SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …………..
TRƯỜNG THPT ……………….

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Người thực hiện: ……………………
Đơn vị: Trường THPT …………..


A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình giảng dạy hình học không gian khối 12, tôi thấy đa phần học sinh rất
lúng túng, kỹ năng giải toán hình không gian còn yếu. Bên cạnh đó bài tập sách giáo khoa
của chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 đưa ra chưa được cân đối,
rất ít bài tập cơ bản, đa phần là bài tập khó, đặc biệt quá khó đối với học sinh yếu dẫn đến
học sinh có tư tưởng nản và không học. Đặc biệt, với học sinh trường THPT Văn Quán có
xuất phát điểm rất thấp nên hầu hết các em rất yếu các môn tự nhiên. Riêng môn Toán, các
em có tâm lý “sợ” câu hình học không gian trong các đề thi. Tôi viết chuyên đề này với
mục đích giúp các em học sinh lớp 12 hệ thống lại các kiến thức cơ bản và hình thành các
phương pháp, kỹ năng giải quyết các bài toán về khối đa diện.
2. Đối tượng áp dụng:
Học sinh lớp 12 chuẩn bị thi THPT Quốc gia.
3. Thời gian dự kiến:
04 tiết dạy chuyên đề + 04 tiết tự học.
B. NỘI DUNG
I. Kiến thức cơ bản:
1)


sin B =
e)
2)

vuông ở A ta có :

H

B

AC
CB
AC
, cosB =
, tan B =
AB
AB
CB

Công thức tính diện tích tam giác :
Đặc biệt :

∆ABC

S=

vuông ở A :

1
AB. AC

+, Xác định hình chiếu d của a trên mặt phẳng

α

:

α

+ , Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa d và
8) Lưu ý về công thức tỉ số thể tích
Cho hình chóp S.ABC,

S

A'

A ' ∈ SA, B ' ∈ SB , C ' ∈ SC

VSA' B ' C ' SA ' SB ' SC '
=
.
.
VSABC
SA SB SC

a

B'

, ta có:

của khối đa diện.
Phương pháp:
1)

+ Xác định đáy hợp lý và dựng được chiều cao khối đa diện.
+ Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào công thức.
Để xác định đường cao ta lưu ý
•
Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.
•
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn
ngoại tiếp mặt đáy.
•
Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao
chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy.
•
Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến
của mặt phẳng đó và đáy.
•
Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giao tuyến
của hai mặt phẳng đó
Để tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý
•
Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông.
3


•

Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định

1
V = S ABCD .SA
3

S ABCD = (2a ) 2 = 4a 2

∆SAC có : SA = AC tan C = 2a 6

1 2
8a 3 6
⇒ V = 4a .2a 6 =
3
3

Yêu cầu:
+ Học sinh xác định được góc.
+ Xác định được công thức thể tích của
khối, tính độ dài đường cao SA.
+Xác định được đường cao trong
trường hợp chân đường cao có thể
không thuộc mặt đáy của khối.
+Sử dụng được hệ thức trong tam giác
MH / / SA ⇒ MH ⊥ ( DBC )
b)
Kẻ
vuông
MH =

Ta có:
⇒ VMBCD

a) Gọi O là tâm của

∆ABC ⇒ DO ⊥ ( ABC )

1
V = S ABC .DO
3
S ABC

D

+
+

M

a2 3
=
4

,

2
a 3
OC = CI =
3
3

∆DOC vuông có : DO = DC 2 − OC 2
=


1
a 6
DO =
2
3

+Xác định được đường cao và thể tích
của khối
+Sử dụng thành thạo định lý Pitago
Nhận xét:
+ Học sinh đa phần quên tứ diện đều và tính chất các mặt, các cạnh của nó.
+ Còn yếu trong tính toán độ dài của các yếu tố có trong hình vẽ.
+ Bài tập này là bài 1/25 sgk cơ bản lớp 12 bổ sung thêm câu b.

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
điểm của AC và BD.
a)

AB = a 3

, AD = a, AA’=a, O là giao

Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’.
5


b)
c)



.

* Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và đường
cao giống khối hộp nên:
1
a3 3
⇒ VOA ' B ' C ' D ' = V =
3
3

Yêu cầu:

b) M là trung điểm BC

⇒ OM ⊥ ( BB ' C ')

1
1 a 2 a 3 a3 3
+Học sinh xác định công thức thể ⇒ VO BB 'C ' = S BB 'C '.OM = . .
=
3
3 2 2
12
tích của khối hộp và khối chóp.

+Biết khai thác tính chất của hình hộp c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ diện
đứng để làm bài: Chọn đáy của khối
3V
C ' H = OBB ' C '

B

Hình lập phương được chia thành: khối
ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC,
D’ACD, AB’A’D’.

D

C

A'

B'

C'

D'

+ Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD,
AB’A’D’ có diện tích và chiều cao bằng nhau
nên có cùng thể tích.
Khối CB’D’C’ có

1 1
1
V1 = . a 2 .a = a 3
3 2
6

+ Khối lập phương có thể tích:

C

Gọi I là trung điểm AB, Ta có:

F

I

a) Khối A’B’ BC:

1
VA ' B ' BC = S A ' B ' B .CI
3

B

1 a 2 a 3 a3 3
=
.
=
3 2 2
12
C'

A'
J
B'

b) Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và
CFA’B’.

+ Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối
+ Tương tự cho khối CFA’B’
A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ nên

1
VA ' B ' CF = SCFB' . A ' J
3
SCFB'

1
a2
= SCBB ' =
2
4

⇒ VA ' B ' CF

1 a 2 a 3 a3 3
=
=
3 4 2
24

VCA'B'FE
+ Vậy :

a3 3
=
16


Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
α
Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng qua AG và song song với BC cắt
SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Lời giải:
S

a)Ta có:
N

+

G
A

C

M
I

+

SA = a
∆ABC cân có : AC = a 2 ⇒ AB = a

B

⇒ S ABC =

Vậy:

⇒

MN// BC

⇒

SM SN SG 2
=
=
=
SB SC SI 3

⇒

VSAMN SM SN 4
=
.
=
VSABC
SB SC 9

VSAMN

Vậy:

SG 2
=
SI 3

4


E

I

C
F

b)

O
A

.

Ta có (AEMF) //BD

M

B

I = SO ∩ AM

D

+

+

S ABCD = a 2


a 6
2

a3 6
=
6

:

Xét khối chóp S.AMF và S.ACD
⇒

Ta có :
∆SAC

có trọng tâm I, EF // BD nên:
⇒

⇒

SM 1
=
SC 2

SI SF 2
=
=
SO SD 3



Bài 8:
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và

AB = a

. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với
CD = a
mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho
. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt
BD tại F và cắt AD tại E.
a)

Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

b)
c)

Chứng minh
Tính thể tích khối tứ diện CDEF.

CE ⊥ ( ABD )

Lời giải:

D

a)Tính

F

DB ⊥ EC ⇒ EC ⊥ ( ABD)

VDCEF

:
11


+ Học sinh chứng minh được đường
thẳng vuông góc mặt phẳng.

Ta có:

+ Nắm được nhu cầu tính các tỉ số
DE DF
DA DB

,

Mà

DE.DA = DC 2

, chia cho

DA2

DE DC 2
a2
1

2
2
2
DB DB
DC + CB
3

⇒

Từ (*)

VDCEF 1
=
VDABC 6

.

1
a3
VDCEF = VABCD =
6
36

Vậy
Nhận xét:

+ Kỹ năng chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng chưa được tốt.
+ Giáo viên giúp học sinh rút ra tỉ số
vuông và khắc sâu để sử dụng.


Lời giải:

VS . ABCD
D'

I
B

A

b) Ta có

BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB '

12

O
D

a) Ta có:

B'

C'

1
a3 2
= S ABCD .SA =
3
3

sinh

biết

chứng

∆SAC

minh

vuông cân nên

AB ' ⊥ ( SBC )

+ Biết phân thành hai khối chóp
S . AB ' C ', S . AC ' D '
bằng nhau:

Ta có:

+ Sử dụng tỉ số để giải như bài 7.

Từ

SC ' 1
=
SC 2

SB ' SA2
2a 2

+ Bài toán này lấy từ bài tập 8/26 sách giáo khoa. Tuy nhiên, tôi thay đổi một số giả
thiết để phù hợp với khả năng của học sinh: “Hình chữ nhật” được thay bởi hình vuông
cạnh a, “Cạnh SA=c” được thay bởi
vậy thì việc tính toán quá nặng.

" SA = a 2 "

. Nếu giữ nguyên các kích thước như

+ Sau khi làm bài 8, học sinh tiếp thu bài toán 9 dễ dàng và nhẹ nhàng hơn.
Nhận xét chung:
+ Một bài toán tính thể tích có thể tính bằng các cách khác nhau.
+ Việc chứng minh quan hệ vuông góc còn dựa vào tính toán (thường học sinh chỉ quen
chứng minh quan hệ vuông góc nhờ vào “định tính”, chưa quan tâm nhiều đến các số liệu
bài toán cho).
+ Sau khi trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản thì học sinh có thể huy động kiến
thức để giải các bài toán tổng hợp.

13


( Việc tính thể tích của khối đa diện có nhiều phương pháp, trong đó còn có thể dùng
phương pháp tọa độ trong không gian. Tuy nhiên, phương pháp này HS chỉ được biết
khi học sang phần “Phương pháp tọa độ trong không gian” và phạm vi ứng dụng của
nó hẹp hơn nên tôi không đề cập ở đây).
4) Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy
góc

60ο

. Tính thể tích của khối chóp SABC.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có

SA ⊥ ( ABC )

, tam giác ABC vuông cân tại A, BC =

a 2

,

SA=2a. E là trung điểm SB, F là hình chiếu của A lên SC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b) Tính thể tích khối SAEF.
c) Tính khoảng cách từ H đến mp(SAE)
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a, M là
trung điểm SB.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính thể tích khối chóp S.DCM
c) Mặt phẳng(MCD) cắt SA tại N. Tính thể tích khối chóp S.MNDC
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình chữ nhật,
14


AB = 2BC=a, SA= a.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) AH, AK là đường cao của tam giác SAB và SAD. Tính thể tích của khối S.AHK
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,
bằng nhau và cùng bằng a

của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của
khối tứ diện CMNP.
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABC) là H thuộc AB sao cho
bằng

600

HA = 2 HB

.Góc giữa SC với (ABC)

. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

SA và BC theo a.
Bài 12: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a,
cạnh bên AA’ = a

2

.

a) Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BB’. Tính thể tích khối tứ diện
B’AMN theo a.
C. KẾT LUẬN
15


Trong giảng dạy nói chung việc phân loại bài tập và việc chọn trình tự bài tập là vô cùng