B
TR

NG

GIÁO D C VÀ ÀO T O
I H C DÂN L P H I PHÒNG
-----------------------------

PH M

NT
I V I BÀI TOÁN D M

H UH N

CÓ XÉT BI N D NG

T NGANG CH U T I TR NG T P TRUNG

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU N V N TH C S K THU T

NG D N KHOA H C

TS.

N



trình h c t p, nghiên c u hoàn thành lu n

i h c Dân l p H i phòng

tác gi trong su t quá

.

Tác gi xin chân thành c

lu n

sâu s c nh t

c, các chuyên gia trong và ngoài
u ki

, quan tâm góp ý cho b n

c hoàn thi
Tác gi xin trân tr ng c

ào t

i h c và

nghi
thành lu n



Tuy nhi


Trong

xây

.

1.

2. Trình bày

- Bernoulli

ngang
3.
, ch
4.

.


1.
NG
VÀ GI
Tr

CK TC U


1.

ng phân t
c xây d ng tr c ti p t vi

ki n cân b ng l c c a phân t

u

c tách ra kh i k t c u. Trong s c b n v t li u khi

nghiên c u d m ch u u n ngang s d ng các gi thi t sau:
- Tr c d m không b bi n d ng nên không có ng su t.
- M t c t th ng góc v i tr c d m sau khi bi n d ng v n ph ng và th ng góc v i tr c
d m (gi thi t Euler Bernoulli).
- Không xét l c nén gi a các th theo chi u cao c a d m
V i gi thi t th ba thì ch có ng su
lên phân t d m (hình 1.3), ng su
nh t d n

x và
z

các ng su t ti

xz

zx tác


l h/l

cao z so v i tr c d m b ng
u

TTH

Bi n d ng và ng su
Hình 1.2. Phân t d m


d2y
d2y
Ez 2
z 2 ; xx
x
dx
dx
Momen tác d ng lên tr c d m:

d2y
Ebz
dz
dx 2

h/2

Ebh3 d 2 y
12 dx 2



cg i

n trình bày,

ng

h p d m có ti t diên ch nh t.
Cách tính n i l c momen

n bi n d

ti p gây ra. T ng các ng su t ti

zx trên

t do các ng su t

m t c t s cho ta l c c t Q tác d ng lên

tr c d m:
Bi u th c c a ng su t ti

zx

trong tích phân trên s trình bày sau.

Nh các gi thi t nêu trên, thay cho tr ng thái ng su t trong d m, ta ch c n nghiên
c



dM
dx

m O2, b qua các vô cùng bé b c cao ta có

Q

0

(1.8)


L y t ng hình chi u các l c lên tr c th

dQ
dx

q

ng:

0

(1.9)

8

gi a momen u n và l c c


d4y
dx 4

11
b c ba c

(1.11)

q

c gi i v

u ki n), hai

u ki n biên c

u ki n biên t i m

n

u cu i thanh.

u ki
a) Liên k t kh p t i x=0:
, momen u n M

Chuy n v b ng không,

d2y
0 , suy ra


tìm hi u s phân b

ng su t ti

ng ng su t trên tr

zx

trên chi u dày h c a d

c


xx

xz

x

z

0 hay

xz

z

:
Hàm


C x

ng su t ti p phân b trên m t c t d m có d ng
E d3y
4z 2
3
8 dx

xz

h2

c hai. ng su t ti p l n nh t t i tr c d m (z=0) có giá tr b ng
xz z 0

Eh 2 d 3 y
8 dx 3

Tích phân hàm ng su t ti p theo chi u cao d m r i nhân v i chi u r ng b ta có
l c c t Q tác d ng lên ph n trái c a d m
Q

Ebh3 d 3 y
12 dx 3

ng su t ti p trung bình trên chi u cao d m b ng:
T l

gi a


m th

ng l c, ph thu c vào chuy n v
ng. Các l c ngoài tác d
n

ng l c là l c có

là l c không th .

i
(1.12)
ng ph i b ng không


(1.14)
Th

bi u th qua ng su t và n i l

bi u th qua

chuy n v và bi n d ng. Vì v y ta có hai nguyên lý bi
Nguyên lý th

ng sau:

n d ng c c ti u
c bi u th qua ng su t ho c n i l


bài toán c c tr có ràng bu c. B ng cách dùng th a s Lagrange

bài toán

không ràng bu c sau:

là th a s
phi m hàm (1.17) ta nh

n c a bài toán. Theo phép tính bi n phân t
Lagrange).


có th nguyên là chuy n v

1.18) bi u th quan h gi a M

và chuy n v . Th (1.18) vào (1.19) ta có

võng c a d

1.20

d m vi t theo chuy n v nh

c

Nguyên lý công bù c



th

V i ràng bu
L y ví d

i.

nd
gi a chuy n v và bi n d ng.

i v i d m ch u u n, ta có
2

V i ràng bu c:

là bi n d ng u

cong c

võng. Tích phân th nh t trong

(1.21) là công toàn ph n c a ngo i l c (không có h s ½), tích phân th hai là th
n d ng bi u th qua bi n d ng u n.
Thay t (1.22) vào (1.21), ta có


Thay d u c a (1.23) ta có

Khi y có giá tr

0,

0,

Z

0,

(1.26)

Z

X U

mãn các

Y

Y V

Z W

0,

(1.27)


x

x

u
;
x

l

qy dx 0 hay
0

Z W

ZW

1 d2y
2 dx 2

0,

0

(1.28)

(1.29)

2

qy dx 0

(1.30)



qi

i

i

là l

i

i
i

1 2
my i dx
i 1 2
n

T

2

yi
x2

1
EJ
1 2


2

T
yi

t
T
yi

t

mi yi

yi
t2

mi

mi yi

(1.35)

0

i

x

2


2

y

x2

i 1

y
1
EJ i 1
2
y
1
EJ i
2

2 yi
x2
2

y
1
EJ i
2

yi

2 yi 1
x2


4 yi 1

2 yi 1

yi

6 yi 4 yi 1
x4

2 yi 1
x4

2

yi

2

yi

EJ

yi

2 yi 1

i
4



y

t

2

4

EJ

y

x4

(1.39)

q
d4y
EJ 4
dx

q

(1.40)

-

-



2.1. Lý thuy t d m Euler Bernoulli
D m ch u u n là c u ki
c ti t di n nh
u l n so v i chi u
dài c a nó, trên m t c t ngang d m t n t i hai thành ph n n i l c là mômen u n M và
l c c t Q. T i tr ng tác d ng lên d m n m trong m t ph ng có ch
ng trung bình
c a d m và th ng góc v i tr c d
ng h p d m ch u u n
thu n túy ph ng và u n ngang ph ng.
2.1.1. D m ch u u n thu n túy ph ng
D m ch u u n thu n túy ph ng là d m mà trên m i m t c t ngang d m ch có
m t thành ph n n i l c là mômen u n n m trong m t ph ng quán tính chính trung
tâm.
ng su t trên m t c t ngang
Gi s d m có m t c t ngang hình ch nh t (bxh) ch u u n thu
3.1a. Ta ti n hành thí nghi m sau:
c khi d m ch u l c ta v ch lên
m t ngoài d m nh
ng th ng song
song và vuông góc v i tr c d m t o nên
nh ng ô vuông, hình 2.1a. Sau khi d m
bi n d ng, hình 2.1c, ta th y r ng nh ng
ng song song v i tr c d m tr thành
nh
ng cong, nh
ng th ng
vuông góc v i tr c d m v n th ng và
vuông góc v i tr c d m. T

ng cong. Vì chuy n v c a các
m trên m t c t ngang c a d m là bé, nên
ta coi r ng hình dáng m t c t ngang d m
i sau khi bi n d ng.

ng trung hòa c a m t c
trùng v
ng trung hòa.
Xét bi n d ng c
n d m dz
c c t ra kh i d m b ng hai m t c t 1-1
và 2-2. Sau bi n d ng hai m t c t này làm
v i nhau m t góc

và th trung hòa có

bán kính cong là

(hình 2.3). Theo tính

Hình 2.2. M t c t ngang d m
ng th ng và gi s l y tr c ox

ch t c a th trung hòa ta có:
Hình 3.3. Hai m t c t sau khi u n


(2.1)
Ta xét bi n d ng c a th ab cách th trung hòa m t kho ng là y, ta có:
(2.2)

(2.6)
Thay (2.4) vào (2

c
(2.7)

c quán tính chính trung tâm. Vì y là tr
i x ng nên
suy ra oxy là tr c quán tính chính trung tâm c a m t c t ngang. Thay (2.4) vào (2.6)
c:
(2.8)


Suy ra:

(2.9)
c ng c a d m khi u n. Thay (3.9) vào (3.4) ta có:
(2.10)

T công th c (2.10) ta có các nh n xét:
-

Lu t phân b c a

trên m t c t ngang d m là b c nh

i v i y.

-


lên m t ngoài d m nh
ng
th ng song song và vuông góc v i
tr c d m t o. Sau khi d m bi n d ng
ta th y r ng nh
ng th ng song
song v i tr c d m tr thành nh ng
n còn song song
v i tr c d m, nh
ng th ng
vuông góc v i tr c d m không còn
th ng và vuông góc v i tr c d m n a
hình 2.5c.
Hình 2.5. D m ch u u n ngang ph ng


ng t m t c t ngang d m sau bi n d ng b
ut
mA
b t k c a d m ta tách ra m t phân t b ng các m t song song v i các m t t
thì
sau khi bi n d ng các góc vuông c a phân t không còn vuông n
có bi n d ng góc. Suy ra trên các m t phân t s có ng su t ti p.
Trong lý thuy
c r ng trên các m t c a
phân t có các ng su t sau:
c t
cho th y r ng ng su t pháp

r t bé

không phù h p n a. Tuy nhiên trong lý thuy t
cr

có th dùng công th c (2

tính ng su t

i v i d m ch u u n ngang ph ng ta v n
mà sai s không l n l m.

b.
ng su t ti p trên m t c t ngang d m ch u u n ngang ph ng (công th c
Durapski):
Gi s có d m m t c t ngang là hình ch nh t h p (b

ng th i:

y ng su t ti p c
y và tr s b
tính

ng th ng BC qua A ch
ng su t ti p trên BC phân b

ta c t m

uv

là

.

n d m dz b ng hai m t c t 1-1 và 2-2, hình 2.8.
t

n d m dz
b ng m t m t ph
mA
song song v i tr c Z. M t ph ng
n d m dz ra làm hai
ph n. N u g i BC = bc và dt
(BCEF)=Fc thì t
u ki n cân
b ng c


uc a
c.

Lu t phân b

cùng chi u v i tr c z,

và

(2.12) còn d u c

m c n tính ng su t A.
u ki n cân

y
nh t bi

ng su t ti p

cùng chi u v i

c n tính tr s c a

l cc t

theo

.