Đề thi Học sinh giỏi lớp 9
Đề bài
******
(Thời gian làm bài 120 phút - Không kể chép đề)
Bài 1(2 điểm). Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời :
2 2 2
2 1 2 1 2 1 0x y y z z x+ + = + + = + + =
Tính giá trị của biểu thức :
2007 2007 2007
A x y z= + +
.
Bài 2(1,5 điểm). Cho biểu thức :

2 2
5 4 2014M x x y xy y= + + +
.
Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 3(1,5 điểm). Giải hệ phơng trình :
( ) ( )
2 2
18
1 . 1 72
x y x y
x x y y

+ + + =


+ + =



2 1 0
2 1 0
2 1 0
x y
y z
z x

+ + =

+ + =


+ + =

(0,5đ)
Cộng từng vế các đẳng thức ta có :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1 0x x y y z z+ + + + + + + + =
(0,25đ)
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 0x y z + + + + + =
(0,25đ)
1 0
1 0
1 0
x
y
z

2
1 3
2 1 1 2007
2 4
M x y y

= + + + (0,25đ)
Do
( )
2
1 0y
và
( ) ( )
2
1
2 1 0
2
x y

+
,x y
(0,25đ)
2007M



u ; v là nghiệm của phơng trình :
2
1 2
18 72 0 12; 6X X X X + = = =
(0,25đ).
TRờng THCS Lê Đình Kiên GV :
Lê THị Khơng
2
Đề thi Học sinh giỏi lớp 9

12
6
u
v
=


=

;
6
12
u
v
=


=


(0,25đ).
Giải hai hệ trên ta đợc : Nghiệm của hệ là :
(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị. (0,25đ).
Bài 4 . (2,5 điểm)
a.Ta có CA = CM
DB = DM (0,25đ).
Các tia OC và OD là phân giác của hai góc AOM và MOB nên OC

OD
Tam giác COD vuông đỉnh O, OM là đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên :
MO
2
= CM . MD (0,25đ).

R
2
= AC . BD (0,25đ).
b.Các tứ giác ACMO ; BDMO nội tiếp (0,25đ)
ã
ã
ã
ã
;MCO MAO MDO MBO = =
(0,25đ)
( )
.COD AMB g g :V V
(0,25đ)
Do đó :
1
. .

MH
1
= OM

M

O (0,25đ)

M là điểm chính giữa của cung
ằ
AB
(0,25đ).
Bài 5 (1,5 điểm) Ta có :
2 2
1 1
0; 0
2 2
a b


ữ ữ



a , b > 0 (0,25đ)
1 1
0; 0
4 4
a a b b + +
(0,25đ)

o
h
d
c
m
b
a
Đề thi Học sinh giỏi lớp 9
( )
( )
2
2 2
2
a b
a b a b b a
+
+ + +
(0,25đ)
Bài 6. (1 điểm) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp
ABCV

Gọi E là giao điểm của AD và (O)
Ta có:
ABD CED:V V
(g.g)
. .
BD AD
AB ED BD CD
ED CD
= =

e
c
b
a