Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng
GV : Chu Quèc Hïng
Chủ để 1. Chứng minh các đẳng thức Vectơ
VD1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : (bằng nhiều cách khác nhau)
a)
AB CD AD CB+ = +
uuur uuur uuur uuur
b)
AB CD AC DB− = +
uuur uuur uuur uuur
c)
AD BE CF AE BF CD+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
VD2. Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng :
a)
AN BP CM O+ + =
uuur uuur uuur ur
b)
AN AM AP= +
uuur uuur uuur
c)
AM BN CP O+ + =
uuur uuur uuur ur
VD3. (Hệ thức về trung điểm) Cho hai điểm A, B.
a) Cho M là trung điểm A, B. Chứng minh rằng với điểm I bất kì ta có :
2IA IB IM+ =
uur uur uuur
.
b) Với điểm N sao cho
2NA NB= −
uuur uuur

c) Tổng quát tính chất trên.
d) Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G
1
. Chứng minh rằng :
+
1
3AD BE CE GG+ + =
uuur uuur uuur uuuur
+ Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.
VD4. (Hệ thức về hình bình hành) Chohình bình hành ABCD tâm O.
a) CMR :
AO BO CO DO O+ + + =
uuur uuur uuur uuur ur
, Với I bất kì
4IA IB IC ID IO+ + + =
uur uur uur uur uur
b) M là điểm thoả mãn:
VD5. (Tứ giác bất kì) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N của AB và CD . CMR :
a)
2AD BC MN+ =
uuur uuur uuuur
b)
2AC BD MN+ =
uuur uuur uuuur
c) Tìm vị trí điểm I sao cho
IA IB IC ID O+ + + =
uur uur uur uur ur
d) Với M bất kì, CMR :
4MA MB MC MD MI+ + + =
uuur uuur uuuur uuuur uuur

n MA n MA n MA n n MG+ + + = + +
uuuur uuuur uuuur uuuur
VD7.
a) Cho lục giác đều ABCDEF. CMR hai tam giác ACE và BDF cùng trọng tâm.
b) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF, BC, DE, FA.
CMR hai tam giác MNP và QRS cùng trọng tâm.
c) Cho hai tam giác ABC và A
’
B
’
C
’
là các điểm thuộc BC, CA, AB sao cho :

' ' ' ' ' '
, ,A B k A C B C k B A C A kC B= = =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
và
1k
≠
. CMR hai tam giác ABC và A
’
B
’
C
’
cùng trọng tâm.
d) Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N , P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA. CMR hai tam giác ANP và
CMQ cùng trọng tâm.
VD8. (Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp)

AK AB AC= +
uuur uuur uuur
. b) D là trung điểm BC. CMR :
1 1
4 3
KD AB AC= +
uuur uuur uuur
Chủ đề 2. Biểu diễn véc tơ
ĐVĐề : Dẫn dắt từ trung điểm
VD1. Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. B
1
đối xứng với B qua G. M là trung điểm BC. Hãy biểu diễn các
véc tơ
AM
uuur
,
1 1 1
, , , ,AG BC CB AB MB
uuur uuur uuur uuur uuuur
qua hai véc tơ
,AB AC
uuur uuur
.
VD2. Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo dài sao cho 5JB =
2JC.
a) Tính
,AI AJ
uur uur
theo hai véc tơ
,AB AC

b) Gọi E, F thoả mãn :
1
3
ME MN=
uuur uuuur
,
1
3
BF BC=
uuur uuur
. CMR : A, E, F thẳng hàng.
VD2. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC.
a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hàng.
b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thẳng hàng.
c) Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng.
VD3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mãn :
3MB MC O− =
uuur uuuur ur
,
3AN NC=
uuur uuur
,
PB PA O+ =
uuur uuur ur
.
CMR : M, N, P thẳng hàng. (
1 1 1
,
2 2 4
MP CB CA MN CB CA= + = +

2 , 3 2 = IA IB JA JC O= +
uur uur uur uur ur
. CMR : Đường thẳng IJ đi qua G.
Chủ đề 4. Xác định vị trí một điểm thoả mãn một đẳng thức Vectơ
Đặt Vấn đề : Cho hai điểm A, B, C cố định.
a) Nếu
PB PA O+ =
uuur uuur ur
thì P là trung điểm của AB.
b) Nếu
PB PA PC O+ + =
uuur uuur uuur ur
thị P là trọng tâm tam giác ABC.
c) Nếu P là một điểm thoã mãn một đẳng thức véc tơ khác thì có xác định được vị trí của P hay
không ?
VD1(Cho hai điểm). Xác định vị trí điểm I thoả mãn :
2IA IB O+ =
uur uur ur
.
NX : Với hai điểm A, B cho trước luôn xác định được điểm I thoả mãn :
mIA nIB O+ =
uur uur ur
. Với điểm O bất kì ta
có :
m n
OI OA OB
m n m n
= +
+ +
uur uuur uuur

b)
MC k AB=
uuuur uuur
, với A, B, C cố định thì M nẵm trên đường tròn tâm C bán kính k.AB.
c)
AM k BC=
uuur uuur
với A, B, C cho trước.
+ k > 0 thì M nẵm trên nửa đường thẳng qua A và song song với BC và theo hướng
BC
uuur
.
+ k< 0
+ k bất kì
Dạng 1. (Bài toán hai điểm)
VD1. Cho hai điểm A,B cố định. Tìm quĩ tích điểm M sao cho :
a)
2MA MB AB+ =
uuur uuur uuur
b)
MA MB AB+ =
uuur uuur uuur
c)
2MA MB MA+ =
uuur uuur uuur
d)
MA MB MA+ =
uuur uuur uuur
e)
2MA MB MA MB+ = −

VD1 Cho hai điểm A, B và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất ?
a)
MA MB+
uuur uuur
b)
2MA MB+
uuur uuur
c)
3MA MB−
uuur uuur
d)
3 2MA MB+
uuur uuur
e)
2 3MA MB−
uuur uuur
VD2. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất
a)
MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
b)
2MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
c)
3MA MB MC+ +
uuur uuur uuuur
d)
2MA MB MC− +
uuur uuur uuuur
VD3. Cho tứ giác ABCD và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất

I
M
N
Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng
GV : Chu Quèc Hïng
VD1. (Bài toán 2 điểm) Cho hai điểm A B cố định. Hai điểm M, N di động. CMR đường thẳng MN luôn đi
qua một điểm cố định nếu :
a)
2MN MA MB= +
uuuur uuur uuur
b)
2MN MA MB= −
uuuur uuur uuur
c)
2MN MA MB= − +
uuuur uuur uuur
d)
3 2MN MA MB= +
uuuur uuur uuur
VD2. (Bài toán 3 điểm). Cho tam giác ABC và điểm M trong mặt phẳng. CMR đường thẳng MN luôn đi qua
một điểm cố định nếu (Xác định vị trí điểm cố định và điểm N trong mỗi trường hợp)
a)
MB MC MA MN+ + =
uuur uuuur uuur uuuur
b)
2MA MB MC MN+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
c)
2MA MB MC MN+ + =
uuur uuur uuuur uuuur