GỢI Ý LÀM BÀI THI ĐẠI HỌC 2009 MÔN TOÁN – KHỐI A
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
2
2 3
x
y
x
+
=
+
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
Lời giải:
TXĐ: D = R \ {
3
2
−
}
( )
2
1
' 0
2 3
y
x
= − <
+

⇒

 
= +∞
 ÷
+
 
;
3
2
2
lim
2 3
x
x
x
−
 
→ −
 ÷
 
+
 
= −∞
 ÷
+
 

⇒
Tiệm cận đứng x =
3
2

Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I(
3
2
−
;
1
2
) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
1
3
2
−
+ ∞
− ∞
1
2
− ∞
+ ∞
1
2
x
y’
y
_
_
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung
lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
Lời giải:
Giải sử tiếp tuyến
( )


TH1: Với a= b
( ) : y x a
⇒ ∆ = − +
( )
∆
tiếp xúc với (1) nên hệ
2
2
(*)
2 3
1
1 (**)
(2 3)
x
x a
x
x
+

= − +

+


−

= −
+


Vậy có 2 tiếp tuyến
1
( ): ;y x∆ = −
2
( ) : 2y x∆ = − −
TH2: Với a = -b
⇒
( ): y x a∆ = −
( )∆
tiếp xúc với (1) nên hệ
2
2
2 3
1
1 (***)
(2 3)
x
x a
x
x
+

= −

+


−

=

sinx 1
2
2
x k
x k k Z
x k
π
π
π
π
π
π

≠ − +



≠ −
 
⇔ ≠ + ∈
 
 
≠


≠ +


Phương trình tương đương
2

π
π π
π
π π
π
− = − + −
⇔ − = +
⇔ − = +
⇔ − = +
⇔ − = +

− = + −
= − +


⇔ ⇔


− = − − +
= +


;
2)
k Z



∈


t
t x t x x
+
⇔ = − ⇒ = − ⇒ =
Vậy (1) có dạng:
3
3
5 10
2 3 6 8 0 3. 8 5 8 2
3
t
t t t
+
+ − − = ⇔ − = −
3 2
8 2 0
24 15 64 32 4 (1)
t
t t t
− ≥

⇔

− = − +


(1)
3 2
15 4 32 40 0t t t⇔ + − + =


3 2 5 2
0 0 0
2 2 2 2 2
4 2 2
0 0 0 0 0
1
2 2
2
0
0
1 1 1
2 4
0 0 0
( os 1)cos cos cos
1 cos 2 1 1
cos cos (1 sin ) (sin ) cos2
2 2 2
1
(1 ) sin 2 |
4 4
8
2
4 15 4
I C x xdx xdx xdx
x
x xdx dx x d x dx xdx
t dt x
dt t dt t dt
π π π
π π π π π

(ABCD) ; (SBI)
⊥
(ABCD)
⇒
SI
⊥
(ABCD)
Kẻ IK
⊥
BC
⇒
SK
⊥
BC (định lý ba đường vuông góc).
Ta có
( )
2
1 1 1
. .(2 )2 .
3 3 2
SABCD ABCD
V S SI a a a SI a SI= = + =
(1)
Mà SI = IK.tg(60
0
) =
3
IK ; BC = BI = a
5
; IC = a

( )
3 2
2
2
3 5
. .
5
5
BIC
a
a
a
S KI BC IC BH KI
a
 
 ÷
 
= = ⇒ = =
Vậy SI =
3 5 3 15
3
5 5
a a
 
=
 ÷
 ÷
 

⇒

⇒
2
2
2 2 2 2 2
( )
2 2( ) 2 2
2
a bc
b c
a b c bc b c a b c

≥


+
= + − ≥ + ≥ ⇒ ≥ +


5
a
D
A
B
C
I
K
2a
60
0
S