3 = (b; a ).

D. n4 = (a; b ).

Lời giải. AB = (−a; b) 
→ đường thẳng AB có VTCP u = (−a; b) 

B. u2 = (−2; 4 ).

C. u3 = (1;2 ).

D. u4 = (2;1).

1
u = (1; 2). Chọn C.
2
Câu 15. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u = (3; −4) . Đường thẳng ∆ vuông góc

Lời giải. Đường thẳng d có VTPT: n (4; −2) 
→ VTCP u ( 2; 4) hoặc

với d có một vectơ pháp tuyến là:
A. n1 = (4; 3).

B. n2 = (−4;−3).

C. n3 = (3;4 ).

D. n4 = (3;−4 ).

ud = (3; −4)
Lời giải. 

→ n∆ = ud = (3; −4). Chọn D.

∆ ⊥ d


Lời giải. 

→ u∆ = ud = (3; −4) 
→ n∆ = (4;3). Chọn A.

∆ || d
Câu 18. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n = (−2; −5) . Đường thẳng ∆ song song
với d có một vectơ chỉ phương là:
A. u1 = (5;−2 ).

B. u2 = (−5;−2).

C. u3 = (2;5).

D. u4 = (2; −5).

nd = (−2; −5)
Lời giải. 

→ n∆ = ud = (−2; −5) 
→ u∆ = (5; −2). Chọn A.

∆ || d

Vấn đề 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Câu 19. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương?
A. 1 .
B. 2 .
C. 4 .
Lời giải. Chọn D.

 x = 3 + 2t
D. d : 
.

 y = 5 + t

Câu 21. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương u = (−1;2) có phương
trình tham số là:
 x = −1
A. d : 
.
 y = 2

 x = 2t
B. d : 
.
 y = t

 x = t
C. d : 
.
 y = −2t
O (0;0) ∈ d
 x = t

Lời giải. 

→ PTTS d : 
(t ∈ ℝ ). Chọn C.
 y = −2t


ud = u = (3; 0)
 y = −2


 x = 3t
D. d : 
.

 y = −2

 x = 2
Câu 23. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d : 
?

 y = −1 + 6t
A. u1 = (6;0) .

B. u2 = (−6;0) .

C. u3 = (2;6) .

D. u4 = (0;1) .

 x = 2
Lời giải. d : 

→ VTCP u = (0;6) = 6 (0;1) hay chọn u = (0;1). Chọn D.
 y = −1 + 6t


 x = 1
A. 
C. 
D. 
. B. 
.
.
.
 y = −1 + 6t
 y = −6t
 y = 5 + 6t
 y = 2 + 6t

 x = 2
 A (2; −1) ∈ AB
Lời giải. 

→ AB : 
(t ∈ ℝ ). Chọn A.
u = AB = (0;6)
 y = −1 + 6t
 AB
Câu 26. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A ( –1;3) và B (3;1) .
 x = −1 + 2t
 x = −1 − 2t
 x = 3 + 2t
 x = −1 − 2t
A. 
. B. 
.

.
A. 




 y = 2 + 2t
 y = 1 + 2t
 y = 1 + t
 y = t
 A (1;1) ∈ AB
 x = 1 + t
 x = t

t =−1
Lời giải. 

→ AB : 
→ O (0;0) ∈ AB 
→ AB : 
(t ∈ ℝ ) 
(t ∈ ℝ ).
u = AB = (1;1)
 y = 1 + t
 y = t
AB

Chọn D.
Câu 28. Đường thẳng đi qua hai điểm A (3; −7) và B (1; −7) có phương trình tham số là:


 y = −7
 AB
Chọn A.
Câu 29. Phương trình nào dưới đây không phải là phương trình tham số của đường thẳng đi
qua hai điểm O (0;0) và M (1;−3) ?

 x = 1 − t
 x = 1 + t
 x = 1 − 2t
 x = −t
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.




 y = 3t
 y = −3 − 3t
 y = −3 + 6t
 y = 3t
Lời giải: Kiểm tra đường thẳng nào không chứa O (0; 0) 
→ loại A. Chọn A.
Nếu cần thì có thể kiểm tra đường thẳng nào không chứa điểm M (1; −3).
Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A (2;0 ) ¸ B (0;3) và C (−3;−1) .

ud = AC = (−5; −1) = −1.(5;1)

Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A (3;2) ¸ P (4;0) và Q (0;−2) . Đường
thẳng đi qua điểm A và song song với PQ có phương trình tham số là:
 x = 3 + 4 t
 x = 3 − 2t
 x = −1 + 2t
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D.



 y = 2 − 2t
 y = 2 + t
 y = t

 x = −1 + 2t
.

 y = −2 + t


Lời giải. Gọi d là đường thẳng qua A và song song với PQ. Ta có

 x = 3 + 2t t =−2

.




 y = −2 − 2t
 y = 1 − 3t
 y = 1 − 4 t
 y = 1 + 4 t

 A (−2;1) ∈ AB, uCD = ( 4;3)
 x = −2 − 4t
Lời giải. 

→ AB : 
(t ∈ ℝ ). Chọn B.

 AB || CD → u AB = −uCD = (−4; −3)
 y = 1− 3t

Câu 33. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M (−3;5) và song song
với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
 x = −3 + t
 x = −3 + t
A. 
.
B. 
.
C.


 x = 4
B. 
.

 y = −7 + t

 x = −7 + t
 x = t
C. 
.
D. 
.


 y = 4
 y = −7
 x = 4 + t t =−4
 x = t
Lời giải. uOx = (1; 0) 
→ ud = (1;0) 
→ d : 

→ A (0; −7) ∈ d → d : 
. Chọn D.
 y = −7
 y = −7
Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (1; 4 ) , B (3;2) và C (7;3).
CM của tam giác.
 x = 7 + t
 x = 2

27
A. −12.
B. − .
C. −13.
D. − .
2
2
 A( 2; 4)





x
=
5
+
6
t

5
5
1

Lời giải. 

→ M 2;  → MB = 3; −  = (6; −5) 
→ MB : 
. Ta có
 2 


A. n1 = (0;−2) .

B. n2 = (1;−2) .

C. n3 = (−2;0) .

D. n4 = (2;1) .

Lời giải. d : x − 2 y + 2017 = 0 
→ nd = (1; −2). Chọn B.
Câu 39. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d : −3 x + y + 2017 = 0 ?
A. n1 = (−3;0) .

B. n2 = (−3; −1) .

C. n3 = (6;2) .

D. n4 = (6;−2) .

Lời giải. d : −3x + y + 2017 = 0 
→ nd = (−3;1) hay chọn −2nd = (6; −2). Chọn D.

 x = −1 + 2t
Câu 40. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d : 
?

 y = 3 − t
A. n1 = (2; −1) .


B. n2 = (0;1) .

C. n3 = (−3;5) .

D. n4 = (−1;0 ) .

 AB = (0;1)

→ nd = AB = (0;1). Chọn B.
Lời giải. Gọi d là trung trực đoạn AB, ta có: 

d ⊥ AB

Câu 43. Cho đường thẳng ∆ : x − 3 y − 2 = 0 . Vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp
tuyến của ∆ ?

1

C. n3 =  ;−1 .
D. n4 = (3;1) .
 3


n (1; −3) = n
d
 1
Lời giải. ∆ : x − 3 y − 2 = 0 
→ nd = (1; −3) 
→ n2 (−2;6) = −2nd . Chọn D.


C. d : y − 2 = 0.
M (0; −2) ∈ d
Lời giải. 

→ d : y + 2 = 0. Chọn B.

ud = (3;0) = 3(1;0) → nd = (0;1)


D. d : x − 2 = 0.

Câu 46. Đường thẳng d đi qua điểm A (−4;5) và có vectơ pháp tuyến n = (3;2) có phương
trình tham số là:


 x = −4 − 2t
 x = −2t
 x = 1 + 2t
A. 
. B. 
.
C. 
.
D.



 y = 5 + 3t
 y = 1 + 3t
 y = 3t

→

→ d : 4 ( x − 3) + 5( y −1) = 0 ⇔ d : 4 x + 5 y −17 = 0.
 y = 1 + 4t ud = (−5; 4) → nd = (4; 5)

Chọn C.
 x = 15
Câu 48. Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng d : 
?

 y = 6 + 7t
A. x −15 = 0 .

B. x + 15 = 0 .
C. 6 x −15 y = 0 .
D. x − y − 9 = 0 .


A
∈
d
15;
6
( )
 x = 15
Lời giải. d : 
→ 

→ d : x −15 = 0. Chọn A.


 y = 3 + t



Câu 50. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng
d : 3x − 2 y + 6 = 0 ?
 x = t
 x = t
 x = 2t

 x = 3t


A. 
B. 
C.
D.
.
.
.
.


 y = 2t + 3
 y = 3 t + 3
 y = − 3 t + 3
 y = 3 t + 3




D. d song song với đường thẳng ∆ : 3 x + 5 y = 0 .





nd = (3;5)
n = (3; 5) = nd


Lời giải. d : 3 x + 5 y + 2018 = 0 → ud = (5; −3) 
→ u = (5; −3) = ud 
→ Chọn C.




3
5
/ kd
kd = −
k = =
5
3


d : 3 x + 5 y + 2018 = 0 → d || ∆ : 3 x + 5 y = 0 
→ D đúng.



C. 3 x + 12 y − 1 = 0.
D. 6 x − 4 y − 1 = 0.

O (0; 0) ∈ d
O (0;0) ∈ d
Lời giải. 
→ 

→ 6.0 − 4.0 + c = 0 ⇔ c = 0. Vậy

d || ∆ : 6 x − 4 x + 1 = 0 d : 6 x − 4 x + c = 0 (c =
/ 1)


d : 6 x − 4 y = 0 ⇔ d : 3x − 2 y = 0. Chọn A.
Câu 54. Đường thẳng

d

đi qua điểm

M (−1;2) và vuông góc với đường thẳng

∆ : 2 x + y − 3 = 0 có phương trình tổng quát là:

A. 2 x + y = 0 .
B. x − 2 y − 3 = 0 .
C. x + y − 1 = 0 .
D. x − 2 y + 5 = 0 .
M (−1; 2) ∈ d


→ ∆ : 3( x − 4) + 2 ( y + 3) = 0 ⇔ ∆ : 3 x + 2 y − 6 = 0.
ud = (−2;3) → 

u∆ = (−2;3) → n∆ = (3; 2)

∆ || d

Chọn C.
Câu 56. Cho tam giác ABC có A (2 ;0), B (0 ;3), C ( –3;1) . Đường thẳng d đi qua B và song
song với AC có phương trình tổng quát là:
A. 5 x – y + 3 = 0 . B. 5 x + y – 3 = 0 .

C. x + 5 y – 15 = 0 .

D. x – 15 y + 15 = 0 .

 B (0;3) ∈ d

 B (0;3) ∈ d


Lời giải. 
→ d :1( x − 0) + 5 ( y − 3) = 0 ⇔ d : x + 5 y −15 = 0.
u AC = AC = (−5;1) → 

nd = (1;5)
d || AC
Chọn C.
Câu 57. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M (−1;0) và vuông góc

 x = −2 + 5t
 x = 1 − 3t
 x = 1 + 5t
A. 
. B. 
.
C. 
.
D. 
.
 y = 1 + 5t
 y = 1 + 3t
 y = 2 + 5t
 y = 2 + 3t
M (−2;1) ∈ d


 x = −2 + 5t
u = (−3;5) → M (−2;1) ∈ d
Lời giải. 
→ d : 
(t ∈ ℝ ). Chọn B.

∆

nd = (−3; 5) → ud = (5; 3)
 y = 1 + 3t

d ⊥ ∆


(t ∈ ℝ ). Chọn A.
n∆ = (3; −13) → 

nd = (3; −13) → ud = (13;3)
 y = 2 + 3t

d || ∆

Câu 60. Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua điểm A (−1;2) và vuông góc với
đường thẳng ∆ : 2 x − y + 4 = 0 .
 x = −1 + 2t
 x = t
A. 
. B. 
.
 y = 2 − t
 y = 4 + 2t

 x = −1 + 2t
C. 
.
 y = 2 + t

 x = 1 + 2t
D. 
.
 y = 2 − t

 A (−1; 2) ∈ d


Vậy d : x − y − 3 = 0. Chọn B.
Câu 62. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M (3;−1) và vuông góc
với đường phân giác góc phần tư thứ hai.
A. x + y − 4 = 0 . B. x − y − 4 = 0 .

C. x + y + 4 = 0 .

D. x − y + 4 = 0 .

M (3; −1) ∈ d

M (3; −1)
Lời giải. 
→ 3 − (−1) + c = 0 ⇔ c = −4 → d : x − y − 4 = 0.
(II) : x + y = 0 (∆) → 

d : x − y + c = 0

d ⊥ ∆

Chọn B.
Câu 63. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M (−4;0) và vuông góc
với đường phân giác góc phần tư thứ hai.
 x = t
 x = −4 + t
A. 
.
B. 
.


Câu 64. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M (−1;2) và song song
với trục Ox .
A.

B. x + 1 = 0 .
C. x −1 = 0 .
y+2 = 0 .
M (−1; 2) ∈ d
Lời giải. 

→ d : y = 2. Chọn D.

d || Ox : y = 0


D. y − 2 = 0 .

Câu 65. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M (6;−10 ) và vuông góc

với trục Oy .
 x = 10 + t
A. 
.
 y = 6

 x = 2 + t
 x = 6
 x = 6
B. d : 
.

Lời giải. 
→ AB : 3( x − 3) + 1( y + 1) = 0 ⇔ AB : 3 x + y − 8 = 0.
u = AB = (−2;6) → n = (3;1)
AB
 AB
Chọn D.
Câu 67. Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A ( –2;0) và B (0 ;3) là:
A. 2 x − 3 y + 4 = 0 .B. 3 x – 2 y + 6 = 0 .
C. 3 x – 2 y − 6 = 0 .
D. 2 x – 3 y − 4 = 0 .
 A (−2;0) ∈ Ox
x
y
Lời giải. 

→ AB :
+ = 1 ⇔ 3x − 2 y + 6 = 0. Chọn B.

 B (0;3) ∈ Oy
−2 3

Câu 68. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A (2;−1) và B (2;5) là:
A. x + y −1 = 0. B. 2 x − 7 y + 9 = 0.
C. x + 2 = 0.
D. x − 2 = 0.
 A (2; −1) ∈ AB


→ AB : x − 2 = 0. Chọn D.
Lời giải. 


→ M (2;0) → u AM = AM = (1; −1) → nAM = (1;1) → AM : x + y − 2 = 0. Chọn A.

C (4; 2)

Câu 71. Đường trung trực của đoạn AB với A (1; −4 ) và B (5;2) có phương trình là:


A. 2 x + 3 y − 3 = 0. B. 3 x + 2 y + 1 = 0.

C. 3 x − y + 4 = 0.

D. x + y −1 = 0.

Lời giải. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có
 A (1; −4) , B (5; 2) → I (3; −1) ∈ d


→ d : 2 x + 3 y − 3 = 0. Chọn A.

d ⊥ AB → n = AB = (4;6) = 2 (2; 3)
d

Câu 72. Đường trung trực của đoạn AB với A (4; −1) và B (1; −4 ) có phương trình là:
A. x + y = 1.

B. x + y = 0.

C.




→ d : y + 1 = 0. Chọn A.

d ⊥ AB → n = AB = (0;6) = 6 (0;1)
d

Câu 74. Đường trung trực của đoạn AB với A (1; −4 ) và B (3; −4 ) có phương trình là :
A.

y + 4 = 0.

B. x + y − 2 = 0.

C. x − 2 = 0.

D. y − 4 = 0.

Lời giải. Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB. Ta có
 A (1; −4) , B (3; −4) → I (2; −4) ∈ d


→ d : x − 2 = 0. Chọn C.

d ⊥ AB → n = AB = ( 2; 0) = 2 (1;0)
d

Câu 75. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (2;−1), B (4;5) và

C (−3;2) . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.


h ⊥ AC → n = AC = (−5;3) = −(5; −3)
B
h
B

Câu 77. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A (2;−1), B (4;5) và

C (−3;2). Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ C .
A. x + y −1 = 0.

B. x + 3 y − 3 = 0.

C. 3 x + y + 11 = 0.

D. 3 x − y + 11 = 0.

Lời giải. Gọi hC là đường cao kẻ từ C của tam giác ABC. Ta có

C (−3; 2) ∈ hC

→ hC : x + 3 y − 3 = 0. Chọn B.

hC ⊥ AB → nh = AB = ( 2; 6) = 2 (1;3)
C



Vấn đề 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 78. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : x − 2 y + 1 = 0 và d 2 : −3 x + 6 y −10 = 0 .


Lời giải. 
→  6 −2 
→ d1 , d 2 cắt nhau nhưng không
d 2 : 6 x − 2 y − 8 = 0 → n2 = (6; −2) 

/0
n1 ⋅ n2 =
vuông góc. Chọn D.
Câu 80. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 :

x y
− = 1 và d 2 : 3 x + 4 y −10 = 0 .
3 4

A. Trùng nhau.
B. Song song.
C. Vuông góc với nhau.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
1 1 

x y
d1 : − = 1 → n1 =  ; − 
3 4
3 4
Lời giải. 
→ n1 ⋅ n2 = 0 → d1 ⊥ d 2 . Chọn C.

d 2 : 3x + 4 y −10 = 0 → n2 = (3; 4)
 x = 2 − 2t ′

↔
t
=
3
d2 : 
→ B (2; −8) ∈ d 2 , u2 = (−2; 4) 
1
 y = −8 + 4t ′


 x = −3 + 4 t
Câu 82. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : 
và d 2
 y = 2 − 6t

 x = 2 − 2t ′
: 
.
 y = −8 + 4t ′

A. Trùng nhau.
B. Song song.
C. Vuông góc với nhau.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

 x = −3 + 4t
d1 : 
→ A (−3; 2) ∈ d1 , u1 = ( 2; −3)  2
−3
 

3

A. Trùng nhau.
C. Vuông góc với nhau.


 x = 9 + 9t ′

2
: 
.

1
′
y
=
+
8
t

3


B. Song song.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.


3



∆2 : 
→ u2 = (9;8)
 

1
 y = + 8t ′

3


 x = 4 + t
Câu 84. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 : 7 x + 2 y − 1 = 0 và ∆2 : 
.
 y = 1− 5t
A. Trùng nhau.
C. Vuông góc với nhau.
∆1 : 7 x + 2 y −1 = 0 → n1 = (7; 2)

B. Song song.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

2
  7 =
/


Lời giải.
→
→ ∆1 , ∆2 cắt nhau nhưng
 x = 4 + t

và d 2 : 5 x + 2 y −14 = 0 .
 y = 1 − 5t
A. Trùng nhau.
B. Song song.
C. Vuông góc với nhau.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

 x = 4 + 2t
d1 : 
→ A (4;1) ∈ d1 , u1 = (2; −5)
 u1 = u2
 y = 1− 5t
Lời giải.
→ d1 || d 2 . Chọn B.
→
  A ∈
/ d2
d 2 : 5 x + 2 y −14 = 0 → n2 = (5; 2) → u2 = (2; −5)
 x = 2 + 3t
 x = 2t ′
Câu 87. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 : 
và d 2 : 
.


 y = −2t
 y = −2 + 3t ′
A. Trùng nhau.
B. Song song.
C. Vuông góc với nhau.

A. d1 song song d 2 .
B. d1 và d 2 cắt nhau tại M (1; –3) .
C. d1 trùng với d 2 .
Lời giải. Ta có

D. d1 và d 2 cắt nhau tại M (3; –1) .



 x = 2 + t
→ d1 : 2 x − y − 7 = 0 
d1 : 
 d : 2 x − y − 7 = 0  x = 3
 y = −3 + 2t
 →  1
⇔ 
→ d1 ∩ d 2 = M (3; −1).
 d 2 : 3 x + y − 8 = 0  y = −1
 x = 5 − t1

→ d 2 : 3 x + y − 8 = 0
d2 : 
 y = −7 + 3t1


Chọn D.

 x = 1 − t
Câu 89. Cho hai đường thẳng d1 : 
và d 2 : x – 2 y + 1 = 0 . Khẳng định nào sau đây là

Oy ∩ d 2 : x – 2 y + 1 = 0 ↔ x = 0 ⇒ y = → d 2 ∩ Oy = M 0; . Chọn C.
 2 
2
Chọn D.
Câu 90. Cho bốn điểm A (4; −3) , B (5;1) , C (2;3) và D (−2; 2) . Xác định vị trí tương đối của hai
đường thẳng AB và CD .
A. Trùng nhau.
B. Song song.
C. Vuông góc với nhau.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
 1
4
u = AB = (1; 4)

=
/
 AB
Lời giải. 
→ −4 −1 → AB, CD cắt nhau nhưng không vuông góc.


/0
uCD = CD = (−4; −1) u AB ⋅ uCD =

Chọn D.
Câu 91. Cho bốn điểm A (1;2) , B ( 4;0) , C (1;−3) và D (7;−7) . Xác định vị trí tương đối của hai
đường thẳng AB và CD .
A. Trùng nhau.
B. Song song.
C. Vuông góc với nhau.

/ 0 → loại A.
  y = −1− 2t

d 2 : 2 x + y –1 = 0 → n2 = ( 2;1) → u2 = (1; −2)
d1 : x − 2 = 0 → n1 = (1; 0)

(ii) 
→ n1 ⋅ n2 = 0 → d1 ⊥ d 2 . Chọn B.

 x = t
. → u2 = (1;0) → n2 = (0;1)
d 2 : d 2 : 

 y = 0
Tương tự, kiểm tra và loại các đáp án C, D.
Câu 93. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng 2 x + 3 y −1 = 0 ?


A. 2 x + 3 y + 1 = 0 .

B. x − 2 y + 5 = 0 .

C. 2 x − 3 y + 3 = 0 .

D. 4 x − 6 y − 2 = 0 .

d : 2 x + 3 y −1 = 0
2 3 −1
Lời giải: Xét đáp án A: 
→ = =

 x = 1 + t
(i) Xét đáp án A: d1 : 
→ n1 = (1;3) → n1 , n không cùng phương nên loại A.

 y = 2 + 3t
 x = 1− t
(ii) Xét đáp án B: d 2 : 
→ n2 = (3;1) → n2 , n không cùng phương nên loại B.
 y = 2 + 3t
 x = 1− 3t
(iii) Xét đáp án C: d 3 : 
→ n3 = (1;3) → n3 , n không cùng phương nên loại C.

 y = 2 + t
 x = 1− 3t M (1; 2) ∈ d 4 n4 = n
(iv) Xét đáp án D: d 4 : 
→
→
→ d || d 4 . Chọn D.

 y = 2 − t
n4 = (1; −3)
M ∈
/d

Câu 95. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng 4 x − 3 y + 1 = 0 ?
 x = 4 t
 x = 4 t
 x = −4 t
 x = 8t

 x = 1
C. 
D. 
A. 
. B. 
.
.
.
 y = −1 + 2018t
 y = 0
 y = −1
 y = −1 + t
Lời giải. Hai đường thẳng có hai điểm chung thì chúng trùng nhau. Như vậy bài toán trở
thành tìm đường thẳng trùng với đường thẳng đã cho lúc đầu. Ta có
 A(0; −1) ∈ d
 x = t
d : 

→ 

→ kiểm tra đường thẳng nào chứa điểm A(0; −1) và có VTCP
 y = −1

ud = (1;0)
cùng phương với

ud → Chọn C.

 x = −2 + 3t
Câu 97. Đường thẳng nào sau đây có đúng một điểm chung với đường thẳng 


thì

hai

đường

thẳng

d1 : 3 x + 4 y + 10 = 0

và

d 2 : (2m −1) x + m y + 10 = 0 trùng nhau?
2

A. m ± 2 .
B. m = ±1 .
C. m = 2 .
D. m = −2 .
2
2
d 2 : (2m −1) x + m y + 10 = 0 d1 ≡ d2 2m −1 m
10 2m −1 = 3
Lời giải. 

→
=
= ⇔  2
⇔ m = 2. Chọn C.

−1 m = 2m − 2

 x = 2 − 3t
cắt nhau.
Câu 100. Tìm m để hai đường thẳng d1 : 2 x − 3 y + 4 = 0 và d 2 : 
 y = 1 − 4 mt

1
1
1
A. m ≠ − .
B. m ≠ 2.
C. m ≠ .
D. m = .
2
2
2
d1 : 2 x − 3 y + 4 = 0
n1 = ( 2; −3)

4m −3
1
d1 ∩ d 2 = M
Lời giải. 

→ 

→
=
/

 x = −1 + at

d 2 :  y = 3 − (a + 1) t
n2 = (a + 1; a )


 x = −2 + 2t
Câu 102. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1 : 
và
 y = −3t

 x = 2 + mt
d 2 : 
trùng nhau?
 y = −6 + (1 − 2m ) t

1
B. m = −2 .
C. m = 2 .
D. m ≠ ±2 .
A. m = .
2

 x = −2 + 2t

→ u1 = ( 2; −3)
d1 : 
 A ∈ d1

 y = −3t

4
.
3

D. m ∈ ∅ .


 x = 2 + 2t
 A ∈ d2
5 + m = 0
d1 : 
→ A(2;1) ∈ d1 , u1 = ( 2; m) d ≡d 
1
2
 y = 1 + mt
Lời giải.
→  2 m ⇔ 
⇔ m ∈ ∅.
 

 =
m = 8
 3 4

d 2 : 4 x − 3 y + m = 0 → u2 = (3; 4)
3


và


m + 3 1 2m −1 
d1 || d 2

→
= =
/
⇔

1 ⇔ m = −1. Chọn B.
d 2 : (m + 3) x + y − 2m −1 = 0
m =
2
1
−m
/


3

Câu 105. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng ∆1 : 2 x − 3my + 10 = 0 và

∆2 : mx + 4 y + 1 = 0 cắt nhau.
C. Không có m .
D. Với mọi m .

∆1 : x + 5 = 0

∆1 : 2 x − 3my + 10 = 0  m = 0 → ∆ : 4 y + 1 = 0 → m = 0 ( tm)
 2
Lời giải. 


B. m = 2 .

C. Không có m .

D. m = ±1 .

Lời giải. Ta có :
∆1 : mx + y −19 = 0 → n1 = (m;1)
∆1 ⊥∆1


→ m (m −1) + 1( m + 1) = 0 ⇔ m ∈ ∅.

∆2 : (m −1) x + (m + 1) y − 20 = 0 → n2 = (m −1; m + 1)

Chọn C.
Câu 107. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1 : 3mx + 2 y + 6 = 0 và
d 2 : (m 2 + 2 ) x + 2 my + 6 = 0 cắt nhau?

A. m ≠ −1 .

B. m ≠ 1 .

C. m ∈ ℝ .

D. m ≠ 1 và m ≠ −1 .

Lời giải. Ta có


Câu 108. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1 : 2 x − 3 y −10 = 0 và d 2 : 

 y = 1 − 4 mt
vuông góc?

1
5
9
9
.
B. m = .
C. m = − .
D. m = − .
2
4
8
8
d1 : 2 x − 3 y −10 = 0 → n1 = (2; −3)

9
d1 ⊥ d 2


→ 2.4m + (−3).(−3) = 0 ⇔ m = − . Chọn C.
Lời giải. 
 x = 2 − 3t
d 2 : 
8
→ n2 = (4m − 3)




d1 : 4 x − 3 y + 3m = 0 → n1 = (4; −3)
 A ∈ d1
3m − 8 = 0



8
d1 ≡ d 2


→  m −2 ⇔ 
⇔m= .
Lời giải. 
 x = 1 + 2t
8
d 2 : 


3
m
=
=
→ A(1; 4) ∈ d 2 , n2 = (m; −2)


3
 4 −3 
 y = 4 + mt



d 2 : x + y − 3 = 0

→
.

d 2 : (m 2 + 2) x + 2my − 3 = 0 → n2 = (m 2 + 2; 2m) 
m 2 + 2 2 m −3
d1 || d 2

/ 0 
→
=
=
/
⇔ m = ±1
m =
3m
2
−6


Chọn A.

Câu 111. Với giá trị nào của
d 2 : mx + 2 y − 14 = 0 song song?
m = 1
.
B. m = 1 .



→ 
y = 10 + t
n2 = (0; 2)

 



d 2 : mx + 2 y −14 = 0 → n2 = (m; 2)
1 m +1
 m =
/ 0→ =

2
m
/0
8m + 6 =
m = 1

.
⇔ m =
⇔
/0
 m = −2


m = 1
Chọn A.


m −3 2
 2
/ 0→
=
/ ⇔
m =
m =

/2
−1
m
 x = m + 2t
 x = 1 + mt
Câu 113. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ∆1 : 
và ∆2 : 


 y = 1 + (m 2 + 1) t
 y = m + t

trùng nhau?
4
A. Không có m . B. m = .
C. m = 1 .
D. m = −3 .
3
C. m ≠ 2 .




m 2 −1 = 0

m = 1 + m (1− m)

⇔ 1 = m + t
⇔
⇔
⇔ m = 1.

( m −1)(m 2 + m + 2) = 0 m −1 = 0
3
m + m − 2 = 0 
Câu 114. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ : 5 x + 2 y − 10 = 0 và trục hoành.
A. (0;2).

B. (0;5).

C. (2;0).

D. (−2;0).

 y = 0
 x = 2
Lời giải. Ox ∩ ∆ : 5 x + 2 y −10 = 0 
→ 
⇔ 
. Chọn C.
5 x + 2 y −10 = 0  y = 0



Câu 116. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng 7 x − 3 y + 16 = 0 và x + 10 = 0 .
A. (−10;−18) .

B. (10;18) .

C. (−10;18) .

D. (10; −18) .

d1 : 7 x − 3 y + 16 = 0  x = −10
Lời giải. 
. Chọn A.
⇔

d 2 : x + 10 = 0
 y = −18
 x = −3 + 4 t
Câu 117. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng d1 : 
và d 2

 y = 2 + 5t
A. (1;7).

B. (−3;2).

C. (2;−3).

 x = 1 + 4 t ′
: 

Câu 118. Cho hai đường thẳng  d1 : 2 x + 3 y −19 = 0 và  d 2 : 
. Tìm toạ độ giao điểm

 y = 55 + 5t
của hai đường thẳng đã cho.
B. (10;25).
A. (2;5).

C. (−1;7).

D. (5;2 ).

 d1 : 2 x + 3 y −19 = 0

 x = 2
d1 ∩ d 2
 x = 22 + 2t
Lời giải. 

→ 2 (22 + 2t ) + 3(55 + 5t ) −19 = 0 ⇔ t = −10 → 
.

 d 2 :  y = 55 + 5t
 y = 5


Chọn A.
Câu 119. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( –2 ;0 ), B (1;4 ) và đường thẳng

 x = −t

một điểm nằm trên trục hoành.
B. a = −1.
C. a = 2.
D. a = −2.
A. a = 1.
 x = −1 + t
 x = −2
Lời giải. Ox ∩ d 2 ↔ 
⇔
→ Ox ∩ d 2 = A (−2;0) ∈ d1 → −2a − 4 = 0 ⇔ a = −2.
 y = 3 + 3t = 0  y = 0

Chọn D.
Câu 121. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng d1 : 4 x + 3my – m 2 = 0 và
 x = 2 + t
d 2 : 
cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung.
 y = 6 + 2t
A. m = 0 hoặc m = −6 .

B. m = 0 hoặc m = 2 .

C. m = 0 hoặc m = −2 .
D. m = 0 hoặc m = 6 .
m = 0
 x = 2 + t = 0  x = 0
Lời giải. Oy ∩ d 2 ↔ 
⇔
→ Oy ∩ d 2 = A(0; 2) ∈ d1 ⇔ 6m − m 2 = 0 ⇔ 
.

16
 A ∈ d
 A ∈ d
9 31
53
→
→ − + +c = 0 ⇔ c =− .

d || d3 : 3 x + 4 y – 1 = 0 d : 3 x + 4 y + c = 0 (c =
/
−
1
8 4
8
)

53
Vậy d : 3 x + 4 y – = 0 ⇔ d3 : 24 x + 32 y − 53 = 0. Chọn A.
8
Câu 123. Lập phương trình của đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của hai đường thẳng
d1 : x + 3 y −1 = 0 , d 2 : x − 3 y − 5 = 0 và vuông góc với đường thẳng d 3 : 2 x − y + 7 = 0 .
A. 3 x + 6 y − 5 = 0 .

B. 6 x + 12 y − 5 = 0 .

C. 6 x + 12 y + 10 = 0 .

D. x + 2 y + 10 = 0 .
 x = 3


1
1
A. m = .
B. m = −5.
C. m = − .
5
5

D. m = 5.


Lời giải. Ta có
d1 : 3 x − 4 y + 15 = 0  x = −1
⇔
→ d1 ∩ d 2 = A(−1;3) ∈ d3 → −m − 6m + 3 + 9m −13 = 0 ⇔ m = 5.

d 2 : 5 x + 2 y −1 = 0
 y = 3
Chọn D.
Câu 125. Nếu ba đường thẳng  d1 : 2 x + y – 4 = 0 , d 2 : 5 x – 2 y + 3 = 0 và d 3 : mx + 3 y – 2 = 0
đồng quy thì m nhận giá trị nào sau đây?
12
12
B. − .
C.
A.
.
5
5



d 3 : mx – 4 y + 15 = 0 đồng quy?
B. m = 5 .
C. m = 3 .
D. m = −3 .
A. m = −5 .
d1 : 3 x – 4 y + 15 = 0  x = −1
Lời giải. 
⇔
→ d1 ∩ d 2 = A(−1;3) ∈ d → −m −12 + 15 = 0 ⇔ m = 3.

d 2 : 5 x + 2 y – 1 = 0
 y = 3
Chọn C.
Câu 127. Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng d1 : 2 x + y – 1 = 0 , d 2 : x + 2 y + 1 = 0 và

d 3 : mx – y – 7 = 0 đồng quy?
A. m = −6 .
B. m = 6 .
C. m = −5 .
D. m = 5 .
d1 : 2 x + y – 1 = 0
 x = 1
Lời giải. 
⇔ 
→ d1 ∩ d 2 = A (1; −1) ∈ d 3 ⇔ m + 1− 7 = 0 ⇔ m = 6.

d 2 : x + 2 y + 1 = 0  y = −1
Chọn B.
Câu 128. Đường thẳng d : 51x − 30 y + 11 = 0 đi qua điểm nào sau đây?

/ d . Chọn A.
Lời giải. Đặt f ( x; y ) = 51x − 30 y + 11 
→  f ( N ) = f −1;  = −80 =


3


f ( P) =
/0

 f (Q ) =
/0


 x = 1 + 2t
Câu 129. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d : 
?

 y = 3 − t
A. M (2; –1) .
B. N ( –7;0) .
C. P (3;5) .

t = 1
2 = 1 + 2t
x = 2, y =−1→ d
Lời giải. M (2; –1)  
→
⇔ 



Câu 130. Đường thẳng 12 x − 7 y + 5 = 0 không đi qua điểm nào sau đây?
 5 
 17 
A. M (1;1) .
B. N (−1;−1) .
C. P − ;0 .
D. Q 1;  .
 12 
 7 
 f ( M (1;1)) = 10 =
/ 0→ M ∈
/d


Lời giải. Gọi 12 x − 7 y + 5 = 0 , đặt f ( x; y ) = 12 x − 7 y + 5 
→  f ( N (−1; −1)) = 0 → N ∈ d .

 f ( P ) = 0, f (Q ) = 0

Chọn A.
 x = −1 + 2t
?
Câu 131. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng 

 y = 3 − 5t
A. M (−1;3) .

B. N (1;−2) .

1 = 3 − 5t
t =
5

−3 = −1 + 2t
x =−3, y =8→ d
Q (−3;8)  
→
⇔ t = 1 → Q ∈ d.
8 = 3 − 5t
x =3, y =1→ d

Vấn đề 4. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 132. Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1 : 2 x − y −10 = 0 và d 2 : x − 3 y + 9 = 0.
A. 30 o.

C. 60 o.

B. 45o.

D. 135o.

Lời giải. Ta có
d1 : 2 x − y −10 = 0 → n1 = ( 2; −1) ϕ = d ; d
2.1 + (−1).(−3)
1
( 1 2)




3

D.

3π
.
4

Lời giải. Ta có
d1 : 7 x − 3 y + 6 = 0 → n1 = (7; −3) ϕ = d ; d
14 + 15
1
π
( 1 2)



→ cos ϕ =
=
→ ϕ = . Chọn A.

d 2 : 2 x − 5 y − 4 = 0 → n2 = (2; −5)
4
49 + 9. 4 + 25
2

Câu 134. Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d1 : 2 x + 2 3 y + 5 = 0 và d 2 : y − 6 = 0.
A. 30 o.

B. 45o.

)

C. 60 o.

D. 90 o.


d : x + 3 y = 0 → n = 1; 3
1+ 0
 1
1
1
ϕ =( d1 ; d 2 )
Lời giải. 


→ cos ϕ =
= → ϕ = 60 . Chọn C.

d : x + 10 = 0 → n = (1;0)
2
1
+
3.
1
+
0
2
 2
 x = 10 − 6t

3
A. − .
B.
.
C.
.
D.
.
5
5
5
5
d1 : x + 2 y − 7 = 0 → n1 = (1; 2)
1− 4
3
ϕ =( d1 ; d 2 )
Lời giải. 


→ cos ϕ =
= . Chọn C.

d 2 : 2 x − 4 y + 9 = 0 → n2 = (1; −2)
1 + 4. 1 + 4 5

Câu 138. Cho đường thẳng d1 : x + 2 y − 2 = 0 và d 2 : x − y = 0 . Tính cosin của góc tạo bởi giữa
hai đường thẳng đã cho.
10
2
3

 x = 2 + t
Câu 139. Cho đường thẳng d1 : 10 x + 5 y −1 = 0 và d 2 : 
. Tính cosin của góc tạo bởi

 y = 1 − t
giữa hai đường thẳng đã cho.
3 10
3
10
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
10
5
10
10
d1 : 10 x + 5 y −1 = 0 → n1 = (2;1)

2 +1
3
ϕ =( d1 ; d 2 )

Lời giải. 


65
65
65
d1 : 3 x + 4 y + 1 = 0 → n1 = (3; 4)

15 − 48
33
ϕ =( d1 ; d 2 )
Lời giải. 


→ cos ϕ =
= . Chọn D.
 x = 15 + 12t


d 2 : 
→ n2 = (5; −12)
9 + 16. 25 + 144 65

 y = 1 + 5t
 x = 2m −1 + t
Câu 141. Cho đường thẳng d1 : 2 x + 3 y + m 2 −1 = 0 và d 2 : 
. Tính cosin của góc

 y = m 4 −1 + 3t
A.

tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho.
1

130

 y = m 4 −1 + 3t
