CHỦ ĐỀ 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM, KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Vấn đề 1. Tính đơn điệu của hàm số
I. Lý thuyết cần nhớ.
Cho hàm số y = f ( x ) xác định , có đạo hàm trên D (D là một đoạn, một khoảng hoặc nửa khoảng) và đạo hàm chỉ
bằng không tại một số hữu hạn điểm.
-Hàm số f đồng biến trên D ⇔ f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ D.
-Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ D.
II. Các dạng toán thường gặp:

N

a)Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

.V

Bước 1: Tìm TXĐ

AN

Bước 2: Tính y’ và giải phương trình y’ = 0.

Bước 3: Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên để kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

TO

b)Tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng cho trước.
c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình hoặc chứng minh bất đẳng thức.

O

C


Bài 3. Chứng minh rằng:

2
x −1
; c) y = ( x 2 − 2 ) − 1;
x +1

4
1
cos3 x + cos 2 x + > 0, ∀x
3
2

Bài 4. Tìm m để hàm số y = 2 x3 − 3 ( 2m + 1) x 2 + 6m ( m + 1) x + 1 đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) .
Bài 5. Tìm m để hàm số y =
− x3 + 3 x 2 + 3mx − 1 nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞ ) .
Bài 6. Tìm m để hàm số y = 4 x3 + mx 2 + 3 x − 1 đồng biến trên R.
Phần 2. Bài tập trắc nghiệm:


Câu 1. Cho hàm số y  f  x  là hàm số đơn điệu trên khoảng a;b. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. f ' x  0, x  a; b. B. f ' x  0, x  a; b. C. f ' x  0, x  a; b. D. f ' x không đổi dấu trên a; b.
Câu 2. Phát biểu nào sau đây sai về tính đơn điệu của hàm số?
A. Hàm số y  f  x  được gọi là đồng biến trên miền D  x1 , x2  D và x1  x2 , ta có: f  x1   f  x2 .
B. Hàm số y  f  x  được gọi là đồng biến trên miền D  x1 , x2  D và x1  x2 , ta có: f  x1   f  x2 .
C. Nếu f ' x  0, x  a; b thì hàm số f  x đồng biến trên a; b.
D. Hàm số f  x đồng biến trên a; b khi và chỉ khi f ' x  0, x  a; b.

N


C. Hàm số y  f  x  gọi là đồng biến trên a; b khi và chỉ khi f ' x  0, x  a; b.
D. Hàm số y  f  x  gọi là đồng biến trên a; b khi và chỉ khi f ' x  0, x  a; b và f ' x  0 chỉ tại hữu hạn giá
trị x  a; b.
Câu 5. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên khoảng a; b. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y  f  x  gọi là nghịch biến trên a; b khi và chỉ khi f ' x  0, x  a; b.
B. Hàm số y  f  x  gọi là nghịch biến trên a; b khi và chỉ khi f ' x  0, x  a; b.
C. Hàm số y  f  x  gọi là nghịch biến trên a; b khi và chỉ khi f ' x  0, x  a; b.


D. Hàm số y  f  x  gọi là nghịch biến trên a; b khi và chỉ khi f ' x  0, x  a; b và f ' x  0 chỉ tại hữu hạn
giá trị x  a; b.
Câu 6. Nếu hàm số y  f  x  liên tục và đồng biến trên khoảng 1;2 thì hàm số y  f  x  2 luôn đồng biến trên
khoảng nào?
A. 1;2.

B. 1;4.

C. 3;0.

D. 2;4.

Câu 7. Nếu hàm số y  f  x  liên tục và đồng biến trên khoảng 0;2 thì hàm số y  f 2 x luôn đồng biến trên
khoảng nào?
A. 0;2.

B. 0;4.

C. 0;1.



B. y  x 3  3 x 2  3 x  2.

D. y  x3 .

C. y  x 3  3 x  1.

O

A. y  x 3  3 x 2 .

C

Câu 10. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên toàn trục số?

a  b  c  0
B. 
 a  0; b 2  3ac  0


 a  b  0, c  0
 a  b  0, c  0
C. 
D. 
2
 a  0; b  3ac  0
 a  0; b 2  3ac  0





Câu 14. Hàm số y 

m 3
x  2 x 2  m  3 x  m luôn đồng biến trên  thì giá trị m nhỏ nhất là :
3

A. m  4.

B. m  0.

C. m  2.

D. m  3.

D. m  1.

1
Câu 15. Hàm số y   x 3  m 1 x  7 nghịch biến trên  thì điều kiện của m là:
3


A. m  1.
Câu 16. Hàm số y 
A. m  2.

B. m  2.

 m  2
3

.
7

C. m 

12
.
7

D. m tùy ý.

N

B. m 

.V

A. m  0.

A. 1.

9
D. m  .
4

TO

của tập xác định. Nếu x1  x2  6 3 thì giá trị m là:

AN

B. 0; .

D


1
A. ;  .

2

 1

C.  ; .
 2


D. ;0.

Câu 22. Cho hàm số y  2 x 4  4 x 2 . Hãy chọn mệnh đề sai trong bốn phát biểu sau:
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 0;1.
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1; .
C. Trên các khoảng ; 1 và 0;1 , y '  0 nên hàm số nghịch biến.
D. Trên các khoảng 1;0 và 1; , y '  0 nên hàm số đồng biến.
Câu 23. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên  :
A. y  x3  3 x 2  4. B. y  x 3  x 2  2 x 1. C. y  x 4  2 x 2  2.

D. y  x 4  3 x 2  2.


Câu 24. Hàm số y  x 4  2 m 1 x 2  m  2 đồng biến trên 1;3 khi:

C. ;1 và 1; .

D. 1; .

N

A. m  0.

B.Nghịch biến trên .

C. Đồng biến trên từng khoảng xác định.

D. Nghịch biến trên từng khoảng xác định.

AN

.V

A. Đồng biến trên .

Câu 28. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó?

Câu 29. Nếu hàm số y 

x  2
.
x2

m 1 x 1
2x  m


C.  \ 2.

Câu 30. Hàm số y 

x 1
nghịch biến trên khoảng ;2 khi và chỉ khi:
xm

A. m  2.

B. m  2.

D

AY
H

A. ;2.

C.1  m  2.

D. 1;2.

D. 1  m  2.

x 2  mx 1
Câu 31. Hàm số y 
nghịch biến trên các khoảng xác định khi:
1 x


C.1  m  2.

D. m  2.

Câu 34. Cho hàm số y  1 x 2 . Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
A. Hàm số đồng biến trên đoạn 0;1.

B. Hàm số đồng biến trên toàn tập xác định.

C. Hàm số nghịch biến trên đoạn [0;1].

D. Hàm số nghịch biến trên toàn tập xác định.

Câu 35. Cho hàm số y  2 x  x 2 . Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 0;2.

B. 0;1.

D. 1;1.

C. 1;2.

Câu 36. Cho hàm số y  x 3  3 x . Hãy chọn câu đúng:



A. Hàm số có tập xác định D   3;0   3;  .

 

2

D. y  x 2  x  1.

D. y  tan x.

Câu 39. Khẳng định nào sau đây sai?

D

A. Hàm số y  2 x  cos x luôn đồng biến trên .

B. Hàm số y  x3  3 x  1 luôn nghịch biến trên .
C. Hàm số y 

2 x 1
luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
x 1

D. Hàm số y  2 x 4  x 2  1 luôn nghịch biến trên ;0.
Câu 40. (Đề thi thử Thừa Thiên Huế năm 2017) Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số y  x 3  3 x 2 1.
A. 0;2.

B. ;0.

C. 2; .

Câu 41. (Đề tham khảo lần 3 năm 2017 của Bộ) Cho hàm số y 
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1.


Câu 37. Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ?




C. Hàm số đồng biến trên khoảng ; .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; .

Câu 42. (Đề minh họa lần 3 của Bộ năm 2017) Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
y  m 2 1 x 3  m 1 x 2  x  4 nghịch biến trên khoảng ; ?

A. 2.

B. 1.

C. 0.

D. 3.

Câu 43. Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên  ?
B. y  x3  x 2  5 x  9.

A. y  x 2  2017 x  1.

C. y 

2 x 1
.
x 1


C.  ; .
 2


B. 0; .

O

C

A. ;6.

TO

Câu 46. Hàm số y  4 x 4  1 nghịch biến trên khoảng nào?

B. m  0.

cot x  2
đồng biến trên khoảng
cot x  m

C. 1  m  2.

   
 ; .
 4 2 

D. m  2.

.
x2

B. y 

x  2
.
x2

C. y 

x2
.
x  2

D. y 

x2
.
x  2

Câu 50. Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ?
A. y  x 3 .

B. y  tan x.

C. y  x 4  x 2 .

1
D. y  x  .

Câu 23
B
Câu 33
A
Câu 43
D

Câu 4
D
Câu 14
D
Câu 24
B
Câu 34
C
Câu 44
A

Câu 5
D
Câu 15
C
Câu 25
A
Câu 35
C
Câu 45
B

Câu 6

D

Câu 9
A
Câu 19
D
Câu 29
D
Câu 39
C
Câu 49
A

Câu 10
B
Câu 20
D
Câu 30
C
Câu 40
A
Câu 50
A

---Hết---

N

Tài liệu tham khảo: