Câu 1. (5,0 điểm) Cho hàm số
 
3 2
1 1y x x   .
1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
 
1 biết tiếp tuyến này vuông góc với
đường thẳng d có phương trình 5 1 0x y   .
2. Tìm m để đường thẳng  có phương trình
 
1 1y m x   cắt đồ thị hàm số
 
1 tại ba
điểm phân biệt
 
0;1 , ,A B C , biết hai điểm ,B C có hoành độ lần lượt là
1 2
;x x thỏa mãn:

   
3 3
1 1 2 2
2 2
2 1
2 2
1
1 1
x m x x m x
x x
   
  


  



     




Câu 3. (2,0 điểm) Tính tổng:
2 3 2014
0 1 2 2 2013 2013
2013 2013 2013 2013
2 1 2 1 2 1
.2. .2 . ... .2 .
2 3 2014
S C C C C
  
     .
Câu 4. (4,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm
 
1;1A ,
 
3;2B ,
 
7;10C . Lập phương trình
đường thẳng  đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và
C

a b c
  
  
.

------------------------Hết------------------------
(Đề thi gồm có 01 trang)
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013
================
ĐỀ CHÍNH THỨC
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 – THPT
Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013
==============

Lời giải sơ lược
Thang
điểm

3 2 5
5 23
3 27
x y
x x
x y

 

  
 

   
 

 


1.0

Từ đó tìm được phương trình hai tiếp tuyến: 5 2y x  ;
202
5
27
y x 

1.0
1.2
Tìm m để đường thẳng  có phương trình
 

2
0
1 1 1 1 0
1 0 *
x
x x m x x x x m
x x m


 
          

 
   
0.5

 cắt đồ thị hàm số
 
1 tại ba điểm phân biệt , ,A B C

phương trình (*) có
hai nghiệm phân biệt khác 0
5
4 5 0
(**)
4
1 0

         
3 2
2 2 2 2 2
2 1 1 1 1x m x x x x m m m
 
           
 

Khi đó
 
   
2 2
2 1
1 1
2 1
1 1
m m
x x
 
  
 

0.5
 
  
 
 
 
 
2

1
1 2 1 2
m m
m m
  

   
. Từ đó tìm được
0
3
m
m



 


Kết hợp điều kiện (**) ta có
0m 
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0.5
Câu
2.1
1.Giải phương trình:
   
 
2
2 sin cos 1 2sin 2
1 tan 1

sin cos 0 2
cos sin 1 2sin 2 2 sin 4 3
x x
x x x x
  


  



0.5
   
2
4
x k k


     (Loại)
0.5
 
3 cos sin sin 3 sin os3 cos 2 sin 4x x x x c x x x      
 
2
4
2 sin 3 2 sin 4
3 2
4
28 7
x k

      0.5
2.2
Giải hệ phương trình:
 
 
   
 
2 2
2
2 2 2
log log 2 .2 1
, .
2log 6log 1 log 3 3 0 2
x x
x x y
x y
x y x x y

  



     





  
   

 



0.5
 
3 8x 
0.5

Giải (4), xét
     
2
2
2log 0 ' 1
ln 2
f x x x x f x
x
     
 
2
' 0
ln 2
f x x   . Lập BBT, từ đó suy ra phương trình (4) có nhiều nhất hai
nghiệm. Mà
     
2 4 0 4f f   có hai nghiệm 2; 4x x 
Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm

1 2
1 5 3
1 2 1 2 1 2
12 4028 4028
x
I x dx x d x


      
 

0.5
     
2
2 2013
0 1 2 2013
2013 2013 2013 2013
1
2 3 2014
0 1 2 2 2013 2013
2013 2013 2013 2013
. 2 . 2 ... . 2
2
.2 .2 ... .2
1
2 3 2014
C C x C x C x dx
x x x
C x C C C
 

4.1
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm
 
1;1A ,
 
3;2B ,
 
7;10C . Lập
phương trình đường thẳng  đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và
C
đến
đường thẳng  lớn nhất
2.0
TH1:  cắt đoạn thẳng
BC
tại M
   
; ;d B d C BM CM BC      
0.5
TH2:  không cắt đoạn thẳng
BC
, gọi
 
5;6I là trung điểm
BC

     

2
2 2
1
: 1 4S x y z   
       
2 2 2
2
: 3 1 1 25S x y z      . Chứng minh rằng hai mặt cầu trên cắt
nhau theo giao tuyến là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
2.0
 
1
S có tâm
1
(0;0;1)I , bán kính
1
2R 
 
2
S có tâm
2
(3;1; 1)I  , bán kính
2
5R 
0. 5
1 2 2 1 1 2 2 1
14I I R R I I R R       hai mặt cầu cắt nhau
0.5

Khi đó tọa độ giao điểm của hai mặt cầu thỏa mãn hệ phương trình