SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2017-2018

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
( Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu)

Môn thi: TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1. (5 điểm)

3
sin x  cos x
.
2
cos 2 x
sin x  cos x
x 2  2017 5 1  5 x  2017

a) Giải phương trình 3tan2 x  2cos 2 x 
b) Tính giới hạn L  lim





x 0


b) Tìm x theo a để góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng 450.
Câu 4. (2,5 điểm)
Cho a  1 và dãy số ( xn ) xác định như sau:
x1  a ; xn1  a.xn2  3xn  2018 với n  1, 2,...

Tìm a để lim

xn 1
 2018 .
xn

Câu 5. (2,5 điểm)
Cho các số thực x, y , z thỏa mãn x 4  y 4  z 4  2 x 2 y 2 z 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P  x 2  y 2  z 2  2 xyz .
--------------------------Hết--------------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ………………………………………………Số báo danh: ………………..


ĐÁP ÁN
Câu 1.
cos 2 x  0
ĐK 
 cos 2 x  0
cos x  sin x  0
Khi đó phương trình đã cho trở thành:


 2 x   6  k 2
 x   12  k
1
+) sin 2 x   (thỏa mãn ĐK)  

2
 2 x      k 2
 x  7  k


6
12


x
I = lim

b)

2

 2017  5 1  5 x  2017
x

x 0


2017
 lim  x 5 1  5 x 

 lim
x 0



x0

 1 5x 
4

5

2017(5x)
5

1  5x 

3

2

5.2017
5

1  5 x 

4




 3C2017
 32 C2017
 ....  32016 C2017
 32017 C2017
 (1  3) 2017  4 2017
C  3C  3 C  ....  3 C
3 C
 (1  3)
 2
Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta có
1
0
2
2016
C2017
 32 C2017
 ....  32016 C2017
 42017  22017  22016 22017  1
2
0
2
2
2016
Từ giả thiết suy ra C2017  3 C2017  ....  32016 C2017
 2n (2 n 1  1)
0
2017

1
2017

(1)


2n (2n1  1) = 22016  22017  1 hay n  2016
( x  2) n ( x 2  x  4)  ( x  2) n  2  3 x( x  2) n  ( x  2) 2018  3 x( x  2) 2016
2
Xét khai triển ( x  2) 2018 , số hạng chứa x2016 là C2018
22 x 2016
1
Xét khai triển ( x  2) 2016 , số hạng chứa x2015 là C2016
2 x 2015
2
1
Số hạng chứa x2016 trong khai triển ( x  2) n ( x 2  x  4) là C2018
22 x 2016 - 3 C2016
2 x 2016

2
1
Do đó hệ số cần tìm là : 4C2018
 6C2016

Câu 3.
a) Ta có AC  HM , AC  SH  AC  SN (1)
Từ giả thiết ta có H là trung điểm của MN
Gọi K là trung điểm của AC, ta có HM 
do đó ta có HM  HN  SH 

1
a 3

3a 2  4x 2
3a 2  4x 2

SB  SH 2  HB 2  x 2  a 2

sin  

BP
2 3ax

SB
(4 x 2  3a 2 )( x 2  a 2 )

Theo giả thiết ta có

2 3ax
(4 x 2  3a 2 )( x 2  a 2 )

4 x 4  17 x 2 a 2  3 x 4  0  x 2 
xa



2
 24a 2 x 2  4 x 4  3x 4  7 x 2 a 2
2

17  241 2
a
8

Do đó

a  2018  a  20182

Câu 5.
TH1: Nếu có một số bằng 0, giả sử là z , khi đó ta có x 4  y 4  1

và P  x 2  y 2  x 4  y 4  1 , có “=” khi một số = 0; một số  1 .
TH2: Nếu các số đều khác không.
Từ giả thiết suy ra tồn tại ABC nhọn sao cho:

x 2  cosA; y 2  cosB; z 2  cosC;
P  cosA+cosB+cosC- 2cos A cos B cos C  1  4sin

A
B
C
sin sin  2cos A cos B cos C
2
2
2

A
B
C
sin sin  2 cos A cos B cos C (1)
2
2
2
A

2
2
2
2
C
Bất đẳng thức (2) đúng do tan A  tan B  2 cot và hai bất đẳng thức tương tự
2
1
Có dấu “=” khi tam giác đều  x 2  y 2  z 2  .
2
1
suy ra P  1 , có “=” khi hai số = 0; một số  1 hoặc x 2  y 2  z 2  .
2
Vậy GTNN của P là 1
 tan A.tan B.tan C  cot