Cao Minh Nhân
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Vấn đề 1: Hệ tọa độ - Tọa độ các điểm và véc tơ
A. Tóm tắt lý thuyết
Trong Oxyz:
1.
a
(x,y,z)
⇔

a
=x
i
+y
j
+z
k
2.
a
(x
1
,y
2
,z
2
),
b
(x
2
,y
2

x
2
; y
1
±
y
2
;z
1
±
z
2
)
• k
a
= (kx
1
; ky
1
; kz
1
)
•
a
b
= x
1
x
2
+y

a
,
b
) =
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
x
zzyyxx
zyxzy
+++++
++
(
a
0
≠
;
b
0
≠

A
; z
B
-z
A
)
• AB=
222
)()()(
ABABAB
zzyyxx
++−+−
• M là trung điểm của AB
⇒
M (
2
;
2
;
2
ABABBA
zzyyxx
+++
)
• G là trọng tâm của tam giác ABC
⇒
G (
2
;
2

(Oxy)
⇒
M (x; y; 0)
M
∈
(Oyz)
⇒
M (0; y; z)
M
∈
(Oxz)
⇒
M (x; 0; z)
B. Bài tập
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxyz cho
a
(1, 2, 3);
b
(2,-1, 3);
c
(1, 0, 2)
Ôn thi ĐH
Cao Minh Nhân
1. Tính tọa độ của véc tơ
u
= 2
a
-3
b
+2



u
2.
)6;3;4(
0;6) (3;c3
1;3)- (2; b
3) 2; (1; a
−−=⇒







v
Vậy
v
=
61)6(3)4(
222
=−++−
3.





−=+

3. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.
4. Tìm trên mặt phẳng (Oxy) một điểm M cách đều 3 điểm A, B, C.
Lời giải:
1.
AB
(-2; 0;-1)
AC
(2; 0;-2)
Giả sử
AB
= k
AC
⇒





−=−
=
=−
k
k
k
21
00
22
hệ vô nghiệm
⇒


x
⇔






=
=
−=
0
1
5
z
y
x
Vậy D (5; 1;0)
3. Tìm tọa độ trọng tâm G của
ABC
∆
G (
)
3
101
;
3
111
;
3

=
1126
22
++−+
zxzx
MA
2
=MB
2
=MC
2
⇔





++−+=+++
+++=+−−+
112622
22322
2222
2222
zxzxxzx
xzxyxzx
⇔



=−

Bài 1: Cho
a
(2, -1, 2);
b
(3, 0, 1);
c
(-4, 1, -1)
1. Tính tọa độ của véc tơ
u
= 3
a
-2
b
+
c
2. Tính độ dài véc tơ
v
biết
v
= 2
a
+
b
+4
c
3. Cho
x
(2; y
0
; z

+C
2
≠0)
n
là véc tơ chỉ phương (VTCP) của
)(
α
2.
)(
α
: Qua M
);;(
000
zyx
VTPT
n
(A, B, C)
Phương trình
)(
α
có dạng: A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0
3. A (a; 0; 0); B (0; b; 1); C (0; 0; c) với abc≠0
Phương trình (ABC) là
1

gọi là cặp VTCP của
)(
α
B. Bài tập
Bài 1: Trong Oxyz cho 3 điểm A (5; 1; 3); B (1; 6; 2); C (5; 0; 4). Viết
phương trình mặt phẳng
)(
α
trong các trường hợp sau đây:
1. Đi qua A và vuông góc với BC
2. Mặt phẳng trung trực của đoạn AB
3. Đi qua 3 điểm A, B, C
4. Đi qua A và chứa Ox
5. Đi qua các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ
Lời giải:
1.
)(
α
: Qua M (5; 1; 3)
Ôn thi ĐH
Cao Minh Nhân
VTPT
BC
(4; -6; 2)=2 (2; -3; 1)
Phương trình
)(
α
là: 2(x-5)-2(y-1) +1(z-3) = 0
⇔
2x-3y+z-10 = 0

5
−

1
1
−
,
1
1
−

0
4
−
,
0
4
−

1
5
−
)
= (4; 4; 4) =4(1; 1; 1) là VTPT của (ABC)
Hay (ABD): Qua A (5; 1; 3)
VTPT (1; 1; 1)
Phương trình (ABC) là: x-5+y-1-z-3=0
4. Phương trình
)(
α

1
315
=++
zyx
⇔
3x+15y+5z-15=0
Bài 2: Trong Oxyz cho 2 điểm A(1;0;1), B(2;3;0). Phương trình của 2 mặt
phẳng (P), (Q) lần lượt là:
(P): x-2y-3z+1=0
(Q): 2x+y-z+4=0
Viết phương trình
)(
α
trong các trường hợp sau đây:
1. Đi qua A và song song với (P)
2. Đi qua A và song song với trục Oz
3. Đi qua A, B và vuông góc với (P)
4. Đi qua A, B và vuông góc với (P) và vuông góc với (Q)
Lời giải:
1.
)(
α
: Qua A (1;0;1)
Song song (P)
)3;2;1(
)(
−−
P
n
là VTPT của

−

0
1
,
0
1

0
3
)= (3;-1;0) là VTPT của
)(
α
Phương trình
)(
α
là: 3(x-1)-y=0
⇔
3x-y-3=0
3.
AB
(1; 3;-1) và
)3;2;1(
)(
−−
P
n
là cặp VTCP của
)(
α

=(-11;2;-5) là
VTPT của
)(
α
)(
α
: Qua A (1;0;1)
VTPT (-11;2;-5)
Phương trình
)(
α
là: -11(x-1)+2y-5(z-1)=0
⇔
-11x+2y-5+16=0
4.
)3;2;1(
)(
−−
P
n
và
)1;1;2(
)(
−
Q
n
là cặp VTCP của
)(
α
⇒

là VTPT của
)(
α
)(
α
: Qua A (1;0;1)
VTPT (1;-1; 1)
Phương trình
)(
α
là: x-1-y+z-1=0
⇔
x-y+z-2=0
Bài tập tự giải
Trong Oxyz cho 3 điểm A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3)
Phương trình mặt phẳng (P) là: 2x-y+z-1=0
1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC), chứng minh 4 điểm O, A, B, C
là 4 đỉnh của tứ diện.
2. Viết phương trình
)(
α
trong các trường hợp sau đây:
a. Đi qua O(0;0;0) và vuông góc với AB
b. Đi qua A và song song với (P)
c. Đi qua A, B và vuông góc với (P)
d. Đi qua A, B và song song với Oy
Ôn thi ĐH
Cao Minh Nhân
e. Đi qua O(0;0;0) và vuông góc với (P), vuông góc với (ABC)
f. Mặt phẳng trung trực đoạn BC

VTPT của
)(
α
),,(
222)(
CBAn
β
VTPT của
)(
β
*
⇔≠
)()(
βα
nkn
)(
α
cắt
)(
β
*
⇔





≠
=
21

)()(
βα
βα
⊥⇔=
nn
2. Chùm mặt phẳng
Trong Oxyz cho:
)(
α
: A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
=0
)(
β
: A
2
x+B
2
y+C
2
z+D
2
=0
)(

x+B
2
y+C
2
z+D
2
)=0
• Với m
2
+n
2

≠
0 gọi là phương trình của chùm mặt phẳng
))(),((
βα
Chú ý: M
∈
d
⇒
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:



=+++
=+++
0DzCyBxA
0DzCyBxA
2222
1111

n
VTPT của
)(
α
)1,5,1(
)(
−
β
n
VTPT của
)(
β
Vì
)()(
5
2
1
1
βα
nkn
≠⇒≠
vậy
)(
α
cắt
)(
β
2.
)1,1,1(
)(

α
)9,6,3(
)(
β
n
VTPT của
)(
β
)()(
3
1
9
3
6
2
3
1
βα
≡⇒===
Bài 2: Cho 2 mặt phẳng
)(
α
: 2x+my+2mz-9=0
)(
β
: 6x-y-z-10=0
Xác định m để:
1.
)(
α

β
0.
)()(
=⇔
βα
nn
⇔
12-m-2m=0
⇔
m=4
2.
)(
α
//
)(
β
⇔
10
9
1
2
16
2
−
−
≠
−
=
−
=

Cao Minh Nhân
2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của
)(
α
và
)(
β
và đi
qua M (1; 2;1).
3. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua giao tuyến của
)(
α
và
)(
β
và
song song với Oy.
4. Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua giao tuyến của
)(
α
và
)(
β
và
vuông góc với
)(
γ
.
Lời giải:
1. Vì

m=-4n
Chọn n=-1, m=4
Phương trình mặt phẳng (P) là: 4(2x-y+z+1) - (x+3y-z+2)=0
⇔
7x - 7y+5z+2=0
3. Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng (*)
),3,2(
)(
nmnmnmn
Q
−+−+
VTPT của (Q)
γ
(0; 1; 0) VTCP của Oy
(Q)// Oy
⇔
0.
)(
=
γ
Q
n
⇔
-m+3n=0
⇔
m=3n
Chọn n=1, m=3
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: 7x+2z+5=0
4. Phương trình
)(

3m=n . Chọn m=1, n=3
Phương trình mặt phẳng (R) là: 5x+8y-2z+7=0
Vấn đề 4: Phương trình của đường thẳng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Đường thẳng
∆
: Qua M(x
0
;y
0
;z
0
)
VTCP
),,( cbau
Ôn thi ĐH
Cao Minh Nhân
Phương trình tham số
∆
là:





+=
+=
+=
ctzz
btyy

ctzbtyatxN
+++⇒
B. Bài tập
Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng
∆
trong các trường hợp
sau đây:
1. Đi qua A(1;2;3) có VTCP
)1;3;3(u
2. Đi qua B(0;0;-1) và vuông góc với mặt phẳng
)(
α
: 2x-y+z+9=0
3. Đi qua 2 điểm C(1;-1;1), D(2;1;4)
Lời giải:
1.
∆
: Qua A(1;2;3)
VTCP
)1;3;3(u
Phương trình tham số của đường thẳng
∆
là:





+=
+=





+−=
−=
+=
tz
ty
tx
1
21
3.
∆
: Qua C(1;-1;1)
VTCP
)3;2;1(CD
Phương trình tham số của đường thẳng
∆
là:





+=
+−=
+=
tz
ty

Lời giải:



⊥
∆⊃
)()(
)(
PQ
Q
Ta có: M(1;0;1)
∈

∆
)1;1;1(
−
∆
u
)1;2;1(
)(
−
u
n
)1,2,1(
)(
−
P
n
và
)1;1;1(

−

1
2
−
)
= (-1;0;-1) là VTPT của (Q)
(Q): Qua M(1;0;1)
VTPT (-1;0;-1)
Phương trình (Q) là: -(x-1)-(z-1) =0
⇔
-x-z+2=0
⇔
x+z-2=0
Khi đó
'
∆
= (P)
∩
(Q)
A
∈
'
∆
⇒
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình.



=+−−

Vậy phương trình tham số của
'
∆
là







=
−=
−=
tz
ty
tx
2
3
2
Bài 3: Cho 2 đường thẳng
1
∆
:





=

∆
,
2
∆
Lời giải:
M
∈

1
∆
⇒
M (1-t; 2+2t; 3t)
)3;2;1(
1
−
u
VTCP
1
∆
N
∈
2
∆
⇒
N (1+t
’
;3-2t
2
; 1)
)0;2;1(

=
=
0442
93442
0.
0.
''
''
2
1
tttt
ttttt
uMN
uMN
Ôn thi ĐH