Header Page 1 of 128.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THANH THÁI

PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT
CHO MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG TRONG MÔ HÌNH
ROESSER TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2018
Footer Page 1 of 128.


Header Page 2 of 128.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THANH THÁI

PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT
CHO MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG TRONG MÔ HÌNH
ROESSER TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 02



LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng:
Số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và
không trùng lặp với các đề tài khác.
Mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các
thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Trần Thanh Thái

Footer Page 4 of 128.


Header Page 5 of 128.

MỤC LỤC
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Một số ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. Sơ bộ về hệ 2-D dạng Roesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.1. Ví dụ về mô hình hệ 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Mô hình Roesser tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Tính ổn định của hệ 2-D tuyến tính trong mô hình Roesser . . . . . . . . . . . 10
Chương 2. Tính ổn định và ổn định hóa của lớp hệ dương 2-D dạng
Roesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1. Hệ dương 2-D dạng Roesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Tính ổn định của hệ dương 2-D tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Thiết kế điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

tải, số cá thể trong một quần thể hay số nơ-ron trong một mạng lưới v.v luôn
nhận giá trị không âm. Các mô hình như thế thường được mô tả bởi các hệ động
lực mà các biến trạng thái của chúng luôn không âm. Nói cách khác, với các
dữ kiện ban đầu không âm (nằm trong nón dương), quỹ đạo nghiệm của các hệ
động lực đó luôn nằm trong nón dương tương ứng. Lớp hệ như vậy được gọi là
các hệ dương [3]. Do các tính chất lý thuyết đặc biệt và những ứng dụng thực
tiễn, lớp hệ dương đã và đang nhận được sự quan tâm đặc biệt của nhiều tác
giả trong vài thập kỉ gần đây. Các kết quả nghiên cứu đã công bố đối với lớp hệ
dương 2-D, đặc biệt các lớp hệ dương có 2-D trễ, vẫn còn khá khiêm tốn. Gần
đây, trong bài báo [8] các tác giả nghiên cứu tính ổn định và ứng dụng trong
thiết kế bộ quan sát cho lớp hệ dương 2-D trong mô hình Roesser tuyến tính có
trễ. Cách tiếp cận chính là dựa trên tính đơn điệu cảm sinh bởi tính dương của
hệ, các điều kiện cần và đủ dạng bài toán quy hoạch tuyến tính được thiết lập

2

Footer Page 6 of 128.


Header Page 7 of 128.

để đảm bảo tính ổn định, sự tồn tại cũng như các điều kiện thiết kế các bộ quan
sát. Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về lớp hệ dương 2-D rời rạc, trong
luận văn này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Phân tích tính ổn định và thiết
kế bộ quan sát cho một số lớp hệ dương trong mô hình Roesser tuyến tính” dựa
trên bài báo [8] và các tài liệu có liên quan.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu tính ổn định và bài toán thiết kế bộ
quan sát dạng Luenberger và bộ quan sát giảm chiều cho một số lớp hệ dương



y(i, j) = C 

 + Ad 




xh (i, j)
xv (i, j)

xh (i −

 + Cd 



 + Bu(i, j),

(0.1)



,

(0.2)

τh , j)



0, φv

0, nếu φh (i, j) ∈

Rn+h và φv (i, j) ∈ Rn+v với mọi (i, j).
a) Đối tượng nghiên cứu là lớp hệ 2-D dạng (0.1) và các dạng đặc biệt của nó,
chẳng hạn lớp hệ không có trễ tương ứng.
b) Phạm vi nghiên cứu bao gồm:
• Đặc trưng tính dương của hệ, tức là tìm các điều kiện đảm bảo rằng với

các dãy ban đầu và điều khiển đầu vào không âm, quỹ đạo trạng thái
tương ứng của hệ luôn không âm.
• Phân tích tính ổn định và ổn định hóa theo điều khiển phản hồi cho lớp

hệ dương dạng (0.1).
• Bài toán thiết kế các bộ quan sát kiểu Luenberger và bộ quan sát giảm

chiều cho lớp hệ dương 2-D có trễ.

5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng phương pháp quy nạp hai thang để đánh giá trạng thái.
Đối với bài toán ổn định, ổn định hóa và thiết kế bộ quan sát, chúng tôi sử dụng
các kết quả trong giải tích ma trận với các ma trận không âm và xây dựng các
điều kiện phân tích và thiết kế thông qua các bài toán dạng quy hoạch tuyến
tính.

4

Footer Page 8 of 128.

[n]

Tập hợp n số tự nhiên đầu tiên, [n] = {1, 2, . . . , n}

Rn

Không gian Euclide n-chiều

x

∞

Chuẩn max của vectơ x = (xi ) ∈ Rn , x

∞

= maxi∈[n] |xi |

x

0

Vectơ x không âm, tức là x = (xi ) ∈ Rn và xi ≥ 0, ∀i ∈ [n]

x

y

nếu x = (xi ) ∈ Rn , y = (yi ) ∈ Rn và xi ≥ yi , ∀i ∈ [n]



I

Ma trận đơn vị

6

Footer Page 10 of 128.


Header Page 11 of 128.

Chương 1
SƠ BỘ VỀ HỆ 2-D DẠNG ROESSER
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu sơ lược về lớp hệ 2-D trong mô hình
Roesser và một số khái niệm liên quan về tính ổn định và đưa ra các định nghĩa
cần thiết bổ trợ cho việc trình bày nội dung các chương sau.

1.1.

Ví dụ về mô hình hệ 2-D
Xét hệ điều khiển mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng cấp 1 sau đây:


 ∂T (x,t) = − ∂T (x,t) − aT (x, t) + bu(x, t),
∂x
∂t
(1.1)

y(x, t) = cT (x, t),


u(i, j) = u(i∆x, j∆t)

∂T (x, t)
T (i, j) − T (i − 1, j)
≈
,
∂x
∆x

∂T (x, t)
T (i, j + 1) − T (i, j)
≈
.
∂t
∆t

Khi đó phương trình (1.1) có thể viết dưới dạng:
T (i, j + 1) =

1−

∆t
∆t
− a∆t T (i, j) +
T (i − 1, j) + b∆tu(i, j).
∆x
∆x

(1.2)




xh (i, j)
xv (i, j)



,

i, j ∈ N.

(1.3)

Hệ (1.3) diễn tả một mô hình hệ 2-D dạng Roesser.


Mặt khác, từ (1.2) ta đặt x(i, j) = 

T (i − 1, j)
T (i, j)

, khi đó (1.2) trở thành

(1.4)

x(i + 1, j + 1) = A1 x(i, j + 1) + A2 x(i + 1, j),

ở đó




.

Hệ (1.4) diễn tả mô hình hệ 2-D trong mô hình Fornasini-Marchesini thứ hai
(FM-II).


Trong hệ (1.3), vectơ trạng thái của hệ được xác định bởi x(i, j) = 



xh (i, j)
xv (i, j)

.

Sự lan truyền thông tin của vectơ xh theo trục i (phương ngang) trong khi sự

lan truyền của vectơ xv theo trục j (phương đứng). Các hệ động lực mà sự lan
truyền thông tin theo hai phương độc lập được gọi chung là các hệ 2-D. Việc
nghiên cứu định tính các hệ 2-D nói chung khó khăn hơn rất nhiều so với các
hệ 1-D tương ứng dạng x(k + 1) = A0 x(k). Một trong những khó khăn cơ bản là
8

Footer Page 12 of 128.


Header Page 13 of 128.







xh (i, j)
xv (i, j)

xh (i, j)
xv (i, j)





+

B1
B2



 u(i, j),

(1.5)



 + Du(i, j),


k=0

Để cho gọn, trong các phần sau ta viết chung là φh , φv ∈ l2 .

9

Footer Page 13 of 128.


Header Page 14 of 128.

1.3.

Tính ổn định của hệ 2-D tuyến tính trong mô hình Roesser
Xét hệ 2-D tuyến tính được mô tả bởi mô hình Roesser sau đây:

 




xh (i + 1, j)
xv (i, j

+ 1)

=

A11 A12


sup

r→∞

x(i, j)

Đa thức đặc trưng của (1.7) được cho bởi

C(z1 , z2 ) = det 

(1.9)

= 0.

i+j=r

Inh − z1 A11

−z1 A12

−z2 A21

Inv − z2 A22



.

Định lí 1.3.1 ( [9]). Hệ (1.7) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi C(z1 , z2 ) = 0 với
mọi (z1 , z2 ) ∈ U , ở đó U = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 | ≤ 1, |z2 | ≤ 1}.

A22 ] thì

từ hệ (1.7) có
xh (i + 1, j) = A1 x(i, j),

xv (i, j + 1) = A2 x(i, j).

Do đó
h
⊤ v
∆V (i, j) = x⊤ (i, j) A⊤
1 P A1 + A2 P A2 x(i, j)

− xh⊤ (i, j)P hxh (i, j) − xv⊤ (i, j)P v xv (i, j)

 
 
⊤
A1 
 A1
= x⊤ (i, j)   P   x(i, j) − x⊤ (i, j)P x(i, j)
A2

A2

= x⊤ (i, j) A⊤
0 P A0 − P x(i, j).

Từ đó suy ra, nếu (1.10) được thỏa mãn thì ∆V (i, j) xác định âm và hệ (1.7) ổn
định tiệm cận.


xh (i, j)
xv (i, j)



 + Bu(i, j),

(2.1)

ở đó, như đã giới thiệu ở Chương 1, xh ∈ Rnh và xv ∈ Rnv là các vectơ trạng thái
theo phương ngang và dọc, u ∈ Rm là điều khiển đầu vào, A ∈ Rn×n (n = nh +nv )
và B ∈ Rn×nu là các ma trận thực cho trước.
Điều kiện đầu của (2.1) được xác định bởi các dãy φh : N0 → Rnh và
φv : N0 → Rnv như sau
xh (0, j) = φh (j), j ∈ N0 ,

2.1.

xv (i, 0) = φv (i), i ∈ N0 .

(2.2)

Hệ dương 2-D dạng Roesser
Trong mục này chúng tôi giới thiệu các điều kiện đặc trưng tính dương của

hệ (2.1).
Định nghĩa 2.1.1. Hệ (2.1) được gọi là hệ dương nếu với mọi điều kiện đầu
φh


và B ∈ Rn×m
.
+
+
Chú ý 2.1.1. Mệnh đề 2.1.1 có thể chứng minh dựa trên các biễu diễn nghiệm
kiểu chuỗi kép trong [10]. Tuy nhiên, ở đây chúng tôi trình bày một chứng minh
kiểu quy nạp hai thang trên N20 .
Chứng minh. Điều kiện cần: Nếu B có ít nhất một phần tử âm, giả sử bij < 0
thì với φh = φv = 0, u = ej là vectơ đơn vị chính tắc thứ j của Rm , quỹ đạo
nghiệm tương ứng x(i, j) không thỏa mãn x(i, j)

0 với mọi i, j . Tương tự, nếu

ma trận A có ít nhất một phần tử âm, khi đó ta có thể chọn các dãy ban đầu
φh

0, φv

chứng tỏ A

0 và u(i, j) = 0 sao cho x(i, j)
0 và B

0 với mọi i, j ∈ N0 . Mâu thuẫn đó

0.

Điều kiện đủ: Giả sử A ∈ Rn×n
và B ∈ Rn×m
. Ta sẽ chứng minh với φh

0, ở đó

Jv = 0nh ×nv Inv . Do đó khẳng định đúng với q = 1.

Bây giờ ta giả sử khẳng định đã được chứng minh cho Γp với 1 ≤ p ≤ q . Ta
chứng minh khẳng định trên cũng đúng với Γq+1 . Thật vậy, với bất kì (i, j) ∈ Γq+1
ta có (i, j) = (is + 1, j) = (i, js + 1), ở đó is = i − 1 và js = j − 1. Chú ý thêm rằng
13

Footer Page 17 of 128.


Header Page 18 of 128.
(is , j) ∈ Γq và (i, js ) ∈ Γq . Do đó,

tức là x(i, j)

xh (i, j) = Jh Ax(is , j) + Bu(is , j)

0,

xv (i, j) = Jv Ax(i, js ) + Bu(i, js )

0,

0 trên Γq+1 . Vì N20 =

∞
q=0 Γq ,


(2.4)

 = Ac x(i, j),

Bài toán ổn định hóa chúng tôi nghiên cứu ở đây là thiết kế điều khiển
(2.3) sao cho hệ đóng (2.4) là hệ dương ổn định tiệm cận.
 
φ

h
Để đơn giản, dưới đây chúng tôi ký kiệu φ =   ứng với điều kiện đầu

φv

(2.2) và x(i, j, φ) là nghiệm tương ứng (2.4).

Mệnh đề 2.2.1. Giả sử hệ đóng (2.4) là hệ dương. Khi đó, với bất kì điều kiện
đầu φ cho bởi (2.2),
|x(i, j, φ)| ≤ x(i, j, |φ|)

đúng với mọi (i, j) ∈ N20 .
Chứng minh. Do giả thiết hệ (2.4) là hệ dương nên Ac




Footer Page 18 of 128.

xh (i + 1, j)
xv (i, j

vectơ η ∈ Rn , η ≻ 0, thỏa mãn điều kiện
(2.6)

η ⊤ Ac − η ⊤ ≺ 0.

Chứng minh. Điều kiện cần được chứng minh tương tự Định lí 1 trong [7]. Bây
giờ ta chứng minh điều kiện
 đủ. Giả sử x(i, j) là nghiệm bất kì của (2.4) với điều
kiện đầu φ

ηh
0 và η =   ∈ Rn là một vectơ dương thỏa mãn (2.6). Ta xét
ηv

hàm Lyapunov 2-D sau đây

V (x(i, j)) = ηh⊤ xh (i, j) + ηv⊤ xv (i, j) .

(2.7)

Vv (i,j)

Vh (i,j)

Sai phân của V = V (x(i, j)) được cho bởi
∆V = Vh (i + 1, j) − Vh (i, j) + Vv (i, j + 1) − Vv (i, j)
= ηh⊤ xh (i + 1, j) − xh (i, j) + ηv⊤ xv (i, j + 1) − xv (i, j)




Header Page 20 of 128.

ta được
∆V ≤ −ǫη ⊤ x(i, j) = −ǫV (x(i, j))

(2.9)

≤ −ǫηmin 1⊤
n x(i, j).

Lấy tổng hai vế (2.9) theo i từ 0 đến T1 và theo j từ 0 đến T2 ta được
T1

T2

T2

1⊤
n x(i, j)

ǫηmin

T1

≤−

i=0 j=0

Vh (i + 1, j) − Vh (i, j)
j=0 i=0


(2.10)

k=0

Cho T1 , T2 → ∞ ta được
∞

1⊤
n x(i, j)
i,j=0

Từ đó suy ra limr→∞ sup{ x(i, j)

ηmax
≤
ǫηmin
1

∞

φ(k)

1

< ∞.

i,j=0

: i + j = r} = 0. Do vậy hệ đóng (2.4) là ổn

Với điều kiện (2.11), hệ (2.4) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tồn tại
vectơ dương ν ∈ Rn , ν ≻ 0, thỏa mãn điều kiện (2.11). Chú ý thêm rằng với mọi
ν ∈ Rn ta có
ν = Dν 1 n ,

ở đó Dν = diag{ν1 , ν2 , . . . , νn } là ma trận chéo gồm các phần tử sinh bởi vectơ ν .
Ta xét phép biến đổi
KDν = Z ∈ Rm×n .

Khi đó, (2.11) trở thành
(2.13)

Aν + BZ1n − ν ≺ 0.

Mặt khác, điều kiện (2.12) tương đương với
ADν + BZ

(2.14)

0.

Kết hợp (2.13), (2.14) ta có kết quả sau.
Định lí 2.3.1. Giả sử (2.1) là hệ dương. Khi đó, tồn tại điều khiển phản hồi
(2.3) sao cho hệ đóng (2.4) là hệ dương ổn định khi và chỉ khi bài toán quy hoạch
tuyến tính sau đây có nghiệm ν ∈ Rn , ν ≻ 0 và Z ∈ Rm×n :


Aν + BZ1n − ν ≺ 0

ADν + BZ

.

Theo Mệnh đề 2.1.1, hệ (2.1) là hệ dương. Mặt khác, rõ ràng hệ bất phương
trình



A⊤ η − η = 

Footer Page 21 of 128.

−0.2η1 + 0.3η2
0.1η1 − 0.1η2
17



≺0


Header Page 22 of 128.

 
η

1
không có nghiệm η =   ≻ 0, tức là điều kiện (2.6) không thỏa mãn. Do đó,

η2


15

x v (i,j)

10

5

0
100
100

j

50

50
0
(b)

i

0
xv (i, j)

Hình 2.1: Một quỹ đạo nghiệm của hệ mở của (2.1)

Bây giờ ta áp dụng Định lí 2.3.1 để thiết kế điều khiển phản hồi dạng (2.3)
sao cho hệ đóng (2.4) là hệ dương ổn định. Sử dụng gói công cụ LinProg trong
18


1



0.3932

,

0.8854

1
− 
1

Z⊤

1
2 
1

Rõ ràng với các nghiệm ν và Z cho bởi (2.16) ta có



Aν + BZ12 − ν = 

−0.1323

−0.1128

19

Footer Page 23 of 128.


Header Page 24 of 128.

0.3

x h (i,j)

0.2

0.1

0
100
100

j

50

50
0

i

0


Chương 2 của luận văn này nghiên cứu về tính ổn định và ổn định hóa
bằng điều khiển phản hồi trạng thái đối với lớp hệ dương 2-D dạng Roesser. Các
kết quả chính đã được trình bày bao gồm:
1. Đặc trưng tính dương (tính bất biến của orthant dương) của hệ 2-D tuyến
20

Footer Page 24 of 128.


Header Page 25 of 128.

tính mô tả bởi mô hình Roesser (Mệnh đề 2.1.1).
2. Đưa ra một điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ đóng (Định lí 2.2.1).
Điều kiện này được thiết lập dưới dạng một bài toán quy hoạch tuyến tính,
giúp cho việc kiểm chứng điều kiện ổn định có thể thực hiện bằng nhiều
công cụ tính toán hiệu quả sẵn có.
3. Dựa trên điều kiện ổn định đưa ra trong Định lí 2.2.1, các điều kiện cần và
đủ để thiết kế một lớp điều khiển phản hồi sao cho hệ đóng tương ứng là
hệ dương ổn định cũng được thiết lập thông qua một bài toán quy hoạch
tuyến tính (Định lí 2.3.1).
Một ví dụ số cũng được chúng tôi trình bày ở cuối chương nhằm minh họa cho
tính hiệu quả của các điều kiện thiết kế điều khiển đã trình bày.

21

Footer Page 25 of 128.