Câu II 2 đề thi khối B 09-10
Giải hệ phương trình:
2 2 2
1 7 (1)
( , )
1 13 (2)
xy x y
x y
x y xy y
+ + =

∈

+ + =

¡
Cách 1: (Đáp án). Từ (2) ta có y khác 0 nên hệ tương đương với
2
2 2
2
1 1 1 1
( ) 7 ( ) 7 ( ) ( ) 20 0
1 1 1
( ) 13 ( ) 13 ( ) 7
x x
x x x x
y y y y y y
x x x
x x x
y y y y y y
  

12
x
y
II
x y

+ = −

⇔


=

.
Giải (I) được hai nghiệm (3;1) và (1; 1/3.Giải (II) thấy vô nghiệm
Cách 2: hệ phương trình tương đương với
( )
2 2 2 2 2 2
1 7
1 7 1 7 1 7
( 3 ) 12 0
( 1) 13 (7 ) 13 15 36 0
xy y x
xy y x xy y x xy y x
x y x y
xy xy y y x xy y x xy y
+ = −
+ = − + = − + = −

  

Cách 1:
ĐK: x khác 0. hệ tương đương với:
2
2
3
( ) 1 0
5
( ) 1 0
x y
x
x y
x

+ − + =




+ − + =


Đặt: u = x+y;
1
0v
x
= ≠
Ta có hệ:
2 2 2
3 1 0
3 1 0 3 1

( ) 3 0
3
1, 2
2,
( ) 5 0
3 5 0
2
x y
x x y x
x x y x
x x y x
x x
x y
x x y x
x x
= =

+ = −

+ − + =
+ − + =




⇔ ⇔ ⇔
  

= =
= = −

a
2
= b
2
– bc +c
2
(3)
Thay vào (2) ta có
3 3 3
+c +3abc 5ab ≤
Ta có:
( )
(3)
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
+c +3abc ( ) 5 2 ( ) 2 4
do
b b c a b c a b c a b c a≤ + + + + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤
Ta lại có:
( )
( )
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2a = 2(b - bc +c ) = b + c +(b-c) 4 2
2
b c
b c a b c a b c
+
≥ + ≥ ⇔ ≥ + ⇔ ≥ +


3
ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3
3 3 3
3
3 3 2
[(1+u) + (1+v) ]+3(1+u)(1+v)(u+v) 5 u+v 2 6 1 1 5
1
2 6 1 5 4 6 4 0 2 2 1 2 0
3
t u v t
t
t t t t t t t t t
≤ ⇔ + − + + ≤
+
 
⇔ + − + + ≤ ⇔ − − ≥ ⇔ + − ≥
 ÷
 

Đúng do (*) ĐPCM