Trng THPT Yờn Th
Một số bài toán về tỷ số thể tích
Ngày soạn: 20/9/2010
A. Mục tiêu:
- Rèn kỹ năng dựng thiết thiện và tính diện tích thiết diện.
- Nắm đợc công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ.
- Vận dụng bài toán về tỷ số thể tích của góc tam diện vào làm bài tập tính tỷ số
thể tích.
B. Nội dung:
I. Công thức cần nhớ:
1. Thể tích khối chóp:
V=
1
3
B.h
B: Diện tích đa giác đáy.
h: Độ dài đờng cao.
2. Thể tích khối lăng trụ:
V=B.h
B: Diện tích đa giác đáy.
h: Độ dài đờng cao.
3. Tỷ số thể tích:
Cho khối chóp S.ABC.
A'SA, B'SB, C'SC
.
. ' ' '
. .
'. '. '
S ABC
S A B C
V

A
B
C
D
A
'
B'
C'
D'
H
'
C
B
A
S
A'
B'
C'
A
C
B
S
M
Trường THPT Yên Thế
Hd:
1. ThiÕt diÖn lµ h×nh thang vu«ng
MNCB, vu«ng t¹i B vµ M.
1
( )
2

 
= + + = − +
 
 
2. XÐt hµm sè
2 2
( ) (4 )
4
b
f x a x a x
a
= − +
(0≤x≤2a)
2 2
2 2
2 4
'( )
4
b x ax a
f x
a
a x
 
− + −
=
 
+
 
f'(x)=0 ⇔
1

4
2 2
ab ab− + + ≈
f(
1
(1 )
2
a −
)=
2
1 1 1
.(3 ) 1 (1 ) 0,96
4
2 2
ab ab+ + − ≈
⇒
[ ]
2
0;2
1 1 1
( ) . .(3 ) 1 (1 )
4
2 2
a
Max f x ab= − + +
khi
1
(1 )
2
x a= +

V SA SB SC SA a
−
= = =
V
SABC
=
2
1 1
. ( ) .2
3 6 2
V
SA dt ABC a b= =
⇒
2
2 2 (2 )
. .
2 2 2 3 6
SMBC
a x V a x a b a x ab
V
a a
− − −
= = =
GV: Ng« Ngäc §iÓn
2
S
A
M N
D
C

2
(2 ) (2 ) .
.
4 3 12
a x a b a x b
a

=
V
1
= V
SMNCB
=
2
(2 ) (2 )
6 12
a x ab a x b
+
Ycbt V
1
=
2
2 3
V a b
=

2 2
(2 ) (2 )
6 12 3
a x ab a x b a b

1
B
1
C) chia lăng trụ thành 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó.
Hd:
Gọi V
1
=
1
.C MNC
V
; V
1
=
1 1 1
.C MNB A
V
V
3
=
.C MNBA
V
; V
4
=
1 1
MNABB A
V
Gọi V là thể tích của lăng trụ.
1 1 1

V
V V V V V
= = =
=
= =
Vậy V
1
: V
2
: V
3
: V
4
= 1:3:3:5
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Đờng cao của
hình chóp là SA=a. M là một điểm di động trên SB, đặt BM=x
2
(0<x<a). () là mặt
phẳng qua OM và vuông góc với (ABCD).
1. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (). Tính diện tích thiết
diện theo a và x.
GV: Ngô Ngọc Điển
3
A B
C
M
N
A'
B'
C'

a
IN IH x a a x ax+ = + = +
Std=
2
2
1
( ).
2 2
a
a x x ax+ +
2. Để thiết diện là hình thang vuông MK// MO// BC N là trung điểm AB
x=a/2.
V=
3
1
. . ( )
3 3
a
SA dt ABCD =
V1=V
SOECH
+V
KOE.MNB
3
3
.
1 1
. . ( )
3 3 2 24
S OECH

V
V
=
Bài 4: Cho khối chóp S.ABCD, trong đó ABCD là hình thang có các cạnh đáy
AB, CD sao cho CD=4.AB, một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm tơng ứng
M, N.
GV: Ngô Ngọc Điển
4
S
A
D
C
B
M
K
N
O
H
S
A
D
C
B
M
K
N
O
H
E
Trng THPT Yờn Th

SM SC SD
x
V SA SC SD
= =
= =
Ta có CD=4AB
S
ADC
=4.S
ABC
S
ADC
=
3
4
ABCD
S

. . .
3 3
. ;
4 4 4
S ADC S ABCD S ABC
V
V V V V= = =
Ta có
2
3
. ; .
4 4

V
x loai

+
=

+

= = + =


=


KL: Vậy
3 17
2
x
+
=
Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (C) đờng kính AB=2R.S là điểm nằm
trên đờng thẳng vuông góc với mp(P) tại A. Đặt SA=h. Mặt phẳng (Q) qua A và vuông
góc với SB tại K, C là điểm trên (C), SC cắt mp(Q) tại H.
Đặt
ã
0
2
BAC



ABC
=
2
2
1 1 .sin 2
( ). .cos .sin .
3 6 3
R h
dt ABC SA AB SA


= =
*
2 5
2 2 2 2 2
.sin 2
3( 4 )( 4 cos )
SAHK
R h
V
h R h R


=
+ +
GV: Ngô Ngọc Điển
5
S
A
D C

2
R P
h R R
R
R
h R
α
α
α α
α
α
α
=
−
+ +
= −
= − <
+
⇒ 2α tï ⇒α>
4
π
KL: VËy α
0
=
4
π
GV: Ng« Ngäc §iÓn
6
α
B

- Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)
- Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC.
- Ta có: ABC =

sin..
2
1
ACAB

mà BC
2
= 2AB
2
- 2AB
2
cos = 2AB
2
(1-cos ) = a
2
AB =
2
cos1


a
SABC =
24cos1
sin
22
1