phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic toán 8 năm
học 2012-2013
Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Cho biểu thức

= +
ữ
+ +

2 2 2 2 2 2
4xy 1 1
A :
y x y x y 2xy x
a) Tìm điều kiện x, y để giá trị của A đợc xác định
b) Rút gọn A
c) Nếu x, y là các số thực thỏa m n ã
+ + =
2 2
3x y 2x 2y 1
, h y tìm các giá trị nguyên đã ơng của A ?
Lời giải
: a) ĐKXĐ của A là:







+ +


y x y x
4xy 2y 4xy
A : . 2x 2xy
y x y x y x 2y
y x y x
c) ĐK cần: Từ điều kiện
( )
+ + = + + + + + =
2 2 2 2 2
3x y 2x 2y 1 2x 2xy x 2xy y 2 x y 1 2
( ) ( ) ( )
+ + + + = + + + =
2 2
2 2
2x 2xy x y 2 x y 1 2 2x 2xy x y 1 2
( )
+ = +
2
2
2x 2xy 2 x y 1 2
. Do đó 0 < A 2 nên giá trị A cần tìm là
{ }
A 1;2

ĐK đủ: Với A = 1
( )
2
x y 1 1 + =
Xét
x y 1 1 x y + = =

+ = + = =


=


=



3 2 2 1
y x
2 2
+
= =
;
3 2 2 1
y x
2 2

= =
Với A = 2
( )
2
x y 1 0 x y 1 0 x y 1 + = + = =
thay vào
+ + =
2 2
3x y 2x 2y 1
đợc



ữ ữ

ữ ữ



A = 2 khi
( )
3 1
x;y ;
2 2

ữCâu 2: a) Giải phơng trình sau

+ = +
2 2 2 2
x 17 x 15 x 13 x 11
2008 2010 2012 2014
b) Tìm các số x, y, z biết
+ + = + +
2 2 2
x y z xy yz zx

2010 2014
nên
+ >
1 1 1 1
0
2008 2010 2012 2014
Do đó ta có
= =
2
x 2025 0 x 45
. Tập nghiệm của phơng trình là:
{ }
= S 45;45
b) Từ giả thiết
+ + = + + + + =
2 2 2 2 2 2
x y z xy yz zx 2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0
( ) ( ) ( )
+ + = = = = = =
2 2 2
x y y z z x 0 x y y z z x 0 x y z
Do đó
2012 2012 2012 2013 2012 2013
x y z 3 3x 3 x 3+ + = = =
. Vậy x = y = z = 3; x = y = z = -3
Câu 3: a) Cho phơng trình

= +

4x 1

( ) ( )
+





+ > + + > + >

ữ
+ >
+




>


2
2 2
m 2
1
m
1 9 1 9
m 1
m m 2 0 m m 0 m
2
2
2 2
2 2
b 3b
a b a ab b 0 a b a 0
2 4
đúng với mọi a, b
Chứng minh tơng tự ta cũng có
+ +
4 4 3 3
b c b c bc
và
+ +
4 4 3 3
c a c a ca
Do đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + + + + + + +
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
3 a b c a b b c c a a b c
( ) ( ) ( )
+ + + + + + + + = + + + + + + + +
3 3 3 3 3 3 4 4 4 3 3 3
a b ab b c bc c a ca a b c a a b c b a b c c a b c
( )
( )
+ + + +

Lời giải
: a) Xét ACO và BOD có
ã
ã
ã
ã
ã

= =


=


0
CAO OBD 90 (gt)
AOC BDO (cùng phụ BOD)

ACO BOD (g g)
= = =
CO AO CO OD CO OD
OD BD AO BD OB BD
(Vì AO = OB)
Xét OCD và BOD có
ã
ã

=



) có:
ã
ã


=



ACO DCO
CO chung
CAO = CIO (Cạnh huyền góc nhọn) CA = CI. Chứng minh tơng tự ta cũng có
DBO = DIO (Cạnh huyền góc nhọn) DB = DI
Mặt khác





CA AB (gt)
DB AB (gt)
CA // DB
= =
DK DB DI
AK CA CI
(Hệ quả của định lí TaLets)
Từ đó ta có
=
DK DI
AK CI

1006
Lời giải
: Ta có
( ) ( )
( ) ( )
+
= = =
+ + +
2 2
x y 1 x y 1
x x 2x x x 2x
y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1
Lần lợt thay x bởi 2; 2
2
; 2
3
; ; 2
2014
và y bởi 2013; 2013
2
;
2
2
2013
; ;
2013
2
2013
đợc
= + + + =

y
D
x
E