TR

B GIÁO D C VÀ ÀO T O
NG
I H C DÂN L P H I PHÒNG

-----------------------------

NGUY N M NH HÙNG

TÍNH TOÁN KHUNG PH NG CH U U N
N BI N D

T NGANG

Chuyên ngành: K thu t Xây d ng Công trình Dân d ng & Công nghi p
Mã s : 60.58.02.08

LU N V N TH C S K THU T

NG D N KHOA H C

H i Phòng, 2017


L
Tên tôi là: Nguy n M nh Hùng
Sinh ngày: 23/10/1981
N i công tác: Công ty C ph n s n xu t và th

ng m i H Long

c, các chuyên gia trong

i h c Dân l p H
góp ý cho b n lu

u ki

c hoàn thi

Tác gi xin trân tr ng c
ih
ng nghi

, quan tâm

, giáo viên c a Khoa xây d ng,
ih c-

u ki n thu n l

i h c Dân l p H i phòng, và
tác gi trong quá trình

nghiên c u và hoàn thành lu
H
Tác gi

Nguy n M nh Hùng



.................................... 14
................................................................................... 15
......................................................................... 15
.................................. 16
.............................................................. 16
............................................................. 17
......................................... 17
LÝ THUY T D

N BI N D

T

NGANG .......................................................................................................... 18
2.1. Lý thuy t d m Euler Bernoulli ........................................................... 18
2.1.1. D m ch u u n thu n túy ph ng........................................................... 18
2.1.2. D m ch u u n ngang ph ng................................................................ 22


2.2. Lý thuy t d m có xét bi n d

t ngang ........................................... 30

................................................................... 36
3.1. Bài toán khung có xét bi n d

t ngang - L i gi i bán gi i tích ..... 36

3.2. Các ví d tính toán khung...................................................................... 37
.................................................................................................... 53


2.

3. Tính toán khung

4.

ngang


1.
PHÁP XÂY D NG VÀ GI I
CK TC U
Tr

trình

n th

xây d ng

c nói chung; gi i thi

ck tc u

ng dùng hi n nay.
1.1.

ng
B n

d ng lên phân t d m (hình 1.3), ng su
ba và th nh t d

zb

xz

zx tác

ng không. Hai gi thi t th

n tr c d m ch có chuy n v th

g

c

i c a d m. Gi thi t th nh t xem chi u

dài tr c d m khôn
chi u cao d m, ymax / h

i khi b

võng c a d m là nh so v i

1/5. V i gi thi t th hai thì bi n d

su t ti


d2y
z 2 ; xx
Ez 2
x
dx
dx
Momen tác d ng lên tr c d m:

d2y
dz
dx 2

h/2

Ebz 2

M
h/2

hay

M

EJ

EJ

Ebh3 d 2 y
12 dx 2


t do các

m t c t s cho ta l c c t Q

h/2

tác d ng lên tr c d m:

Q

zx

dz

h/2

Bi u th c c a ng su t ti

zx

trong tích phân trên s trình bày sau.

Nh các gi thi t nêu trên, thay cho tr ng thái ng su t trong d m, ta ch c n
nghiên c

cân b ng c a các n i l c M và Q tác d ng lên tr c

d m.
Xét phân t dx c a tr c d m ch u tác d ng c a các l c M,Q và ngo i l c phân
b q, hình 1.3. Chi

iv

Q

m O2, b qua các vô cùng bé b c cao ta có

0

(1.8)

L y t ng hình chi u các l c lên tr c th

dQ
q
dx

ng:

0

(1.9)
8) là

gi a momen u n và l c c t,

9

ng l c c t Q và ngo i l c phân b q.
u tiên) c


a) Liên k tkh p t i x=0:

c gi i v
u ki

u ki n biên c
u ki n biên t i m

o
u cu i thanh.


, momen u n M

Chuy n v b ng không,

d2y
0 , suy ra
dx 2

0
x 0

b) Liên k t ngàm t i x=0:
Chuy n v b ng không,

, góc xoay b ng không,

dy
dx x

z

ng su t ti

trên chi u dày h c a d m.

ng ng su t trên tr c

0 hay

xz

xx

z

x

:
Hàm

nh t

i d m, z

zx

xz

Ez

xz z 0

Eh 2 d 3 y
8 dx 3

Tích phân hàm ng su t ti p theo chi u cao d m r i nhân v i chi u r ng b ta
cól c c t Q tác d ng lên ph n trái c a d m


Ebh3 d 3 y
12 dx 3

Q

ng su t ti p trung bình trên chi u cao d m b ng:

Eh 2 d 3 y
12 dx 3

tb
xz

T l gi a ng su t ti p max t i tr c d m và ng su
1.1.

ng
ng c
nh theo kh

g m th

qua chuy n v và bi n d ng. Vì v y ta có hai nguyên lý bi

bi u th
ng

sau:
Nguyên lý th

n d ng c c ti u
c bi u th qua ng su t ho c n i l c và
nd

lý th

u th qua ng su t ho c n i l c ta có nguyên

n d ng c c ti u, nguyên lý Castiliano (1847-1884). Nguyên lý

phát bi
Trong t t c các tr ng thái cân b ng l c có th thì tr ng thái cân b ng
th c x y ra khi th

n d ng là c c ti u.


Tr ng thái cân b ng l c có th là tr ng thái mà các l c tác d ng lên phân
t th

ng. Ta vi


gi a M và chuy n v . Th (1.18) vào (1.19) ta có

1.18) bi u th quan h


võng c a d

1.20

b ng c a d m vi t theo chuy n v nh
Nguyên lý công bù c

c

trên.

i

Khi dùng n là các chuy n v và bi n d ng thì có nguyên lý công bù c
Trong t t c các chuy n v
là chuy n v có công bù c
Chuy n v

ng h c có th (kh

n v th c

i.

ng h c có th là chuy n v th


võng. Tích phân th nh t

trong (1.21) là công toàn ph n c a ngo i l c (không có h s ½), tích phân th
hai là th

n d ng bi u th qua bi n d ng u n.

Thay t (1.22) vào (1.21), ta có

Thay d u c a (1.23) ta có


Khi y có giá tr

nh t

u mút d

u ki n c

bi u th c

(1.24) c c ti

1.25

ng c a d m ch u u n.

Nguyên lý công bù c

Z

tr ng thái cân b ng ta có
0,
Y 0,
Z 0, (1.26)

là t ng hình chi u c a t t c các l c tác d ng lên ba tr c c a

các. Ta vi t bi u th c sau:

X U

Y V

Z W

0,

(1.27)

là th a s b t k .
T
vì các

c l i t (1.27) ta s nh

c (1.26) b i

là nh ng th a s b t k . Bây gi ta xem


u
;
x

v
; ...
y

y

v; ...

.
:

X U

XU

Y V

YV

Z W

ZW

0,



q

0

(1.30)


1.1.4.

Lagrange:
a chuy

bi u th qua các t

c

t ng quát(các chuy n v t ng quát).

G i

là th

a h , các qilà các chuy n v t ng

quát và Qilà cá l c t

d
dt


i 1 2
n

T

1
EJ
1 2

n
i

2

yi
x2

(1.32)

2

(1.33)
i

Lagrange


t

T


t2

(1.35)

0

1.5.
yi

i-1, i và i+1,

,

1
EJ
2
1
EJ
2
1
EJ
2

2

y

2


EJ i
2
y
1
EJ i
2

2 yi
x2
2

2 yi 1
x2
2 yi 1
x2

yi

2
1

yi
yi

2

2
2

yi. Ta tính


2

yi

2

yi

yi

EJ

x4

â

EJ

(1.35) và (1.37)

y
m 2i
t

2

m

y

2

i

Lagrange

2

yi

(1.37)

4
i

4

(1.37)

2 yi 1

i

q

(1.39)
d4y
EJ 4
dx



1.

o

1.


1.

1.


2.
LÝ THUY T D

Trong ch

N BI N D

ng này

c tiên trình bàylý thuy t d m

thuy t d m Euler -

ng, lý

i thi u lý thuy t d m có xét bi n d ng


ch có m t thành ph n n i l c là mômen u n n m trong m t ph ng quán tính
chính trung tâm.
ng su t trên m t c t ngang
Gi s d m có m t c t ngang hình ch nh t (bxh) ch u u n thu n túy
n hành thí nghi m sau:


c khi d m ch u l c ta
v ch lên m t ngoài d m nh ng
ng th ng song song và vuông
góc v i tr c d m t o nên nh ng ô
vuông, hình 2.1a. Sau khi d m bi n
d ng, hình 2.1c, ta th y r ng nh ng
ng song song v i tr c d m tr
thành nh

ng cong, nh ng

ng th ng vuông góc v i tr c
d m v n th ng và vuông góc v i
tr c d m. T
Hình 2.1. D m ch u u n thu n túy

gi thi
-

M t c t ngang d

u ph ng và vuông góc v i tr c d m, sau bi n


-

c l p tác d ng
T hình 2.1c, ta nh n th y r ng: khi d m b u n thì các th trên co l i,

các th

i giãn ra. Do v y khi chuy n t th co sang th giãn s có th không

co, không giãn. Th này g i là th trung hòa. T p h p các th trung hòa g i là


l p trung hòa, giao c a l p trung hòa v i m t c t ngang g
N u ta xét m t m t c
d

ng trung hòa.

a d m thì sau khi b u n nó s cho hình

nh 2.2.
ng trung hòa c a m t c t
ngang là m
c

ng cong. Vì chuy n v
m trên m t c t ngang c a

d m là bé, nên ta coi r ng hình dáng
m t c t ngang d

u n
(2.1)

Ta xét bi n d ng c a th ab cách th trung hòa m t kho ng là y, ta có:
(2.2)
T (2.2) ta suy ra:
(2.3)
Xét ng su t t

m b t k A(x,y) trên m t c
c oy là tr

v

ad m

i x ng c a m t c t ngang, tr c ox trùng

ng trung hòa c a m t c t ngang.