TR

B GIÁO D
O
NG
I H C DÂN L P H I PHÒNG
-----------------------------

NT

H UH N

I V I BÀI TOÁN D M LIÊN T C CH U
T I TR NG PHÂN B

U

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU N V N TH C S K THU T

NG D N KHOA H C

GS.TS. TR N H U NGH

H i Phòng, 2017


L
u c a riêng tôi. Các s li u,

tác

gi trong su t quá trình h c t p, nghiên c u hoàn thành lu
Tác gi xin chân thành c
và ngoài

c, các chuyên gia trong

i h c Dân l p H i phòng

góp ý cho b n lu n

i h c và
ng nghi

, quan tâm

c hoàn thi

Tác gi xin trân tr ng c
Phòng

u ki

, giáo viên c a Khoa xây d ng,
i h c-

u ki n thu n l

nghiên c u và hoàn thành lu n

....................... 4
u ki n -

a s Lagrange .............. 7

c ti p trong bài toán bi n phân h u h n [ 13] ..................................................................................................... 7
............................................................................ 10
................................................................ 10
................................................................................... 10
......................................................................... 11
.................................. 11
............................................................. 11
......................................... 12
NT H UH N

I V I D M CH U

U N ................................................................................................................ 13
NT

H U H N ............................................... 13

2.1.1. Hàm n i suy c a ph n t ....................................................................... 15
2.1.2. Ma tr

c ng c a ph n t ................................................................. 17

2.1.3. Ma tr

c ng t ng th ...................................................................... 18

có:

và c

-

:

.

P
c hóa côn
thông qua

theoba mô hình g m:Mô hình chuy n v , xem chuy n v
và hàm n i suy bi u di n g

ng phân b c a chuy n v trong ph n t ;

Mô hình cân b ng,hàm n i suy bi u di n g

ng phân b c a ng su t

hay n i l c trong ph n t và mô hình h n h p, c
ng su t là hai y u t

ng c n tìm

ng chuy n v và



C K T C U VÀ
I

Tr

,t

phân,

c tiên trình bày các v

ch trình bày các khái ni

n

toán c c tr có ràng bu c
c n thi t

v phép tính bi n

as

iv

c.

c

ng v n

F y1

y1 , y2

N u hàm y(x) và
dy
dx

y'

thì s gia c

c vi

y2 ,.., yn

yn ; x

F

y là kh vi thì
d
dx

y

(1.1)

y1, y2 ,.. yn ; x
y' c a


y ,1 , y , 2

y , 2 ,.., y , n

y ,n , x

(1.3)


N

o hàm riêng liên t c b c 2 thì s gia c

nh theo (1.3) có th vi

c xác

i d ng chu i TayR

2

(1.4)
R

ng vô cùng bé b c cao v i

2

(1.5)

F y ( x), y ' ( x), x .dx (1.6a)

I
x1

x2

F y1 ( x), y2 ( x),.., yn ( x), y1' ( x), y2 ' ( x),.., yn ' ( x), x .dx

ho c là I

(1.6b)

x1

[Phép ánh x

t m i hàm (h

nh trên m t t

ng v i m

c g i là phi m hàm].

Phi m hàm I có c c ti
yi(x) n u

i v i hàm y(x) ho c h hàm



0

yi2

y '12

y22

y '22 ...

y 'i2
yn2

y '2n

khi x1 x x2 .

u


C

a Z khi Z < 0.
tìm c c tr c a(1.6): Gi i tr c ti p trên phi m hàm

ho

m hàm v
m hàm (1.6a) v


(b)

Tích phân t ng ph n bi u th c (b) ta s có:
x

I

2
F
y
y'
x1

F
y

x2
x1

m biên là c

d
dx

F
y'

ydx


d
dx

F
y'

0

(1.8)

cg

a phi m hàm (1.6a).

Trong m t s tài li

c suy ra t b

sau:
B
nh

: Cho phi m hàm tuy n tính trong không gian D1 (G m các hàm xác
n [x1,x2] liên t c cùng v

o hàm c p 1 c a nó).

x2

N u

v y,

ng h
u ki n biên.

ng h

i d u tích phân ch

o hàm c p cao

x2

F y1 , y2 ,.., yn , y1' , y2 ' ,.., yn ' , y1'' , y2 '' ,.., yn '' ,.., x .dx (1.9)

I
x1

thì s d ng bi n phân b c nh t c a F:
(1.10)
u ki n c n (a) và b ng cách tích phân t ng ph n 2 l n, 3 l
s nh

ch
F
yi

d
dx


Các công th c trên có th m r

ng h p hàm nhi u bi

c

l p x i.
Chú ý r
phi

u ki n c
ng v

t c c tr

các

i v i các bài toán
ng(s th y trong ph n

ti

u ki

.


1.1.3. Bài toán c c tr

u ki n -


yi '

yi

0

(c)

m

V i

F

i

( x).

c g i là phi m hàm Lagrange m r ng.

j

j 1

Các hàm

i

c g i là th a s Lagrange. N u bài toán có nghi m thì

x0

F y, y ' , x dx ; y ( x0 )

a , y( x1 ) b


Không ph
phân

ng cong có th nh n b t k trong m t bài toán bi n

c, mà ch xét các giá tr c a phi

ng gãy khúc

thi t l p t
là: x0

x,

, ..., x0

n 1 x.

x1 x0
n

x



1

t c c tr , t c

0
yn

0.

Sau

1

a hàm F, ta s nh
thu n ti

c tính g

bài toán

y1 , y2 ,..., yn

.

Trong ph m vi c a m t s

hàm I

ng g p

yk

yk

1

x

n

b ng t ng tích phân

F xi , yi ,
i 1

).dx
yi
. x.
xi

V

i v i phi m hàm
I

ng h

ng g

x1

yi

yi

1

x

x và

(i = 1,2,.., n - 1) có d ng:

( i =1,2,..,(n-1) )

Hay là:

Fy xi , yi ,

Hay:

Fy ' xi , yi ,

yi
x

yi
x

Fy ' xi 1 , yi 1 ,
x


u ki n c

, có

n c a c c tr trong các bài toán bi n phân

khác.
N u không th c hi n quá trình quá gi i h n thì t h
có th
ng g p khúc là nghi m g

c n tìm y1 , y2 ,..., yn

yi
1

a bài toán bi n phân.
uh

mang tên ông

a phép tính bi n phân ).

0

c


1.2.

nh

c g i là ph n t . Vi

c th c hi

t n i chúng l i v

i v i m i ph n t , sau

c toàn b công trình.
u h n, tr ng thái c a công trình (ví d

chuy n v c a d m, t

c tính t i m

thái công trình t

mc

m n m gi a các nút c

c tính b ng

cách n i suy tuy n tính. T cách nhìn này th
PTHH so v

Do v


t d ng hình h c (ví d d m cong, v
trình và t
hàm n

u ki n t

c dùng v a
v

mô

a công trình cho phép d dàng l p

ng hóa quá trình tính toán (ph n t h u h n dùng
c g i là ph n t

element). Các hàm n i suy vi t theo t
.

ng thông s , (Isoparametric finite
t

nhiên do B.Irons và


c ph n t nh , tr ng thái (ví d chuy n v c a d m, t

a

m trong m i ph n t khác nhau ít cho nên các hàm n


nút nên l c tác d ng trong ph n t

u ph i quy v các

l c t p trung tác d ng t i nút.
Hàm n

c ch n sao cho k t qu tính là
i bé c

u ki n biên ho

nh: k t qu là duy nh t,

u ki

ik t

qu tính.
D a vào hàm n i suy có th
v c a m i ph n t
ma tr

ng ng su
tl

c ng ph n t xây d

c ma tr


t ngang),
Gi i h
gi i. N

iv

n bi n

c nút.
nh (2.1) ta có th
i r là nghi m c a bài toán thì

n trong
.


tài này tác gi

gi i các

bài toán.
2.1.1. Hàm n i suy c a ph n t
Hàm n i suy chuy n v và góc xoay t

u ph n t

Trong khi tính d m ta có th s d ng ph n t ch u u

W,1


là các hàm n i suy c

nh. Ta vi t

c b c 3,

ma tr

i d ng

c vi
(2.3a)

Bây gi ta tìm m i liên h gi a

và

Thay x=-1 vào (2.3a) ta có
(a)
Thay x=1 vào (3.3a) ta có
(b)
L

o hàm (3.3) theo x ta có


(2.3b)
Thay x=-1 vào (2.3b) ta có
(c)

t

u ph n t thì

m b t k trong ph n t

cb c

(2.5)


2.1.2. Ma tr

c ng c a ph n t

ng h p không xét bi n d
ng h p không xét

t ngang
ng c a bi n d

t có hai chuy n v nút W1, W2, và hai góc xoay
s (4 n) c

t ngang, m i ph n
t ng c ng có b n thông

nh.

G

t

c a ph n

c tr Gauss ta vi

c ma tr

c ng ph n
ng b

iv i

(2.10)
là các bi u th c ch a các n
(2.10

u ki n d ng c a

c vi t l

hay

(2.11)


h s

là h s



c ng ph n t

.

2.1.3. Ma tr n
Bi
tr

c ng t ng th
c ma tr

c ng toàn h

là ma tr

c ma tr n

c ng ph n [K]e t thì d dàng xây d

c ma

. Gi s thanh ch có m t ph n t thì ma tr n

chính

c ng t ng th c a thanh. Gi s chuy n v t i nút (1) b ng không

thì ta b dòng 1, c t 1 c a ma tr n


n chuy n v nút

g m các thành ph n x p theo th t

chuy n v nút c a toàn b k t c
h

n x p theo th t

c nút

và ma tr

c ng toàn

ng v i chuy n v nút.


và

c l p t các ma tr

ph n t trong k t c u

h t

c ng

và l c nút



c a t ng ph n
c a toàn k t c u,
và

vào

và

mã có n i dung

M i chuy n v nút và l
- S mã c c b : là s mã t

.

n v nút

t nói chung khác v i th t

t

c ng ph n t

c dùng hai s

t tên:

n m (m là t ng s chuy n v nút c a m i ph n



x p tr c a thành ph n
l c
t

ng v i m t s mã c c b c a chuy n

và

trí trong ma tr n

c a toàn k t c u. Các thành ph n trong ma tr
c x p vào cùng m t v trí c a ma tr n toàn h

Ph n ví d minh h

c trình bày thông qua các ví d

c ng c a t ng ph n
c c ng l i v i nhau.
ph n sau.


2.1

u ki n ngo i l c
võng c a ph n t

lên ph n t
2.1