Giáo viên: Lơng Ngọc Thông Đơn vị: trờng thcs ng lộc - hậu lộc-t.hóa
sở giáo dục và đào tạo
thanh hóa
kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
năm học 2009 2010
Môn thi: Toán
Ngày thi: 30 tháng 6 năm 2009
Thời gian làm bài: 120 phút.
Bài 1 (1,5 điểm)
Cho phơng trình: x
2
- 4x + p = 0 (1) với p là tham số.
1. Giải phơng trình (1) khi p = 3.
2. Tìm p để phơng trình (1) có nghiệm.
Bài 2 (1,5 điểm)
Giải hệ phơng trình:
x + 2y = 5
2x + y = 4



Bài 3 (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x
2
và điểm C(0; 1).
1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm C(0; 1) và có hệ số góc k.
2. Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A
và B với mọi k..
3. Gọi hoành độ của hai điểm A và B lần lợt là x
1
và x

2
3a
2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = a + b + c .
Hết
Họ và tên thí sinh:........................................................Số báo danh:................. .
Chữ ký của giám thị số 1: Chữ ký của giám thị số 2:
Đề thi và Lời giải: Thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa - môn Toán
Trang 1
Đề chính thức
đề c
Giáo viên: Lơng Ngọc Thông Đơn vị: trờng thcs ng lộc - hậu lộc-t.hóa
Đề xuất lời giải
Bài 1 (1,5 điểm)
Từ phơng trình: x
2
- 4x + p = 0 (1) với p là tham số.
Tính : = 2
2
p = 4 - p (*)
1. Khi p = 3, ta có phơng trình : x
2
- 4x + 3 = 0 (2)
Giải phơng trình (2) :
(2) có dạng : a + b + c = 1 + (- 4) + 3 = 0
Do đó phơng trình (2) có 2 nghiệm: x
1
= 1; x
2
=

x = 1
y = 4 - 2.1 = 2



Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x = 1; y = 2)
Bài 3 (2,5 điểm)
1. Phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm C(0; 1) và có hệ số góc k, có dạng:
y = kx + b
thay x = 0, y = 1 vào, ta đợc: b = 1
khi đó ta đợc hàm số cần viết là: y = kx + 1.
2. Phơng trình hoành độ điểm chung của đờng thẳng (d): y = kx + 1 và parabol
(P): y = x
2
là :
x
2
= kx + 1
x
2
- kx - 1 = 0 (**)
Tính : = k
2
+ 4 4 > 0, k
Suy ra : (**) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Gọi hai giao điểm của đờng thẳng (d): y = kx + 1 và parabol (P): y = x
2
là A và B,
ta luôn đợc : đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B với
mọi k.


Gọi hình chiếu vuông góc của điểm A lên
các trục Ox, Oy lần lợt là M, P.
Gọi hình chiếu vuông góc của điểm B lên các
trục Ox, Oy và đoạn AM lần lợt là N, Q và
H.
Xét tam giác vuông OAM, ta đợc:
OA
2
= OM
2
+ AM
2
(định lý Pitago)
OA
2
=
2 2
1 1
x + y
=
2 4
1 1
x + x
Xét tam giác vuông OBN, ta đợc: OB
2
= ON
2
+ BN
2

=
2 2
2 2
x + y
=
2 4
2 2
x + x
OA
2
+ OB
2
=
2 4
1 1
x + x
+
2 4
2 2
x + x
(a)
Xét tam giác vuông ABH, ta đợc: AB
2
= AH
2
+ BH
2
(định lý Pitago)
AB
2

2
4 4 2 2
1 2 1 2
x - 2. 1 + x + x + 2. 1 + x

=
4 4 2 2
1 2 1 2
x + x + x + x
(b)
Kết hợp (a) và (b), ta suy ra: AB
2
= OA
2
+ OB
2
Suy ra tam giác AOB là tam giác vuông tại O (định lý Pitago đảo).
Bài 4 (3,5 điểm)

c
d
p
x
b
h a
r
r o
GT
Nửa (O; R); AB = 2R
H tia đối tia AB

= 90
0
ã
ã
0
CPO + CAO = 180

Suy ra : tứ giác ACPO nội tiếp (có tổng sđ hai góc đối bằng 180
0
)
2. Xét tam giác AHC và tam giác BHD có :

à
à
0
A = B = 90
;
ã
AHC
chung



AHC
:

BHD (g.g)

DB CA
=

OC OD, hay :
ã
0
COD = 90

ã ã
0 0 0 0
BOD = 180 - (COD + ) = 180 - (90 + ) = 90 -

ã
BOD
tg
= tg(90
0
- ) = cotg =
1
tg
R
BD =
tg

* Xét tích AC.BD : AC.BD = R.tg.
R
tg
= R
2
Điều đó chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc vào R, không phụ thuộc
vào .
Bài 5 (1,0 điểm)
* Cách 1:

( )
2
2
a + b + c 2 2 - 2 2

C C
Vậy biểu thức: C = a + b + c, đạt giá trị lớn nhất:
C
max
=
2


a = b = c =
3
max
C
=
2
3
và đạt giá trị nhỏ nhất: C
min
= -
2


a = b = c =
3
min
C

( )
2
2
a + b + c 2 2 - 2 2

C C
, a, b, c R
Dấu = xảy ra khi : a = b = c.
Vậy biểu thức: C = a + b + c, đạt giá trị lớn nhất:
C
max
=
2


a = b = c =
3
max
C
=
2
3
và đạt giá trị nhỏ nhất: C
min
= -
2


a = b = c =
3