Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học
tại nhà theo nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi
VẤN ĐỀ V
CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN
(Tài liệu được cung cấp bởi Trung tâm luyện thi Tầm Cao Mới)
I. Cơ sở lý thuyết:
Cho (C) là đồ thị hàm số y= f(x)
* Định lí :Điểm M(x
0
;f’(x
0
)) ( C), hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M là
( )
'
o
k f x=
* Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
'
0 0 0
y f x x x y= − +
II. Các bài toán cơ bản :
1. Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại
1a. Dạng 1a: Lập phương trình tiếp tuyến tại x
0
Phương pháp giải:
Phương trình tiếp tuyến tại x
0
có dạng:
( ) ( )
'

Đạo hàm bậc nhất
' 2
' ( ) 3 6y f x x x= = +
Phương trình tiếp tuyến tại x
0
= 1 có dạng:
( ) ( )
'
0 0 0
y f x x x y= − +
Với:
' ' 2
0
( ) (1) 3(1) 6.1 9f x f= = + =

3 2
0 0
( ) (1) 1 3.1 2 2y f x f= = = + − =
=>
9( 1) 2 9 9 2 9 7y x x x= − + = − + = −
Vậy phương trình tiếp tuyến tại x
0
=1 là: y = 9x - 7
1b. Dạng 1b: Lập phương trình tiếp tuyến tại
( , )
A A
A x y
Bước 1: Tính y’=f
’
(x)

A A A
y f x x x y= − +
Với:
' ' 2
0
( ) (2) 3.2 3 9f x f= = − =
0
3y =
=>
( )
9 2 3 9 15y x x= − + = −
Vậy phương trình tiếp tuyến tại A(2,3) là: y = 9x - 15
2. Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.
a. Cơ sở lý thuyết: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm: k =f’(x)
b. Chú ý:
Xét 2 đường thẳng:
1 1 1
( ) : y k x b∆ = +
2 2 2
( ) : y k x b∆ = +
(Với k
1,
k
2
là hai hệ số góc của 2 đường thẳng)
Thế thì:
1 2 1 2
( ) ( ) : k k∆ ∆ =P
1 2 1 2
( ) ( ) : . 1k k∆ ⊥ ∆ = −

, với x
0
là hoành độ tiếp điểm
Hệ số góc của tiếp tuyến này là:
( )
'
4k f x= =
( )
2 2
0 0 0 0
0 0
0 0
3 6 4 4 3 6 0
3 2 0
0 2
x x x x
x x
x x
<=> − + = <=> − =
<=> − =
<=> = ∨ =
• Phương trình tiếp tuyến tại x
0
= 1: y = 4x + 1 với tiếp điểm (0,1)
• Phương trình tiếp tuyến tại x
0
= 2: y = 4x - 3 với tiếp điểm (2,5)
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573
2
Chúng tôi tuyển sinh các lớp 8, 9, 10, 11, 12 tất cả các môn các ngày trong tuần. Các em có thể học

4 2
x x
x x
<=> − = <=> − =
<=> = => = ±
• Phương trình tiếp tuyến tại x
0
= 2: y = 9x – 15 với tiếp điểm N(2,3)
• Phương trình tiếp tuyến tại x
0
= -2: y = 9x + 17 với tiếp điểm N(-2,-1)
Ví dụ 3: Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số:
( )
2
2 3
1
x x
y f x
x
− −
= =
+
biết rằng tiếp
tuyến này vuông góc với đường thẳng
2
3
x
y
+
=

( ) ( )
*
A A
y k x x y= − +
Bước 2: (d) là 1 tiếp tuyến của đồ thị hàm số  hệ phương trình sau có nghiệm
( ) ( )
( ) ( )
'
( ) 1
2
A A
f x k x x y
f x k

= − +

⇔

=


Bước 3: Giải hệ trên tìm được nghiệm x
Bước 4: Thay x mới tìm được vào phương trình (2)
Bước 5: Thay giá trị k mới tìm được vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm
Ví dụ: Cho (C) là đồ thị hàm số
( )
3 2
3 9 1y f x x x x= = + − +
lập phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(1;-4)

3 2 2
3 9 1 3 6 9 1 4x x x x x x

+ + = +

( ) ( )
3
2
2 6 4 0
2 1 0
2
1
x x
x x
x
x
+ =
=
=



=

- Vi x = -2 k= -9 . Th vo (*) ta c phng trỡnh tip tuyn y= -9x+ 5
Vi x = 1 k = 0 th vo (*) ta c phng trỡnh tip tuyn: y=-4.
III. Các bài toán về Tiếp tuyến TRONG CC THI
1)- tiếp tuyến của đa thức bậc ba
Dạng 1 Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
BT1 (ĐHQG TPHCM 1996)

2
3
1
)(
3
+==
xxxfy

Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng thẳng
3
2
3
1
+=
xy
BT4
Cho hàm số (C)
13)(
23
+==
xxxfy

GV: Trn Hi Nam Tell: 01662 843844 TT luyn thi Tm Cao Mi 0532 478138 - 01684356573
4
Chỳng tụi tuyn sinh cỏc lp 8, 9, 10, 11, 12 tt c cỏc mụn cỏc ngy trong tun. Cỏc em cú th hc
ti nh theo nhúm hoc cỏ nhõn, hoc hc ti trung tõm 40 hc sinh/ 1lp. Cung cp ti liu, thi
CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song
với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp tiếp điểm này đồng qui tại một điểm
cố định
BT5

23)(
3
==
xxxfy
Các tiếp
tuyến với (C ) tại A,B,C cắt đồ thị (C) tại A
1
,B
1
,C
1
CMR Ba điểm A
1
,B
1
,C
1
thảng

hàng
BT9
Cho





+=
+=
8652:)(

xkxxfy
,
Viết phơng trình tiếp tuyến (t) tại giao điểm của (C) với Oy
Tìm k để (t ) chắn trên Ox ,Oy một tam giác có diện tích bằng 8
BT12 (ĐH An Ninh 2000 )
GV: Trn Hi Nam Tell: 01662 843844 TT luyn thi Tm Cao Mi 0532 478138 - 01684356573
5
Chỳng tụi tuyn sinh cỏc lp 8, 9, 10, 11, 12 tt c cỏc mụn cỏc ngy trong tun. Cỏc em cú th hc
ti nh theo nhúm hoc cỏ nhõn, hoc hc ti trung tõm 40 hc sinh/ 1lp. Cung cp ti liu, thi
Cho (C)
1)(
23
+==
mmxxxfy
,
Viết phơng trình tiếp tuyến (t) tại các điểm cố định mà họ (C) đi qua
Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó
BT13 (ĐH Công Đoàn 2001 )
Tìm điểm M thuộc (C)
11232
23
+=
xxxy
sao cho tiếp tuyến của (C ) tại điểm M
đi qua gốc toạ độ
Dạng 2 Viết phơng tiếp tuyến trình theo hệ số góc cho trớc
BT1
Cho (C)
73)(
3

Cho (C)
51232)(
23
==
xxxxfy
,
1) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y= 6x-4
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
2
3
1
+=
xy
3)Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với
5
2
1
+=
xy
góc 45
0

BT5
Cho (C)
42
3
1
23
+=
xxxy